Feuille de TD n 1 : Nombres Complexes

Universit´e Denis Diderot Paris 7 MM1, 2013-2014
Feuille de TD n◦1 : Nombres Complexes
Exercice 1.
´
Ecrire sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants :
z1=2
1−2iz2=1 2 + i+1 2−iz3=5+2i 1−2i
z4=2+5i
1−i+2−5i 1 + iz5=1 + i 2−i2
z6=1 + i
2−i2
+3+6i
3−4i
Exercice 2.
´
Ecrire sous forme trigonom´etrique les nombres complexes suivants :
a. −3√2 b. −4
3i, c. πi d. 3 + 3i
e. −1−√3if. √6−√2ig. 1−i
√3−ih. (√5−i)(√5 + i)
i. (1 −i)9j. e3+4ik. eiπ
3+ei2π 3
Exercice 3.
´
Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants, o`u θet θ0sont des r´eels :
z1=eeiθ ;z2=eiθ +eiθ0;z3=eiθ −eiθ0;z4=eiθ +eiθ0
eiθ −eiθ0(z4est-il toujours d´efini ?)
Exercice 4.
Soit z=r(cos θ+isin θ), avec r∈R+
∗, θ ∈R.
´
Ecrire z, −z, 1
zsous la forme polaire.
Exercice 5.
Soit αun r´eel non congru `a π/2 modulo πet t= tan α:
a. Quelle est la forme exponentielle de z=1 + it
1−it ?
b. Mettre zsous forme alg´ebrique et en d´eduire que cos(2α) = 1−t2
1 + t2et sin(2α) = 2t 1 + t2.
Exercice 6.
D´emontrer l’identit´e du parall´elogramme : Pour tous nombres complexes z, z0:
|z+z0|2+|z−z0|2=|z|2+|z0|2
Exercice 7.
Calculer les racines carr´ees de
a. 16 b. 144ic. 3 + 4id. 1 + i, e. 8 −6i
f. −2 + i2√3 g. −5−12ih. i−2 i. 2 ei2π/5j. 1 + i
1−i
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Exercice 8.
a. Calculer les racines carr´ees de 1 + i
√2sous les formes cart´esienne et exponentielle.
b. En d´eduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8).
c. En utilisant la mˆeme m´ethode, calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12).
Exercice 9.
R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
a. z2+z+ 1 = 0 b. z2−(1 + 2i)z+i−1=0
c. z2−√3z−i= 0 d. z2−(3 + 4i)z−1+5i= 0
e. 4z2−2z+ 1 = 0 f. (3 −i)z2+ (4i−2)z−8i+ 4 = 0,
g. z(z−i) = iz + 2, h. z2−3z+3+i= 0,
i. z4+ 2z2+ 4 = 0 j. z4+ 2z3+ 4z2= 0,
Exercice 10.
Soit θ∈Run nombre r´eel.
R´esoudre dans Cl’´equation z2−2 cos(θ)z+ 1 = 0,
Exercice 11.
a. D´eterminer les formes cart´esiennes et exponentielles des racines 8-`emes de l’unit´e puis d´ecrire
la figure obtenue dans le plan complexe en joignant les racines avec arguments cons´ecutifs.
b. Donner les racines cinqui`emes de 1 + i
1−ipuis d´ecrire la figure obtenue dans le plan complexe
en joignant les racines avec arguments cons´ecutifs.
c. D´eterminer tous les nombres complexes ztels que z7= 64√3 + 64i.
d. Sachant que (2 + 4i)6= 7488 + 2816i, donner les racines sixi`emes de 7488 + 2816i.
Exercice 12.
R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
a. z4+ 1 = 0 b. z5+ 1 = 0 c. z6=1 + i√3
1−i√3
d. z+ 1
z−13
+z−1
z+ 13
= 0 e. z2−2¯z= 0 f. zn= ¯z
Exercice 13.
a. Calculer les racines n-i`emes de −iet de 1 + i.
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b. R´esoudre dans Cl’´equation z2−z+ 1 −i= 0.
c. En d´eduire les solutions dans Cde l’´equation z2n−zn+ 1 −i= 0.
Exercice 14.
a. D´eterminer les formes trigonom´etriques et exponentielles des racines 5-`emes de l’unit´e.
b. Dessiner de mani`ere approximative les racines 5-`emes de l’unit´e dans le plan cart´esien.
c. Soit z=x+iyune racine 5-`eme de l’unit´e. Trouver les valeurs possibles pour y/x.
d. En d´eduire les valeurs de tan π
5et tan π 10 .
e. En utilisant le fait que x2+y2= 1, d´eterminer les formes cart´esiennes des racines 5-`emes de
l’unit´e.
f. En d´eduire les valeurs de cos π
5, sin π 5, cos π 10 et sin π 10 .
Exercice 15. Soit αun r´eel, exprimer en fonction de cos αet sin αles formules trigonom´etriques
suivantes :
a. cos(3α) b. sin(3α), c. sin(4α), d. cos(5α),
Exercice 16.
Soit θun nombre r´eel. Lin´eariser les expressions suivantes :
a. cos3θb. sin3θc. cos3θ+ sin3θ
d. cos4θe. sin5θf. sin θcos3θ
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