Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes 1. Soit A = (1

Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes
1. Soit A=1 4
1 1; donner les valeurs propres de l’endomorphisme uAdéfini sur M2(R)par
uA(M) = AM . Est-il diagonalisable ? CCP a0-023
χA(X)=(−1−X)(3 −X) = X2−2X−3et A2−2A−3I2= 0.
∀M∈M2(R), A2M−2AM −3M= (u2
A−2uA−3Id)(M)=0.
X2−2X−3est un polynôme annulateur scindé à racines simples de uAdonc uAest diagonalisable
et sp(uA)⊂ {−1,3}.
2. Soit A=
1 3 1
0 3 −2
0 2 −1
. Montrer que Aest semblable à B=
110
011
001
.Calculer Anpour
n∈N.CCP a0-019
χA(X) = (1 −X)3;Aadmet une seule valeur propre 1 et A6I3donc An’est pas diagonalisable.
On cherche une réduite de Jordan.
V1=
1
0
0
∈E1et dim E1= 1 ou 2.
V=
x
y
z
∈E1⇐⇒ 
3y+z= 0
2y−2z= 0
2y−2z= 0
⇐⇒ V∈V ect(
1
0
0
)donc dim E1= 1.
Soit u∈L(K3)canoniquement associé à A.
u(V) = V1+V⇐⇒ 
3y+z= 1
2y−2z= 0
2y−2z= 0
. On choisit V2=
0
1/4
1/4
.
u(V) = V2+V⇐⇒ 
3y+z= 0
2y−2z= 1/4
2y−2z= 1/4
. On choisit V3=
0
1/32
−3/32
.
det(V1, V2, V3) = −1/32 6= 0 donc on a obtenu une base dans laquelle la matrice de uest B.
Calcul de An- Méthode 1 :
A=P BP −1où P=
1 0 0
0 1/4 1/32
0 1/4−3/32
donc An=P BnP−1.
B=I3+Coù C=
010
001
000
, C2=
001
000
000
et Ck= 0 si k≥3et I3, C commutent
donc :
∀n≥2, Bn=I3+nC +n(n+ 1)
2C2d’où ∀n≥2, An=
1n(n−1) n(2 −n)
0 1 + 2n−2n
0 2n1−2n
.
Calcul de An- Méthode 2 :
(I3−A)3= 0 et ∀n≥2, Xn= (1 −X)3Q(X) + R(X)où R(X)est le reste de la division
euclidienne de Xnpar (1 −X)3donc ∀n≥2, An=R(A).
Soit aX2+bX+c=R(X). 1 est racine triple de Xn−R(X)donc 
1−R(1) = 1 −a−b−c= 0
n−R0(1) = n−2a−b= 0
n(n−1) −R”(1) = n(n−1) −2a= 0
d’où a, b, c et le résultat.
3. Soit u, v deux endomorphismes de E,C−espace vectoriel de dimension finie tels que uet v
commutent. Prouver qu’il existe un vecteur propre commun à uet v.
uadmet au moins une valeur propre λ(Eest un C−espace et la dimension est finie, supposée
non nulle) ; soit Fl’espace propre associé.
uet vcommutent donc Fest stable par v: soit w∈L(F)induit par v.
Fest un C−espace de dimension finie non nulle donc wadmet au moins une valeur propre µ.
Soit x∈Fun vecteur propre de wassocié à µ.x6= 0, u(x) = λx et v(x) = µx.
4. Soit n∈N∗et A∈Mn(R)telle que tr(A)6= 0.On définit
f:Mn(R)→Mn(R)
M7→ (trA)M−(trM)A
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Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes
Montrer que fest un endomorphisme diagonalisable de Mn(R).
Déterminer les éléments propres de f.a0-097
Soit M∈Mn(R). f2(M)=(trA)((trA)M−(trM)A)−tr((trA)M−(trM)A)A= (trA)2M−(trAtrM)A.
f2(M)−trAf(M)=0donc P(X) = X2−trAX est annulateur de f.
Cas 1 : trA6= 0.Pest scindé à racines simples (0,trA) donc fest diagonalisable.
f(A)=0donc V ect(A)⊂E0et 0est au moins d’ordre 1.
Soit Hl’hyperplan de Mn(R)ensemble des matrices de trace nulle. H⊂EtrAet trAest au
moins d’ordre n2−1.
La somme des ordres de 0et trAest ndonc V ect(A) = E0,H=EtrAet les ordres sont 1 et
n2−1.
5. Soit A∈GL6(R)tel que A3−3A2+ 2A=O6et tr(A) = 8. Déterminer χA.
P(X)=X3−3X2+ 2X=X(X−1)(X−2) est annulateur de Adonc sp(A)⊂ {0,1,2}mais
A∈GL6(R)donc 0/∈sp(A).
Soit k1, k2les ordres, éventuellement nuls de 1,2.k1.1+k2.2=8et k1+k2= 6 donc k1= 4 et k2= 2.
6. Soit Aune matrice de rang 1. Déterminer son polynôme caractéristique et ses éléments
propres.
A∈Mn,n(K)est de rang 1 donc 0est valeur propre d’ordre n−1au moins.
χA(X)est divisible par Xn−1donc χA(X)=(−1)nXn+ (−1)n−1trAXn−1.
Il existe (B, C)∈Mn,1(K)\ {0} × M1,n(K)\ {0}tel que A=BC et trA=CB.
Cas 1 : trA6= 0
trAest valeur propre d’ordre 1 et AB =B(CB)=(tr)AB donc V ect(B) = EtrA.
0 est valeur propre d’ordre n−1et l’hyperplan CX = 0 est inclus dans E0donc lui est égal
(dim E0≤ordre (0)) et Aest diagonalisable.
Cas 2 : trA= 0
0 est valeur propre d’ordre net A6= 0 (Aest de rang 1) dans An’est pas diagonalisable donc
dim E0≤n−1donc E0est toujours l’hyperplan CX = 0.
7. Prouver que toute matrice de Mn(C)est limite d’une suite de matrices diagonalisables. (L’ensemble des
matrices diagonalisables est dense dans Mn(C))
8. Soit M∈GLn(C)telle que M2soit diagonalisable. Démontrer que Mest diagonalisable. a0-106
9. Soit u, v, f trois endomorphismes de E,K-espace vectoriel de dimension finie tels qu’il existe (λ, µ)∈K2
tel que : f=λu +µv, f2=λ2u+µ2v, f 3=λ3u+µ3v. Montrer que fest diagonalisable et que
∀n∈N, fn=λnu+µnv.a0-107
10. (a) Soit A, B deux matrices carrées d’ordre n. Calculer xInA
B In×−In0n B In.
Démontrer que, pour toutes matrices carrées Aet B,AB et BA ont même polynôme caractéristique.
(b) Dans cette question, on suppose seulement que A∈Mn,p(K)et B∈Mp,n(K).
Comparer les polynômes caractéristiques de AB et BA.
On pourra utiliser une factorisation de Ade la forme A=UJrVoù Uet Vsont inversibles et
Jr=Ir0
0 0.a0-102
11. Soit A∈Mn,n(C).
(a) Démontrer que Aest nilpotente si et seulement si χA(X)=(−X)n.
(b) Exprimer le développement limité d’ordre n+ 1 en +∞de F(t) = χ0
A(t)
χA(t)au moyen des nombres
tr(Ak).
(c) Démontrer que Aest nilpotente si et seulement si ∀k∈[[ 1, n ]] ,tr(Ak)=0.
Centrale A0-144
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Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes
12. Soit (a, b, c)∈C3, et M= 1a2b−ac
0 0 c
0 0 −1!. Diagonaliser M.CCP a0-017
13. Soit A∈ Mn(R)telle que : A3=A+In. Démontrer que det A > 0.A0-105
14. (a) Soit A= 900
040
−1 0 −1!.Résoudre l’équation X2=A, puis X2+X=A.
(b) Soit A= −2 0 1
−5 3 0
−4 4 −2!et soit X∈Mn(R)vérifiant X2−3X=A. Montrer que AX =XA.
Résoudre l’équation X2−3X=A.CCP
(c) Résoudre dans M2(C)l’équation X+X2=1 1
1 1.Centrale A0-122
15. Soit uun endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension finie et Φl’endomorphisme de L(E)défini par
Φ(v) = u◦v. Montrer que Φest diagonalisable si et seulement si ul’est. Si uest diagonalisable, que dire de
ψ:v7→ u◦v−v◦u?Centrale a0-033
16. A=−In−In
InInest-elle diagonalisable ?
Soit A∈Mn(K). Déterminer le polynôme caractéristique de B=Onn A
InOnn, en fonction de celui de A.CCP a0-032
17. Soit uun endomorphisme d’un R−espace vectoriel de dimension finie, vérifiant u3+u= 0. Montrer que uest de
rang pair. CCP a0-029
18. (a) Soit u∈L(Kn)canoniquement associé à A∈Mn(K)et Hun hyperplan de Knd’équation
n
X
1
αixi= 0 dans la base canonique.
Montrer que Hest stable par usi et seulement si 
α1
.
.
.
αn
est un vecteur propre de tA.
(b) Trouver les sous-espaces de R3stables par ucanoniquement associé à la matrice A= 1 1 0
−121
1 0 1!A0-104
19. Existe-t-il X∈M3(C)telle que X2=Aavec A= 010
001
000!? Généraliser. A10-132
20. Soit A∈GLn(K)et X∈Mn,1(K). Démontrer : tr(tXA−1X) = det(A+XtX)
det A−1.A10-135
21. Soit A=
0n
1......(0)
(0) ...1
n0
∈Mn+1(R). Déterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres.Centrale a0-145
22. Pour (a1, ..., an)∈Cndonné, on considère la matrice Mtelle que :
∀i∈[[ 1, n ]] mni =min =ai; (i6=net j6=n)⇒mij = 0.
Soit ∆n(a1, ..., an) = χM(X).
(a) Calculer ∆n(a1, ..., an). Etudier les valeurs propres de Met leur ordre.
(b) Démontrer que M=
1
(0) 2
3
1 2 3 4
est diagonalisable et la diagonaliser.
(c) Démontrer qu’il existe (λ1, λ2)tel que M=
0 0 1
0 0 1
112i√2
soit semblable à T= λ10 0
0λ21
0 0 λ2!et
déterminer une matrice de passage Ptelle que ∀j p1j= 1 .A0-059
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