Étude de Mouvements Particuliers

O
(D)
M
x
M
(D)
y
z
CHAPITRE 7
Étude de Mouvements
Particuliers
7.1 MOUVEMENTS À TRAJECTOIRE RECTILIGNE
7.1.1 Généralités
La trajectoire d'un point M dans le repère (T) est rectiligne, si le point M se
déplace sur une droite appartenant à (T) (figure 7.1). Nous pouvons choisir un
trièdre (Oxyz) fixe dans le repère (T), tel que l'axe Ox
J
JG coïncide avec la droite. Le
vecteur position s'écrit alors :
.OM x i=
J
JJJG
G
(7.1)
Le vecteur vitesse du point M est :
,
x
i=
G
G
v (7.2)
et son vecteur accélération est :
.axi=
G
G
 (7.3)
FIGURE 7.1 Trajectoire rectiligne.

7.1 Mouvements à trajectoire rectiligne 85
7.1.2 Mouvement rectiligne uniforme
Le mouvement d'un point M est rectiligne uniforme, si et seulement si le
vecteur vitesse est constant :
00
cte i===
J
JG
G
G
G
vvv (7.4)
où 0
v est indépendant du temps. Le vecteur accélération est nul.
D'après (7.2), nous avons :
0
d
dxx
t
=
=
v. (7.5)
Soit en intégrant :
0ctext
=
+v. (7.6)
Si à la date t = t0, le point M est en M0, tel que 00,OM x i=
J
JJJG
G
nous obtenons :
(
)
000
x
tt x
=
−+v. (7.7)
Dans le cas particulier où le point M se trouve à l'origine O à la date 0,t=
l'équation (7.7) se réduit à :
0
x
t
=
v. (7.8)
7.1.3 Mouvement rectiligne uniformément varié
Le mouvement d'un point M est rectiligne uniformément varié, si et seulement
si le vecteur accélération est constant :
0
aai=
G
G
(7.9)
où a0 est indépendant du temps.
Nous avons :
20
2
d
d
x
x
a
t
=
=
 . (7.10)
Soit en intégrant deux fois :
(
)
000
att
=
−+vv, (7.11)
() ()
2
00000
2
a
x
tt tt x=−+−+v , (7.12)
le point M étant à la date t0 en M0, tel que 00,OM x i=
J
JJJG
G
avec une vitesse
0.i
G
v
Dans le cas particulier où le point M se trouve à l'origine O avec une vitesse
nulle à la date t = 0, les équations de mouvement (7.11) et (7.12) se réduisent à :
0
at
=
v, 2
0
2
a
x
t=. (7.13)
Entre les variables x et v, il existe la relation générale obtenue en éliminant la
variable temps dans (7.11) et (7.12) :
()
(
)
22
00 0
1
2
axx−= −vv. (7.14)

86 Chapitre 7 Étude de mouvements particuliers
Des résultats établis au paragraphe 6.2.4.1, nous déduisons que le mouvement
est :
— uniformément accéléré, si 00a>v ;
— uniformément décéléré ou retardé, si 00a
<
v.
7.1.4 Mouvement rectiligne vibratoire simple
Le mouvement rectiligne d'un point M est un mouvement vibratoire simple, si
le mouvement est décrit suivant la loi :
cos sin
x
AtBt
ω
ω
=
+ , (7.15)
ou
(
)
cos
m
xx t
ω
ϕ
=
−. (7.16)
Entre les constantes A, B, xm et
ϕ , nous avons les relations :
22 1
cos , sin ,
, tan , avec cos .
mm
mm
Ax Bx
B
A
xAB Ax
ϕ
ϕ
ϕϕ
−
=
=
=+ = =
(7.17)
Sans restreindre la généralité de l'étude, la constante
ω est prise positive.
La vitesse algébrique est :
sin cos
x
AtB t
ω
ωωω =− +
 ,
ou (7.18)
(
)
sin
m
xx t
ω
ωϕ
=
−−
.
Le vecteur accélération a pour composante :
22 cos sin
x
AtBt
ω
ωωω =− −
 ,
ou (7.19)
()
2cos
m
xx t
ω
ωϕ
=
−−
 .
De ces expressions, nous tirons la relation :
22
ou
x
xaOM ωω =− =−
J
JJJG
G
 , (7.20)
et les expressions des constantes :
0
0
2
21
000
020
, ,
, tan , avec cos ,
mm
Ax B
x
xx
x
x
ω
ϕϕ
ω
ω
−
==
=+ = =
v
vv (7.21)
où x0 et 0
v sont les valeurs respectives des variables x et v à la date t = 0.
Les variations de x sont reportées dans le tableau 7.1. Le point M oscille
indéfiniment entre les points extrêmes xm et –xm, avec la période 2/T
π
ω =. La

7.2 Mouvements à trajectoire circulaire 87
TABLEAU 7.1. Variation de l'abscisse d'un point ayant un mouvement vibratoire simple.
t
ϕ
ω
− 0 4
T 2 T 34
T T
x
 0
− m
x
ω
−
− 0 + m
x
ω
+ 0
x
m
x
0 m
x
−
0 m
x
le mouvement est : accéléré retardé accéléré retardé
grandeur xm est l'amplitude du mouvement vibratoire; le point O est le centre
d'oscillation. Le point M a un mouvement accéléré s'il se dirige vers O et retardé
s'il s'en éloigne.
7.2 MOUVEMENTS À TRAJECTOIRE CIRCULAIRE
7.2.1 Équations générales
Le mouvement d'un point M est circulaire dans le repère (T) si le point M se
déplace sur un cercle appartenant à (T).
Nous choisissons le trièdre (Oxyz) fixe dans le repère (T), de manière que le
plan (Oxy) coïncide avec le plan du cercle et que O soit le centre du cercle (figure
7.2). Si a est le rayon du cercle, les coordonnées polaires du point M sont (a,
α ).
Le vecteur position s'écrit :
()OM a u
α
=
J
JJJG
G
. (7.22)
FIGURE 7.2. Mouvement circulaire.
x
M
y
a
α
()
2
au
π
ωα =+
G
G
v
()
2
au
π
ωα +
G
2()au
ω
α −
G
()u
α
G
()
2
u
π
α +
G
a
G
O

88 Chapitre 7 Étude de mouvements particuliers
En dérivant cette expression nous obtenons :
()
(,) ( )
2
TMt a u
π
αα =+
GG
v, (7.23)
()
2
(,) () ( )
2
T
aMt au au
π
αα αα =− + +
GGG
. (7.24)
Le paramètre
α
 est appelé la vitesse angulaire (exprimée en rad s–1) du point M, à
la date t. Elle est généralement notée
ω :
d
dt
α
ωα ==
. (7.25)
Le paramètre
α
 est l'accélération angulaire (exprimée en rad s–2) du point M :
d
dt
ω
αω ==
  . (7.26)
Les expressions des vecteurs cinématiques peuvent être alors réécrites en
introduisant la vitesse angulaire :
()
(,) ( ),
2
TMt a u
π
ωα =+
GG
v (7.27)
()
2
(,) () ( ).
2
T
aMt au au
π
ωα ωα =− + +
GGG
 (7.28)
La vitesse algébrique du point M à la date t est :
a
ω
=
v. (7.29)
Le vecteur accélération a :
— une composante tangentielle :
t
aa
ω
=
, (7.30)
— une composante normale :
2
n
aa
ω
=− . (7.31)
Le vecteur accélération n
a
G est toujours de signe opposé au vecteur position OM
JJJJG
:
2
n
aOM ω =−
J
JJJG
G
. (7.32)
Enfin, le mouvement est : accéléré, si 0;
ω
ω >
 retardé, si 0;
ω
ω
<
 uniforme, si
0.
ω
=
7.2.2 Mouvement circulaire uniforme
Un mouvement circulaire est uniforme, si sa vitesse angulaire est indépen-
dante du temps. Soit :
0
cte
ω
ω
=
= . (7.33)
Les vecteurs cinématiques (7.27) et (7.28) se réduisent à :