Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme Mouvement avec

Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme
Mouvement avec vitesse initiale quelconque
(Correction)
1 – Etude préliminaire
1. Définir le système étudié, ainsi que le référentiel choisi (repère (Ox,Oz)). Dans ce repère, la
position initiale de la bille est Go(xo;zo).
Système : bille d’acier résumée à son centre d’inertie G, de masse m = 19,9 g.
Référentiel choisi : référentiel terrestre dont le repère d’espace est attaché à la position initiale de la bille
Go(xo;zo) ; les axes (Ox) et (Oz) sont choisis respectivement horizontal vers la droite et vertical vers le
haut.
2. Décrire le mouvement du système (trajectoire et vitesse) dans le référentiel choisi.
Le centre d’inertie G de la bille décrit un mouvement parabolique varié (ie. non uniforme).
3. Faire le bilan des forces extérieures appliquées au système (on négligera les frottements).
La bille n’est soumise qu’à son poids
P
, vertical et vers le sol, d’intensité P = m × g = 0,0199 × 9,8 =
0,20 N. L’action initiale exercée par le lanceur n’est pas maintenue lors du mouvement étudié (il s’agit
d’une action de contact). On néglige les frottements dus à l’air.
4. Le référentiel choisi peut-il être considéré comme galiléen ?
Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen si la durée du mouvement étudié est
négligeable devant le jour terrestre ; c’est ici le cas, la durée de la chute ne dépassant pas la seconde.
Si c’est le cas,
a. appliquer le principe d’inertie au système : que permet-il de dire ?
La bille n’est soumise qu’à une force non nulle, son poids ; d’après le principe d’inertie, son mouvement
ne peut donc pas être rectiligne et uniforme. C’est effectivement ce que l’on observe.
b. appliquer la 2ème loi de Newton au système.
ext G
F P m a
G
m g m a
G
a g
L’accélération du centre d’inertie de la bille est celle du champ de pesanteur du lieu d’étude.
5. En déduire les équations différentielles à laquelle obéissent les composantes de la vitesse.
( ) 0
( )
x
G
z
a t
a t
a t g
équivaut à
0
x
z
dv
dt
dv
g
dt
6. Donner les conditions initiales sur la position et la vitesse (on notera
o
v
le vecteur vitesse initiale
et αo l’angle que fait ce vecteur avec l’horizontale).
7. Par intégration, donner les caractéristiques du vecteur vitesse
v
en fonction du temps.
αo
o
v
x
z
k
i
v
ox
= v
o
cos α
o
v
o
z
= v
o
sin α
o
( )
( )
o o
o
o o
x t x
OM
z t z
et
( ) cos
( )
( ) sin
x o ox o
o o
z o oz o
v t v v
v t v
v t v v
Terminale S – PHYSIQUE TP n°10

2
0
x
z
dv
dt
dv
g
dt
donne par intégration
1
2
( )
( )
x
z
v t C
v t g t C
On détermine les valeurs des constantes à l’aide des conditions initiales,
1
2
( ) cos
( ) sin
x o o
o
z o o
v t C v
v
v t C v
Les coordonnées du vecteur vitesse sont donc, à chaque instant,
( ) cos
( )
( ) sin
x o
z o
v t v
v t
v t g t v
8. Par intégration, donner les caractéristiques du vecteur position du centre d’inertie G,
OG
, en
fonction du temps.
Les coordonnées du vecteur position s’obtiennent par intégration de celles du vecteur vitesse,
( ) cos
( )
( ) sin
x o
z o
v t v
v t
v t g t v
 donne, après intégration,
3
2
4
( ) cos
( )
1
( ) sin
2
o
o
x t v t C
OG t
z t g t v t C
On détermine les valeurs des constantes à l’aide des conditions initiales : le vecteur position étant
initialement (xo;zo), les constantes s’identifient à ces coordonnées. Ainsi, le vecteur position instantané
s’écrit
2
( ) cos
( )
1
( ) sin
2
o o
o o
x t v t x
OG t
z t g t v t z
9. En déduire l’équation de la trajectoire.
Comme le mouvement est situé dans le plan
xOz
, l’équation cartésienne de la trajectoire prend la forme
z(x) : pour l’obtenir, nous partons des équations horaires x(t) et z(t), et nous allons éliminer la date t.
2
( ) cos (1)
1
( ) sin (2)
2
o o
o o
x t v t x
z t g t v t z
A l’aide de l’équation (1), nous pouvons exprimer t en fonction de x :
cos
o
o
x x
tv
et insérer cette expression dans l’équation (2) :
2
1
( ) ( ) sin
2 cos cos
o o
o o
o o
x x x x
z t z x g v z
v v

3
c’est-à-dire
2
2
sin
( ) cos
2 cos
o
o o o
o
o
v
g
z x x x x x z
v
v
et plus proprement
2
2
( ) tan
2 cos
o o o
o
g
z x x x x x z
v
2 - Numérisation du mouvement
3 – Traitement des données
1. Renommer les coordonnées « Mouvement X » en « absx » et « Mouvement Y » en « ordz ».
t (s) absx (m) ordz (m)
0 0,0745 0,2590
0,04 0,1600 0,3499
0,08 0,2419 0,4317
0,12 0,3292 0,4971
0,16 0,4128 0,5443
0,2 0,4947 0,5825
0,24 0,5802 0,6007
0,28 0,6638 0,6043
0,32 0,7493 0,5916
0,36 0,8348 0,5643
0,4 0,9185 0,5207
0,44 1,0021 0,4644
0,48 1,0876 0,3880
0,52 1,1731 0,2990
0,56 1,2586 0,1990
2. Créer une variable de temps « t » et y copier les valeurs correspondantes. Pourquoi les mesures de
position sont-elles séparées de 0,040 s ?
La webcam enregistre 25 images en 1 seconde ; chaque image est prise tous les 1/25 seconde, soit toutes
les 0,040 s.
3. Dans la fenêtre graphique n°1, tracer les variations de l’abscisse « absx = f(t) » et de l’ordonnée
« ordz = f(t) ». Modéliser ces courbes, relever les paramètres donnés par le logiciel. Conclure en
se reportant à l’étude préliminaire.

4
On rappelle que nous avions déterminé
2
( ) cos (1)
1
( ) sin (2)
2
o o
o o
x t v t x
z t g t v t z
On peut donc en tirer les informations suivantes,
xo = 7,4 cm
zo = 26 cm
vo cos α = 2,11 m/s
vo sin α = 2,58 m/s
et on retrouve bien – ½ g ~ – 4,80 .
4. Dans la fenêtre graphique n°2, tracer la trajectoire « ordz = f(absx) ». Utiliser l’outil tangente (et
son équation) pour déterminer l’angle αo que fait le vecteur vitesse initiale
o
v
avec l’horizontale
(Ox).
zo = 26 cm
xo = 7,4 cm
z
xO

5
Le coefficient directeur (ou pente) de la tangente à l’origine se définit comme la tangente de l’angle αo
cherché. En effet, mathématiquement,
On constate ici que
tan 1, 22
o
 donc
Arctan1, 22 50,6
o
.
5. Définir les variables de vitesse « vx », « vz » et « v » qui désignent les coordonnées et la norme du
vecteur vitesse de la bille. En utilisant une formule du type « vx = ( x[n+1] – x[n–1] ) / Δt »,
remplir les colonnes vx et vz, en donnant les limites de cette méthode !
Dans une Feuille de calcul, on rentre les formules suivantes :
« tau = 0,040 »
« vx = ( absx[n+1] – absx[n–1] ) / (2*tau) »
« vz = ( ordz[n+1] – ordz[n–1] ) / (2*tau) »
« v = sqrt( vx^2 + vz^2 ) »
Cette technique d’intégration « approchée » ne permet pas de calculer la vitesse à l’instant initial et à
l’instant final.
6. Tracer les variations « vx = f(t) », « vz = f(t) » et « v = f(t) » en fenêtre graphique n°3. Les
modéliser, en notant les paramètres. Conclure en se reportant à l’étude préliminaire.
Δy = yB– yA
Δx = xB– xA
O
y
x
droite à étudier
α
l’équation de la droite se met sous la
forme y = a x + b ; le coefficient
directeur a s’obtient en faisant
B A
B A
y y
y
a
x x x
ce qui revient à calculer la tangente
de l’angle α!