Feuille de TD n 1 : Nombres Complexes

Université Denis Diderot Paris 7
MM1, 2013-2014
Feuille de TD n◦ 1 : Nombres Complexes
Exercice 1.
Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
2
1
1
z1 =
z2 =
+
1 − 2i
2+i 2−i
2
1+i
2 + 5i 2 − 5i
+
z5 =
z4 =
1−i
1+i
2−i
5 + 2i
1 − 2i
2
1+i
3 + 6i
z6 =
+
2−i
3 − 4i
z3 =
Exercice 2.
Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
√
4
a. −3 2
b. − i,
c. πi
3
√
√
√
1−i
f. 6 − 2i
g. √
e. −1 − 3i
3−i
i. (1 − i)9
π
d. 3 + 3i
√
√
h. ( 5 − i)( 5 + i)
2π
k. ei 3 + ei 3
j. e3+4i
Exercice 3.
Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants, où θ et θ0 sont des réels :
0
eiθ + eiθ
eiθ
iθ
iθ0
iθ
iθ0
z1 = e ;
(z4 est-il toujours défini ?)
z2 = e + e ;
z3 = e − e ;
z4 = iθ
e − eiθ0
Exercice 4.
Soit z = r(cos θ + i sin θ), avec r ∈ R+
∗ , θ ∈ R.
1
Écrire z, −z,
sous la forme polaire.
z
Exercice 5.
Soit α un réel non congru à π/2 modulo π et t = tan α :
a. Quelle est la forme exponentielle de z =
1 + it
?
1 − it
b. Mettre z sous forme algébrique et en déduire que cos(2α) =
1 − t2
2t
et sin(2α) =
.
2
1+t
1 + t2
Exercice 6.
Démontrer l’identité du parallélogramme : Pour tous nombres complexes z, z 0 :
|z + z 0 |2 + |z − z 0 |2 = |z|2 + |z 0 |2
Exercice 7.
Calculer les racines carrées de
a. 16
√
f. −2 + i 2 3
b. 144i
c. 3 + 4i
d. 1 + i,
g. −5 − 12i
h. i − 2
i. 2 ei2π/5
1
e. 8 − 6i
1+i
j.
1−i
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Exercice 8.
1+i
a. Calculer les racines carrées de √ sous les formes cartésienne et exponentielle.
2
b. En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8).
c. En utilisant la même méthode, calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12).
Exercice 9.
Résoudre dans C les équations suivantes :
a. z 2 + z + 1 = 0
√
c. z 2 − 3z − i = 0
b. z 2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0
d. z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0
e. 4z 2 − 2z + 1 = 0
f. (3 − i)z 2 + (4i − 2)z − 8i + 4 = 0,
g. z(z − i) = iz + 2,
h. z 2 − 3z + 3 + i = 0,
i. z 4 + 2z 2 + 4 = 0
j. z 4 + 2z 3 + 4z 2 = 0,
Exercice 10.
Soit θ ∈ R un nombre réel.
Résoudre dans C l’équation z 2 − 2 cos(θ)z + 1 = 0,
Exercice 11.
a. Déterminer les formes cartésiennes et exponentielles des racines 8-èmes de l’unité puis décrire
la figure obtenue dans le plan complexe en joignant les racines avec arguments consécutifs.
1+i
puis décrire la figure obtenue dans le plan complexe
b. Donner les racines cinquièmes de
1−i
en joignant les racines avec arguments consécutifs.
√
c. Déterminer tous les nombres complexes z tels que z 7 = 64 3 + 64i.
d. Sachant que (2 + 4i)6 = 7488 + 2816i, donner les racines sixièmes de 7488 + 2816i.
Exercice 12.
Résoudre dans C les équations suivantes :
√
1
+
i
3
√
c. z 6 =
1−i 3
a. z 4 + 1 = 0
b. z 5 + 1 = 0
3 3
z+1
z−1
d.
+
= 0 e. z 2 − 2z̄ = 0
z−1
z+1
f. z n = z̄
Exercice 13.
a. Calculer les racines n-ièmes de −i et de 1 + i.
2
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b. Résoudre dans C l’équation
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z 2 − z + 1 − i = 0.
c. En déduire les solutions dans C de l’équation
z 2n − z n + 1 − i = 0.
Exercice 14.
a. Déterminer les formes trigonométriques et exponentielles des racines 5-èmes de l’unité.
b. Dessiner de manière approximative les racines 5-èmes de l’unité dans le plan cartésien.
c. Soit z = x + iy une racine 5-ème de l’unité. Trouver les valeurs possibles pour y/x.
π
d. En déduire les valeurs de tan π5 et tan 10
.
e. En utilisant le fait que x2 + y 2 = 1, déterminer les formes cartésiennes des racines 5-èmes de
l’unité.
π
π
f. En déduire les valeurs de cos π5 , sin π5 , cos 10
et sin 10
.
Exercice 15. Soit α un réel, exprimer en fonction de cos α et sin α les formules trigonométriques
suivantes :
a. cos(3α)
b. sin(3α),
c. sin(4α),
d. cos(5α),
Exercice 16.
Soit θ un nombre réel. Linéariser les expressions suivantes :
a. cos3 θ
b. sin3 θ
c. cos3 θ + sin3 θ
d. cos4 θ
e. sin5 θ
f. sin θ cos3 θ
3