Présentation : l`acoustique ()

Position du problème
Le son se propage dans toutes les directions et seule une faible
partie de l’énergie acoustique atteint le spectateur.
Idée : Afin de « concentrer » le son vers le spectateur on va placer des
panneaux réfléchissants autour du musicien. On va utiliser les lois de
Descartes de la réflexion pour orienter correctement les panneaux.
Rappels : Loi de Descartes
Pour une surface courbe
Pour une surface plane
Normale
Normale
Tangente
L’angle d’incidence i et l’angle de réflexion r sont égaux.
Construction graphique
Feuille A3
Deuxième idée
L’écho nuit à l’intelligibilité du message, si le temps de
réverbération est trop important. Si on veut le réduire
totalement, il faut que les temps mis pas le son pour
parcourir les différents chemins entre la source et le
l’auditeur soient égaux :
M
P
S
PM  MS
t
 cte
Vson
Donc PM + MS = Cte
Conclusion :
1. La forme de la salle est une ellipse,
dont P et S sont les foyers.
2. Il y a équivalence entre la loi de
Descartes de la réflexion et la
constance de la distance PM + MS :
Principe de Fermat.
Principe de FERMAT
δM
L’
B
M
L
A
Le chemin optique : dL = n . ds
(ds : distance entre deux points voisins
sur le trajet suivi par la lumière)
Soit L le chemin optique de A à B en
passant par M et L’ en passant par M’
Le chemin optique est stationnaire
alors :

L  L' L  M
L  0
Le rayon lumineux est la
trajectoire qui réalise le
minimum (ou maximum) de L
1. Déplacer M et observer l’évolution de L
2. Observer que L est minimal quand i = r
3. Observer la valeur et le signe de L’ - L
Justification
Evaluons PM’ – PM …
I



PM ' PM  u .PM '  u .PM  u .( PM '  PM )

PM ' PM  u .MM '
De même



MS  M ' S  v .MS  v .M ' S  v .( MS  M ' S )

MS  M ' S  v .MM '
Si
PM  MS  PM ' M ' S
alors
PM ' PM  MS  M ' S
d ' où


u .MM '  v .MM '
Principe de Fermat
 
(u  v ).MM '  0
Soit
Alors
Alors

 
v  u  k .N

 
v  u  k .N
 

N v  N u

N
Le vecteur perpendiculaire au vecteur
MM '
Le rayon réfléchi est dans le plan
d’incidence défini par les vecteurs u et N.
α=-β
Document : « Fermat », disponible en PDF sur le site de l’IREM
Sources secondaires
Quelle est la courbe
décrite par les sources
secondaires P’ ?
Les sources secondaires P’
sont réparties sur un cercle
centré sur le spectateur en S.
Justification
MP  MP '
et
PM  MS  Cte
Donc
MP ' MS  Cte
D ' où
P ' S  Cte
Donc les points P’ sont situés
sur un cercle ce centre S et de
rayon R = PM + MS.
Essai sur la cuve à onde
Verre dépoli
Cuve / fond
transparent
Miroir
Exposition 2013 – 2014
Salines Royales – Arc et Senans
Théâtres idéaux du siècle des lumières
Pierre PATTE (1723 – 1814)
Théâtre, 1782
Pierre Patte, plan et coupe de Théâtre suivant
les principes de l’optique et de l’acoustique,
Gravure de Pierre-Nicolas Ransonnette
Prolongement en optique
Problème :
Comment concentrer des rayons
lumineux parallèles en un point F à
l’aide d’une surface réfractante ?