Chapitre II

I. 
R
Ò
C
Ile
s
sou
P
=
(k=
Ile
s
sou
P
=
Eni
FACULTÉ DES SCIENCES
DE L
’
INGÉNIEUR
Ch
R
appelsurl
e
C
hamp
s
tbienéta
b
miseàune
u
rmM
k
2
−
=
6.6710
‐11
S
s
tpossible
a
slaforme:
gm
=
ntroduisan
t
DE L INGÉNIEUR
amp
e
champet
b
liqu'une
m
forcecorr
e
u
S
.I.)
a
ussi,d'écri
t
levecteu
r
S
E
L
M
C
et P
o
potentiel
g
m
assem,s
i
e
spondant
à
recettem
ê
r
champde
E
CTION T
R
M
D : 1
IÈRE
AN
C
ours P h
y
o
tenti
g
ravitation
n
i
tuéeàun
e
à
sonpoids.
ê
meforce,
gravitation
R
ON COM
M
N
NÉ
E
y
sique 2 :
el El
e
n
el
e
distancer
Cetteforc
e
g
M
UN LMD
Electricité
e
.
Ch
a
e
ctri
q
ducentre
e
estdonn
é
e
t Magnét
is
.
M
r
u
a
pitr
e
q
ue
delaterre
é
epar:
is
me
.
m
P
5
e
II
,est

6
donnépar:u
r
M
kg 2
−= 
Cevecteurdécritl'étatgravitationneldechaquepointdel'espaceindépendamment
delamassemquipeutyêtreplacée.
ÒPotentiel
Unemassem,situéeenunpointSdanslechampdepesanteurterrestre,possède
uneénergiepotentielleEp.
Uneforcedérived'unpotentielsiletravailwdecetteforceestindépendantdu
cheminsuivi.
),,(),,( BBBpAAAp
B
A
FzyxEzyxEdlFw −=⋅= ∫
C'estlecasdupoidsd'uncorps P.L'énergiepotentiellegravitationnelleEPsecalcule
par:
cte
r
Mm
k
dr
r
Mm
kdlu
r
Mm
kdlPdwdEP
+−=
=−=−=−= 22
quel'onpeutl'écrire
 )(' potentielcte
r
M
kUavecmUEp+−==
La relation entre getUestdonnéepar:
dl
dU
gencoreoudlgdU −=−= 
c'est‐à‐dire Ugradg −=
II.ChampetPotentielcrééspardeschargesélectriques
II.1.Chargeponctuelleunique
ConsidéronsunechargeponctuelleQimmobile,danssonvoisinage,toutechargeq
subituneforce:
. .
M
S
r
g
u

7
)(
2Coulombdeloiu
r
qQ
kF =
Leschargespeuventêtrepositivesounégatives.Deuxchargespositives(ou
négatives)serepoussent,deuxmassess'attirent,cequiexpliqueladifférencede
signeparrapportàlaloideNewton.
Commedanslecasduphénomènedegravitation,nouspouvonsparsimilitude
définirlesgrandeurssuivantes:
ÒForceélectrique:
u
r
qQ
kF 2
=
EqF =
ÒChampélectrique,Potentielélectrique:
qVE
cte
r
Q
kV
EqF
u
r
Q
kE
p=
+=
=
=2
Remarque
‐ Levecteurchampélectriqueu
r
Q
kE 2
=estdéfinicommelaforceagissant
surlachargeunitéplacéeenunpoint.
Q
>0
Q
>0
Q
<0
Q
<0
q+ q
+ q - q-
....
F
F
F
F
Q
>0
q+
.F
E
⎩
⎨
⎧
>
>
0
0
p
E
V
Q
>0
q-
.
F
E
⎩
⎨
⎧
<
>
0
0
p
E
V
Q
<0
q+
.
FE⎩
⎨
⎧
<
<
0
0
p
E
V
F
Q
<0
q-
.
E
⎩
⎨
⎧
>
<
0
0
p
E
V

8
‐ Lepotentielélectriquecte
r
Q
kV += estdéfinicommel'énergied'une
chargeunitéplacéeenunpoint.
II.2.Casdedeuxchargesponctuelles(Principedesuperposition)
Considéronslecasdedeuxchargesponctuellesfixesq1etq2agissantsurune
troisièmechargeq.
L'actionconjuguéedeq1etq2surq
estlasommedesactionsdeq1etq2
agissantséparément.
EqEEq
u
r
qq
ku
r
qq
kFFF
=+=
+=+=
)( 21
2
2
2
2
1
2
1
1
21 
LechampE créé en un point M par
deuxchargesponctuellesestlasomme
desdeuxchamps21 EetE crééspar
chacunedeschargesq1etq2.
LepotentielenMsecalculeenadditionnantlespotentielscréésencepointpar
chacunedeschargesq1etq2:V=V1+V2
UnechargeqplacéeenMpossèdeuneénergiepotentielleEp=qV=q(V1+V2)
II.3.Généralisation
ÒCasdenchargesponctuellesq1,q2,q3,…….qn
Lechampsecalculepar: i
n
ii
iu
r
q
kE ∑
=
=
12
Lepotentielestdonnépar:cte
r
q
kV n
ii
i+= ∑
=1
ÒCasd'unedistributioncontinuedechargesrépartiesensurfaceouenfolume
3 casd'unesurface
sids
dqi
= σ
(densitésuperficielledecharge),alors:
.
.
.
2
F
1
F
F
q1(+)
q2(-)
2
u
1
u
q(+)
Compositiondesforces
.
.
.
2
E
1
E
E
q1(+)
q2(-)
Compositiondeschamps
M

9
∫∫
=
Si
i
u
r
ds
kE 2 σ
c
r
ds
kV
Si
+= ∫∫ σ
3 casd'unvolume
sidv
dqi
= ρ
(densitévolumiquedecharge),alors:
∫∫∫
=
vi
i
u
r
dv
kE 2 ρ
cte
r
dv
kV
vi
+= ∫∫∫ ρ
II.4.Passageduchampaupotentieletdupotentielauchamp
Achaquepointdel'espaceM(x,y,z)sontassociésdeuxfonctions,l'une
vectorielleetl'autrescalaire,quipermettentdedécrirel'espaceélectrique:
Lechamp ),,( zyxEE =;lepotentiel ),,( zyxVV
=
Onsaitque:
dzEdyEdxEdlEdV zyx ++==− 
celapermetdecalculerVàpartirduchampE
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Paridentification:
z
V
E
y
V
E
x
V
Ezyx ∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−= ,, 
Onécritséparément:
 VgradE −= 
II.5.Exempledecalculdechampetdepotentielélectrique
ÒChampetpotentielcréécirconférenceuniformémentélectrisé
Soitunechargequniformémentrépartie,avecunedensitélinéiqueλ,surune
circonférencedecentreOetderayona.
Unélémentdldecirconférence