Chapitre 1
Nombres complexes
Les nombres complexes sont apparus en Italie au XVIe siècle.
Niccolo Tartaglia le premier résout des équations du troisième
degré. Il révèle sa formule à Jérôme Cardan qui la publie en
1545 dans son ouvrage Ars Magna. Cependant, certaines racines
réelles échappaient à cette formule. En 1560,
Rafaele Bombelli s’aperçoit qu’on les retrouve si l’on conserve
des racines de nombres négatifs qui se simplifient
en fin de calcul. Cela le conduit à introduire les nombres
complexes dont il donne explicitement les règles de calculs.
Cependant, ces nouveaux nombres, nommés imaginaires par
René Descartes en 1637, peinent à se faire admettre.
Leonhard Euler les utilise abondamment et ose,
en 1749, cette définition :
On nomme quantité imaginaire celle qui n’est ni plus grande que zéro, ni plus petite que zéro,
ni plus égale à zéro ; ce sera quelque chose d’impossible comme √–1.
Au début du siècle suivant, Carl Friedrich Gauss donne une construction effective
de ces nombres et précise les opérations d’addition et de multiplication. On les dénomme alors
nombres complexes, c'est-à-dire composés de deux nombres, les parties réelle et imaginaire.
Jérôme Cardan
1501
-
1576
Objectifs
Les incontournables
Savoir manipuler les écritures algébrique et exponentielle des nombres
complexes :
- pour simplifier une expression complexe ;
- pour déterminer si un nombre complexe est réel.
Utiliser les nombres complexes en trigonométrie :
- pour linéariser une expression trigonométrique ;
- pour établir une formule trigonométrique.
Savoir résoudre une équation polynomiale, notamment :
- déterminer les racines n-ièmes d’un nombre complexe ;
- calculer les racines carrées d’un nombre complexe, présenté sous forme
algébrique ou exponentielle ;
- résoudre les équations polynomiales de degré 2.
R´esum´e de cours
Notation alg´ebrique des nombres complexes
Pr´esentation de C
efinition : On appelle nombre complexe toute quantit´e de la forme a+ib, o`u (a, b)R2et o`u
iest un nombre complexe tel que i2=1.
aest la partie eelle de zet best la partie imaginaire et on note a=Re (z)et b=Im (z).
Vocabulaire : Si la partie r´eelle de zest nulle, on dit que zest imaginaire pur.
Th´eor`eme 1.1.— Unicit´e de l’´ecriture d’un nombre complexe en notation alg´ebrique —. Pour
tout couple (z, z)C2de nombres complexes,
z=zRe z=Re z
Im z=Im z
On note Cl’ensemble des nombres complexes non nuls.
Conjugu´e et module d’un nombre complexe
efinition : Le conjugu´e du nombre complexe z=a+ib, o`u (a, b)R2est ¯z=aib.
Le conjugu´e v´erifie les diff´erentes propri´et´es suivantes.
Proposition 1.2.— Soit (z, z)C2un couple de nombres complexes. Alors :
z+z= ¯z+ ¯z;
si z6= 0, z/z= ¯z/¯z;
¯z=z;
z.z= ¯z¯z;
Re (z) = 1
2(z+ ¯z) ;
Im (z) = 1
2i(z¯z).
Corollaire 1.3.— Caract´erisation des nombres r´eels, imaginaires purs —. Soit zCun nombre
complexe. Alors :
zest r´eel Im (z) = 0 z= ¯z;
zest imaginaire pur Re (z) = 0 z=¯z.
efinition : Le module du nombre complexe z=a+ib, o`u (a, b)R2est le r´eel positif ou nul
d´efini par |z|=z¯z=a2+b2.
Remarque : soit zC, on a l’encadrement max{|Re z|,|Im z|} ≤ |z| ≤ |Re z|+|Im z|.
Proposition 1.4.— Propri´et´es du module —. Pour tout couple (z, z) de nombres complexes,
|z.z|=|z||z|;|z/z|=|z|/|z|;
|z+z| ≤ |z|+|z|;|zz| ≥ |z| − |z|.
Remarque : |z+z|=|z|+|z|si, et seulement si, il existe un r´eel λ > 0 tel que z=λz.
NOMBRES COMPLEXES 3 
Plan complexe
Le plan complexe Pest le plan muni d’un rep`ere orthonormal direct R= (O, ~ı, ~). `
A tout nombre
complexe z=x+iy, o`u (x, y)R2, on associe le point Mde Ptel que
OM =x~ı +y~. On dit
que Mest l’image du complexe zet que zest l’affixe du point M. On peut associer aussi `a z
le vecteur ~u =x~ı +y~. On dit que zest l’affixe du vecteur ~u.
Nombres complexes de module 1
On note Ul’ensemble des nombres complexes de module 1.
Exponentielle imaginaire pure
efinition : Soit θR, on appelle exponentielle imaginaire d’angle θ, et on note ele
complexe e= cos(θ) + isin(θ).
Proposition 1.5.— Repesentation des nombres complexes de module 1 —. Pour tout nombre
complexe zU, il existe θR, unique `a 2π-pr`es, tel que z=e.
Th´eor`eme 1.6.— R`egles de calcul pour l’exponentielle imaginaire —. Soit (θ, θ)R2, alors :
ei0= 1 ; e= 1/e=e;
ei(θ+θ)=e×e;ei(θθ)=e/e.
Formules d’Euler et Moivre
Th´eor`eme 1.7.— Pour tout r´eel θRet tout entier relatif nZ,
Euler : cos(θ) = e+e
2et sin(θ) = ee
2i;
Moivre : en=einθ , soit cos(θ) + isin(θ)n= cos() + isin().
Applications `a la trigonom´etrie
Lemme 1.8.— Factorisation d’une somme d’exponentielles —. Soit (θ1, θ2)R2, alors
e1+e2= 2 cos θ1θ2
2eiθ1+θ2
2e1e2= 2isin θ1θ2
2eiθ1+θ2
2.
On eduit de ces propri´et´es, les formules de trigonom´etrie rappel´ees `a la fin du esum´e de cours.
Notation exponentielle des nombres complexes
Proposition 1.9.— Soit zCun nombre complexe non nul. Il existe un couple de r´eels (ρ, θ)
R
+×Rtel que z=ρe=ρcos θ+isin θ.
Cette ´ecriture est appel´ee forme exponentielle ou trigonom´etrique de z.
  4CHAPITRE 1
efinition : Si zCs’´ecrit z=ρe, alors n´ecessairement ρ=|z|. On appelle un argument
de z, et on note Arg (z)tout nombre r´eel tel que z=|z|eiArg (z).
Interpr´etation : soit Ml’image dans le plan complexe d’un complexe non nul z=ρe. Alors
ρ=|z|est la longueur du vecteur
OM et θest une mesure modulo 2πde l’angle orient´e (~ı,
OM ).
Il n’y a donc pas unicit´e de l’´ecriture exponentielle.
Th´eor`eme 1.10.— D´efaut d’unicit´e de l’´ecriture en notation exponentielle —. Pour tout couple
(z, z)C×Cde nombres complexes non nuls :
z=z|z|=|z|
Arg (z)≡ Arg (z) [2π]
Notation : dans l’´enonc´e ci-dessus, on a not´e θ1θ2[2π]la relation kZ, θ2=θ1+ 2 .
Proposition 1.11.— Propri´et´es des arguments —. Soit (z, z)C×Cet nZ. Alors
Arg (z.z)≡ Arg (z) + Arg (z) [2π] ; Arg (z/z)≡ Arg (z)− Arg (z) [2π] ;
Arg (¯z)≡ −Arg (z) [2π] ; Arg (zn)nArg (z) [2π].
Fonction exponentielle complexe
efinition : Soit z=x+iy en notation alg´ebrique. On d´efinit l’exponentielle de zpar :
ez=ex+iy =exeiy =excos y+isin y).
On appelle fonction exponentielle complexe la fonction : CC, z 7→ ez.
Les r`egles de calcul pour les fonctions exponentielles r´eelle et imaginaire pure, s’´etendent `a la
fonction exponentielle complexe. On a notamment (z, z)C2, ezez=ez+z.
Racines ni`emes d’un complexe
efinition : On appelle racine ni`eme de l’unie tout complexe zerifiant zn= 1.L’ensemble des
racines ni`emes de l’unit´e est not´e Un.
Th´eor`eme 1.12.— Soit nN,n1. Notons pour kZ,zk= exp 2ikπ
n. Alors
Un={zk;kZ}={z0, z1,...,zn1}
Exemples : U1={1},U2={−1,1},U3={1, j, j2},U4={1, i, 1,i}, o`u j=ei2π
3.
Proposition 1.13.— Racines ni`emes d’un complexe non nul quelconque —. Pour tout nombre
complexe ωC,il existe exactement ncomplexes zerifiant zn=ω.
Si on pose ω=ρe, avec (ρ, θ)R
+×R, il s’agit des complexes d´efinis par :
k[[0, n 1]], zk(ω) = ρ1
nei(θ
n+2
n)
NOMBRES COMPLEXES 5 
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