Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes 1. Soit A = (1

Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes
1 4
1. Soit A =
; donner les valeurs propres de l’endomorphisme uA défini sur M2 (R) par
1 1
uA (M ) = AM . Est-il diagonalisable ? CCP
2
a0-023
2
χA (X) = (−1 − X)(3 − X) = X − 2X − 3 et A − 2A − 3I2 = 0.
∀M ∈ M2 (R), A2 M − 2AM − 3M = (u2A − 2uA − 3Id)(M ) = 0.
X 2 −2X−3 est un polynôme annulateur scindé à racines simples de uA donc uA est diagonalisable
et sp(uA ) ⊂ {−1, 3}.




1 3 1
1 1 0
2. Soit A = 0 3 −2. Montrer que A est semblable à B = 0 1 1 . Calculer An pour
0 2 −1
0 0 1
n ∈ N. CCP
3
a0-019
χA (X) = (1 − X) ; A admet une seule valeur propre 1 et A 6 I3 donc A n’est pas diagonalisable.
On cherche
  une réduite de Jordan.
1
V1 = 0 ∈ E1 et dim E1 = 1 ou 2.
0

 
 
x
1
 3y + z = 0
2y − 2z = 0 ⇐⇒ V ∈ V ect(0) donc dim E1 = 1.
V = y  ∈ E1 ⇐⇒

2y − 2z = 0
0
z
3
Soit u ∈ L (K ) canoniquement
associé à A.

 
0
 3y + z = 1
2y − 2z = 0 . On choisit V2 = 1/4.
u(V ) = V1 + V ⇐⇒

1/4
 2y − 2z = 0


0
 3y + z = 0
2y − 2z = 1/4 . On choisit V3 =  1/32 .
u(V ) = V2 + V ⇐⇒

−3/32
2y − 2z = 1/4
det(V1 , V2 , V3 ) = −1/32 6= 0 donc on a obtenu une base dans laquelle la matrice de u est B.
Calcul de An - Méthode
 1:

1
0
0
A = P BP −1 où P = 0 1/4 1/32  donc An = P B n P −1 .

0 1/4 −3/32 
0 0 1
0 1 0
B = I3 + C où C = 0 0 1 , C 2 = 0 0 0 et C k = 0 si k ≥ 3 et I3 , C commutent
0 0 0
0 0 0
donc :


1 n(n − 1) n(2 − n)
n(n
+
1)
−2n .
C 2 d’où ∀n ≥ 2, An = 0 1 + 2n
∀n ≥ 2, B n = I3 + nC +
2
0
2n
1 − 2n
Calcul de An - Méthode 2 :
(I3 − A)3 = 0 et ∀n ≥ 2, X n = (1 − X)3 Q(X) + R(X) où R(X) est le reste de la division
euclidienne de X n par (1 − X)3 donc ∀n ≥ 2, An = R(A).

 1 − R(1) = 1 − a − b − c = 0
n − R0 (1) = n − 2a − b = 0
Soit aX 2 +bX+c = R(X). 1 est racine triple de X n −R(X) donc

n(n − 1) − R”(1) = n(n − 1) − 2a = 0
d’où a, b, c et le résultat.
3. Soit u, v deux endomorphismes de E, C−espace vectoriel de dimension finie tels que u et v
commutent. Prouver qu’il existe un vecteur propre commun à u et v.
u admet au moins une valeur propre λ (E est un C−espace et la dimension est finie, supposée
non nulle) ; soit F l’espace propre associé.
u et v commutent donc F est stable par v : soit w ∈ L (F ) induit par v.
F est un C−espace de dimension finie non nulle donc w admet au moins une valeur propre µ.
Soit x ∈ F un vecteur propre de w associé à µ. x 6= 0, u(x) = λx et v(x) = µx.
4. Soit n ∈ N∗ et A ∈ Mn (R) telle que tr(A) 6= 0. On définit
f :
Mn (R)
M
→
Mn (R)
7→ (trA)M − (trM )A
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Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes
Montrer que f est un endomorphisme diagonalisable de Mn (R).
Déterminer les éléments propres de f .
a0-097
Soit M ∈ Mn (R). f 2 (M ) = (trA)((trA)M −(trM )A)−tr((trA)M −(trM )A)A = (trA)2 M −(trAtrM )A.
f 2 (M ) − trAf (M ) = 0 donc P (X) = X 2 − trAX est annulateur de f .
Cas 1 : trA 6= 0. P est scindé à racines simples (0, trA) donc f est diagonalisable.
f (A) = 0 donc V ect(A) ⊂ E0 et 0 est au moins d’ordre 1.
Soit H l’hyperplan de Mn (R) ensemble des matrices de trace nulle. H ⊂ EtrA et trA est au
moins d’ordre n2 − 1.
La somme des ordres de 0 et trA est n donc V ect(A) = E0 , H = EtrA et les ordres sont 1 et
n2 − 1.
5. Soit A ∈ GL6 (R) tel que A3 − 3A2 + 2A = O6 et tr(A) = 8. Déterminer χA .
P (X) = X 3 − 3X 2 + 2X = X(X − 1)(X − 2) est annulateur de A donc sp(A) ⊂ {0, 1, 2} mais
A ∈ GL6 (R) donc 0 ∈
/ sp(A).
Soit k1 , k2 les ordres, éventuellement nuls de 1, 2. k1 .1+k2 .2 = 8 et k1 +k2 = 6 donc k1 = 4 et k2 = 2.
6. Soit A une matrice de rang 1. Déterminer son polynôme caractéristique et ses éléments
propres.
A ∈ Mn,n (K) est de rang 1 donc 0 est valeur propre d’ordre n − 1 au moins.
χA (X) est divisible par X n−1 donc χA (X) = (−1)n X n + (−1)n−1 trAX n−1 .
Il existe (B, C) ∈ Mn,1 (K) \ {0} × M1,n (K) \ {0} tel que A = BC et trA = CB.
Cas 1 : trA 6= 0
trA est valeur propre d’ordre 1 et AB = B(CB) = (tr)AB donc V ect(B) = EtrA .
0 est valeur propre d’ordre n − 1 et l’hyperplan CX = 0 est inclus dans E0 donc lui est égal
(dim E0 ≤ordre (0)) et A est diagonalisable.
Cas 2 : trA = 0
0 est valeur propre d’ordre n et A 6= 0 (A est de rang 1) dans A n’est pas diagonalisable donc
dim E0 ≤ n − 1 donc E0 est toujours l’hyperplan CX = 0.
7. Prouver que toute matrice de Mn (C) est limite d’une suite de matrices diagonalisables. (L’ensemble des
matrices diagonalisables est dense dans Mn (C))
8. Soit M ∈ GLn (C) telle que M 2 soit diagonalisable. Démontrer que M est diagonalisable.
a0-106
2
9. Soit u, v, f trois endomorphismes de E, K-espace vectoriel de dimension finie tels qu’il existe (λ, µ) ∈ K
tel que : f = λu + µv,
f 2 = λ2 u + µ2 v,
f 3 = λ3 u + µ3 v. Montrer que f est diagonalisable et que
n
n
n
∀n ∈ N, f = λ u + µ v.
xIn A
−In 0n
10. (a) Soit A, B deux matrices carrées d’ordre n. Calculer
×
.
B In
B
In
Démontrer que, pour toutes matrices carrées A et B, AB et BA ont même polynôme caractéristique.
(b) Dans cette question, on suppose seulement que A ∈ Mn,p (K) et B ∈ Mp,n (K).
Comparer les polynômes caractéristiques de AB et BA.
On pourra
utiliser
une factorisation de A de la forme A = U Jr V où U et V sont inversibles et
Ir 0
Jr =
.
0 0
a0-107
a0-102
11. Soit A ∈ Mn,n (C).
(a) Démontrer que A est nilpotente si et seulement si χA (X) = (−X)n .
(b) Exprimer le développement limité d’ordre n + 1 en +∞ de F (t) =
χ0A (t)
au moyen des nombres
χA (t)
tr(Ak ).
(c) Démontrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[ 1, n ]] ,
tr(Ak ) = 0.
Centrale
A0-144
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Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes
2b − ac
c
. Diagonaliser M . CCP
−1
a0-017
13. Soit A ∈ Mn (R) telle que : A3 = A + In . Démontrer que det A > 0.
A0-105
3
12. Soit (a, b, c) ∈ C , et M =
14.
(a) Soit A =
9
0
−1
0
4
0
a
0
0
1
0
0
0
0
−1
!
!
. Résoudre l’équation X 2 = A, puis X 2 + X = A.
−2 0
1
0
et soit X ∈ Mn (R) vérifiant X 2 − 3X = A. Montrer que AX = XA.
(b) Soit A = −5 3
−4 4 −2
Résoudre l’équation X 2 − 3X = A.CCP
!
(c) Résoudre dans M2 (C) l’équation X + X 2 =
1
1
1
.Centrale
1
A0-122
15. Soit u un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension finie et Φ l’endomorphisme de L (E) défini par
Φ(v) = u ◦ v. Montrer que Φ est diagonalisable si et seulement si u l’est. Si u est diagonalisable, que dire de
ψ : v 7→ u ◦ v − v ◦ u ? Centrale
16. A =
−In
In
−In
In
est-elle diagonalisable ?
Soit A ∈ Mn (K). Déterminer le polynôme caractéristique de B =
Onn
In
A
, en fonction de celui de A. CCP
Onn
17. Soit u un endomorphisme d’un R−espace vectoriel de dimension finie, vérifiant u3 + u = 0. Montrer que u est de
rang pair. CCP
18.
a0-033
a0-032
a0-029
(a) Soit u ∈ L (K ) canoniquement associé à A ∈ Mn (K) et H un hyperplan de K d’équation
n
n
X
n
αi xi = 0 dans la base canonique.
1


α1
 .. 
Montrer que H est stable par u si et seulement si  .  est un vecteur propre de t A.
αn
3
(b) Trouver les sous-espaces de R stables par u canoniquement associé à la matrice A =
19. Existe-t-il X ∈ M3 (C) telle que X = A avec A =
2
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0

1

21. Soit A = 
(0)
n
..
.
1
2
0
0
1
1
!
A0-104
!
A10-132
? Généraliser.
20. Soit A ∈ GLn (K) et X ∈ Mn,1 (K). Démontrer : tr(t XA−1 X) =

1
−1
1
det(A + X t X)
− 1.
det A
A10-135

..
..
.
.
n
(0)
1
0

 ∈ Mn+1 (R) . Déterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres.Centrale

a0-145
22. Pour (a1 , ..., an ) ∈ Cn donné, on considère la matrice M telle que :
∀i ∈ [[ 1, n ]]
mni = min = ai ;
(i 6= n et j 6= n) ⇒ mij = 0.
Soit ∆n (a1 , ..., an ) = χM (X).
(a) Calculer ∆n (a1 , ..., an ). Etudier les valeurs propres de M et leur ordre.

(b) Démontrer que M = 

1

(0)
2
3
1
2
est diagonalisable et la diagonaliser.
3
4


0 0
1
 soit semblable à T =
1
(c) Démontrer qu’il existe (λ1 , λ2 ) tel que M = 0 0
√
1 1 2i 2
déterminer une matrice de passage P telle que ∀j p1j = 1 .
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
λ1
0
0
0
λ2
0
0
1
λ2
!
et
A0-059