Ensemble des nombres complexes

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Séquence 6 – MA02
Séquence 6
Ensemble des
nombres complexes
Cette séquence est une brève introduction à
un nouvel ensemble de nombres, ensemble qui
contient l’ensemble
R
des nombres réels et
dans lequel les carrés peuvent être négatifs.
Sommaire
Prérequis
Définition – Forme algébrique
Forme trigonométrique
Synthèse
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Séquence 6 – MA02
Équation du second degré dans 
Les nombres a , b et c sont des nombres réels avec a ≠0 et x  est un nombre réel.
Tout trinôme du second degré
ax bx c
2++ avec
a ≠0 peut s’écrire sous la
forme
ax bx c a x b
aa
22
2
24
++= +
−
∆ où ∆= −
bac
24.
Résolution dans Rde l’équation
ax bx c
20++=
∆>0∆=0∆<0
Deux solutions:
xb
a
2et
1=−−∆
xb
a
22
=−+ ∆
Une solution :
α =−
b
a 2
Pas de solution
Géométrie
 Longueur de la diagonale d’un carré, de l’hypoténuse d’un rectangle isocèle.
Aa
a
a 2
B
C
 Le plan est muni d’un repère orthonormé O;
uv
,.
()
t L’équation
ax by c ++=0 avec
ab ;;
()
≠
()
00 est une équation de droite.
t La distance des points M0
xy
00
;
()
et M xy ;
()
est égale à
MM
0=−
()
+−
()
xx yy
0202.
t L’équation
xx yy R −
()
+−
()
=
02022 est une équation du cercle de centre
Ω xy
00
;
()
et de rayon R .
A
Théorème
Théorème
B
1Prérequis
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Séquence 6 – MA02
Montrer que l’ensemble E ayant pour équation
xy xy
22
420+−+=
est un
cercle dont on donnera le centre et le rayon.
On transforme l’équation donnée pour faire apparaître
xx −
()
02 et
yy −
()
02.
On a les équivalences:
xy xy x x y y
22 2 2
420 4 2 0+−+=⇔ −
()
++
()
=
⇔−+
()
+++
()
−= xx yy
22
44 2150
⇔− ++()(
xy 21
2)). 25=
La dernière équation permet de reconnaître que l’ensemble E est le cercle de
centre Ω21;−
()
et de rayon 5.
 Formules de trigonométrie
Dans le plan muni d’un repère orthonormé
direct (O ; OI OJ),
, on considère un cercle C
orienté de centre O et de rayon 1. Soit x un réel
et M le point qui lui est associé.
On appelle cosinus de
x et sinus de x les coor-
données de M dans le repère (O ; OI OJ). ,
On a ainsi: M (cos
x ; sin x ).
M
O
J
I
cos x
sin x
x
+
Définition
Réel x 0π
6
π
4
π
3U
cos x 13
2
2
2
1
20
sin x 01
2
2
2
3
21
Propriété
Pour tout réel x et tout entier relatif k , on a:
t −≤ ≤11cos
x
et −≤ ≤11sin x ;
t
cos sin
22
1 xx +=
;
t cos cos
sin sin
()
()
xk x
xk x
+× =
+× =
2
2
π
π
.
Exemple A
 Solution
À savoir
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Séquence 6 – MA02
Propriétés
cosinus et sinus des réels associés à un réel x
cos( ) cos
sin( ) sin
−=
−=−
xx
xx
cos( ) cos
sin( ) sin
π
π
+=−
+=−
xx
xx
cos( ) cos
sin( ) sin
π
π
−=−
−=
xx
xx
cos sin
sin cos
π
π
2
2
−
=
−
=
xx
xx
cos sin
sincos
π
π
2
2
+
=−
+
=
xx
xx
Propriétés
Formules d’addition
Pour tous réels a et b , on a:
cos cos cos sin sin ,
cos cos cos si
ab a b a b
ab a b
+
()
=−
−
()
=+nnsin,
sin sin cos cos sin
sin sin
ab
ab a b a b
ab
+
()
=+
−
()
=
,
aab ab cos cos sin−.
cos cos sin222 aaa =−
cos cos22 1
2
aa =−
cos sin212
2
aa =−
sin sin cos22 aaa =
Fonction exponentielle
C
Théorème
Relation fonctionnelle caractéristique
La fonction exponentielle est la seule fonction f non nulle et dérivable sur R
telle que ′= f ()01 et, pour tous réels a et b ,
fa b fa fb ()()().+= ×
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Séquence 6 – MA02
2Définition –
Forme algébrique
Objectifs du chapitre
L’existence d’un ensemble de nombres dans lequel des carrés peuvent être néga-
tifs est énoncée dans un théorème, admis en terminale.
On expérimente alors les calculs possibles.
On en donne une première interprétation géométrique.
On résout toutes les équations du second degré.
Par nécessité, la notion de nombre s’est enrichie au cours des siècles.
 On connaît  ensemble des entiers naturels {0;1;2;
}
…N=.
L’ensemble Zdes entiers relatifs contient N ainsi que les opposés des entiers
naturels: { ;–3;–2;–1;0;1;2;
}
……Z=
Les nombres fractionnaires, nécessaires pour les partages, sont de la forme
a
b
avec a et b entiers ; ils constituent l’ensemble des nombres rationnels.
En prenant
b = 1, on voit que Z est un sous-ensemble de .
L’ensemble
R
des réels est constitué de l’ensemble des nombres ration-
nels et aussi de l’ensemble des nombres irrationnels (qu’on ne peut pas écrire
sous la forme
a
b
avec a et b entiers); nous en connaissons des exemples:
π ,,23…
Pour résoudre des équations (du troisième degré en particulier), les mathéma-
ticiens du XVIe siècle commencèrent à entrevoir l’existence d’autres nombres
qu’ils appellent nombres imaginaires. C’est le cas en particulier de Jérôme Car-
dan, mathématicien italien, qui obtenait des résultats intéressants en prenant
la racine carrée d’un nombre négatif.
Au milieu du XVIIIe siècle, le mathématicien suisse Leonhard Euler désigne
par i le nombre imaginaire –1 ; ainsi i2 = –1 et tous les imaginaires inventés
seront de la fonne a + i b avec a et b réels.
Tous ces nombres constituent l’ensemble des nombres complexes, exemple
que l’on va noter .
Ces ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres. Ils ont des pro-
priétés différentes, en particulier dans la résolution des équations.
L’équation 74+=
x
n’a pas de solution dans
N
, mais sa solution (–3) est
dans
Z
.
L’équation 32
x = n’a pas de solution dans
Z
, mais sa solution 2
3 est dans
.
A
Remarque
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