DS N° 2

Année universitaire 2011-2012
Licence de Physique - S5 - Électromagnétisme dans la matière
Devoir Surveillé numéro 2, vendredi 13 janvier 2012, durée 2 heures
Documents non autorisés - calculatrices autorisées mais non nécessaires
Les raisonnements et les résultats seront justifiés en au moins une phrase. Une suite de
calculs et d’équations sans texte d’accompagnement ne constitue pas une réponse valable.
1. Question de cours
a) Rappeler les quatre équations de Maxwell “dans le vide” permettant de déterminer les champs électrique
~
Eet magnétique ~ Ben fonction des densités volumiques de charge ρet de courant ~ Jtotales.
b) Comment s’écrivent les équations de Maxwell “dans la matière” ? Définir soigneusement les nouveaux
champs ~ Det ~ Hen fonction de ~ E,~ B, de la polarisation ~ Pet de l’aimantation ~ M. On précisera bien la
nature des sources du champ. Quelles sont les deux équations communes avec les équations “dans le
vide” ? Pourquoi ?
c) Dans un milieu matériel linéaire, homogène, isotrope, comment peut-on écrire les expressions de ~ Det
~
H?
d) A l’aide des équations données dans la question précédente, écrire les relations de passage reliant les
valeurs des champs ~ E,~ B,~ Det ~ Hde part et d’autre d’une interface séparant deux milieux matériels.
2. Champ électrique à l’intérieur d’une sphère polarisée uniformémentOn considère une sphère
de centre Oet de rayon Rportant une densité volumique de moment dipolaire ~ Puniforme.
a) On a vu en cours qu’une distribution de moment dipolaire ~ Pdans un échantillon matériel était équiva-
lente à une densité volumique de charge ρpet une densité surfacique de charge σp. Rappeler les expres-
sions de ρpet σpen fonction de ~ P. Que valent-elles dans le cas de la sphère polarisée uniformément ?
Pour un point Mà la surface de la sphère, on notera θl’angle entre ~ Pet ~ OM.
b) Rappel du principe de superposition : si la densité volumique de charge ρ1engendre le champ ~ E1et la
densité ρ2engendre le champ ~ E2, quel est le champ engendré par ρ1+ρ2?
c) Expliquer pourquoi la distribution de polarisation uniforme étudiée ici peut être considérée comme la
superposition de deux distributions de charges de densités volumiques ρ0et −ρ0contenues dans deux
sphères décalées d’une distance δsuffisamment petite. Donner la relation entre P,ρ0et δ.
d) Etablir l’expression du champ électrique à l’intérieur d’une sphère uniformément chargée, portant une
densité de charge uniforme ρ.
e) En utilisant le résultat précédent, déduire l’expression du champ électrique à l’intérieur de la sphère
polarisée uniformément en fonction de ~ P.
3. Polarisation d’orientation et absorption On considère ici un diélectrique dont la polarisation met
un certain temps à s’établir lors de l’application d’un champ électrique. C’est le cas notamment lorsque les
dipôles sont permanents et nécessitent un délai pour s’orienter dans la direction d’un champ appliqué.
On suppose que la polarisation ~ Prépond au champ ~ Een obéissant à :
τd~
P(t)
dt +~
P(t) = ǫ0χ0~ E(t)
a) On s’intéresse d’abord au cas d’un champ ~ Estatique. On suppose que ~ Pet ~ Esont initialement nuls et
qu’à l’instant t= 0, le champ ~ Epasse de ~ 0à~ Estat. Donner l’expression de ~ Pen fonction du temps.
Quelle est la signification physique de τ? De χ0?
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b) On considère maintenant la réponse ~ P(t) = ~ P0e−iωt à un champ électrique oscillant ~ E(t) = ~ E0e−iωt.
Montrer que l’on peut définir une susceptibilité χ(ω)par ~ P(t) = ǫ0χ(ω)~ E(t)et donner son expression.
c) En déduire que la permittivité relative ǫr(ω) = 1 + χ(ω)est complexe est peut s’écrire sous la forme
ǫr(ω) = ǫ′
r(ω) + iǫ′′ r(ω). Donner les expressions de ǫ′ r(ω)et ǫ′′ r(ω).
d) On suppose pour simplifier que χ0≪1. Dans ces conditions, donner l’expression approchée de l’indice
complexe n(ω) = n′(ω) + in′′(ω) = √ǫr(ω). Donner l’allure des courbes n′(ω)et n′′(ω)et montrer
que cette dernière passe par un maximum pour une pulsation ωmque l’on calculera.
e) Etablir l’équation de propagation d’une onde plane du type ~ E=~ Eei(~
k.~r−ωt)dans un milieu diélectrique
d’indice nà partir des équations de Maxwell “dans la matière”, en l’absence de charges et de courants
libres.
f) Montrer que l’existence d’une partie imaginaire n′′(ω)indique que l’onde plane est absorbée au fur et
à mesure de sa progression. Donner l’expression de la distance caractéristique d’absorption. Quelle est
sa valeur minimale, correspondant au maximum de la courbe d’absorption ?
4. Réflexion d’une onde monochromatique sur la surface entre deux diélectriques. Relations
de Snell-Descartes On étudie ici la réflexion d’une onde électromagnétique plane monochromatique
progressive
~
E1=~ E01 ei(~
k1~r−ω1t),
se propageant initialement dans un milieu d’indice net rencontrant l’interface avec un milieu d’indice n′.
L’interaction de l’onde ~ E1(t)avec le diélectrique engendre une onde réfléchie
~
E2=~ E02 ei(~
k2~r−ω2t)
et une onde transmise ~
E3=~ E03 ei(~
k3~r−ω3t),
x
y
k1
k2
k3
E1
E2
E3
i1i2
i3
n
n’
On supposera pour fixer les idées que l’onde incidente est polarisée perpendiculairement au plan d’incidence.
Au niveau de l’interface, on peut décomposer tout vecteur en une composante tangentielle (parallèle à
l’interface) et une composante normale.
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a) Quelle est la structure d’une onde plane progressive monochromatique ? Quelle est la relation entre ωi
et ki=||~ ki|| ?
b) Quelles sont les relations de passage entre les composantes du champ total électrique total de part et
d’autre de l’interface. Expliquer pourquoi l’une des deux relations ne fournit aucune information.
c) On s’intéresse plus particulièrement à la relation de passage pour les composantes tangentielles. Mon-
trer que pour qu’elle soit valable à tout temps, il faut nécessairement que ω1=ω2=ω3. Justifier
physiquement ce résultat. Quelles sont alors les relations entre k1,k2, et k3?
d) De même, montrer que pour que la relation de passage soit vraie en tout point ~r de l’interface (donc, tel
que ~r.~n = 0 où ~n =~eyest le vecteur normal à la surface), il faut que (~ k2−~ k1).~r = (~ k3−~ k1).~r = 0.
e) Montrer que cela implique que ~ k2et ~ k2sont combinaisons linéaires de ~ k1et ~n. En déduire la première
loi de Descartes : les rayons réfléchis et réfractés sont dans le plan d’incidence.
f) Montrer que les résultats du d) impliquent que ~ k1,~ k2et ~ k3ont même composante tangentielle.
g) Déduire des résultats des questions c) et f) les relations entre angles d’incidence i1, de réflexion i2et de
réfraction i3(deuxièmes lois de Descartes).
h) Expliquer à partir des lois de Descartes pourquoi on peut observer un phénomène de réflexion totale si
n > n′et dans quelles conditions.
i) Justifier pourquoi, même en cas de réflexion totale, il doit y avoir une onde réfractée. Montrer que les
relations entre les normes de ~ k1et ~ k3ainsi qu’entre leurs composantes tangentielles (cf. questions c)
et f)) peuvent être simultanément vérifiées si on suppose que ~ k3=ik′′
3~ex+k′ 3~n où ~exest le vecteur
unitaire tangent à la surface et dans compris dans le plan d’incidence.
j) De quelle manière varie l’amplitude de l’onde réfractée lorsqu’on s’éloigne de la surface ? Justifier
l’appellation d’onde évanescente.
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