Chapitre II Nombres complexes et trigonométrie Table des mati`eres

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 −2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Chapitre II
Nombres complexes et trigonom´etrie
Table des mati`eres
1 Nombres complexes et forme alg´ebrique 2
2 Repr´esentation graphique d’un nombre complexe 3
3 Conjugaison complexe 5
4 Module d’un nombre complexe 6
5 Rappels de trigonom´etrie 7
5.1 Enroulement de la droite r´eelle autour du cercle unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 D´efinition du cosinus et du sinus d’un nombre r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3 Valeurs remarquables de cosinus et de sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.4 Formules de trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6 Les nombres complexes de la forme eiθ , avec θ∈R9
7 Les formules d’Euler 10
8 Les formules de de Moivre 10
9 Nombres complexes de module 1 10
10 Formes trigonom´etriques et arguments d’un nombre complexe non nul 11
11 Synth`ese sur trois aspects des nombres complexes 13
12 R´esolution dans Cdes ´equations du second degr´e `a coefficients r´eels 13
13 Somme et produit des racines d’un trinˆome du second degr´e `a coefficients r´eels 14
14 ´ Equations trigonom´etriques 15
14.1 Cas d’´egalit´e de cosinus, cas d’´egalit´e de sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
14.2 ´ Etude de l’´equation acos(x) + bsin(x) = c, avec a, b ∈R∗et c∈R. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1

1 Nombres complexes et forme alg´ebrique
Th´eor`eme 1 (existence et caract´erisation de l’ensemble des nombres complexes) : Il existe un
unique ensemble muni d’une addition et d’une multiplication, appel´e ensemble des nombres complexes, not´e C,
v´erifiant :
1. Ccontient R;
2. l’addition et la multiplication dans Cprolongent celles de Ret suivent les mˆemes r`egles de calcul ;
3. il existe un ´el´ement ide Cv´erifiant i2=−1 ;
4. tout ´el´ement zde Cs’´ecrit de mani`ere unique sous la forme :
z=a+ib, avec aet br´eels
appel´ee forme alg´ebrique de z.
Remarques
1. Soit a∈R. Alors, d’apr`es le 1. du th´eor`eme 1, on a : a∈C. Sa forme alg´ebrique est :
a+i0
que l’on note simplement a.
2. La forme alg´ebrique du nombre complexe iest :
0 + i1
que l’on note simplement i.
Exemple 1 : Les nombres −1 + i,1
3+7 5iet √2−3 7isont des nombres complexes.
D´efinition (partie r´eelle, partie imaginaire, module d’un nombre complexe) : Soit z∈C. Alors
d’apr`es la propri´et´e 4 du th´eor`eme 1, il existe un unique couple (a, b)∈R2tel que : z=a+ib. On dit que :
1. aest la partie r´eelle de zet est not´ee Re(z) ;
2. best la partie imaginaire de zet est not´ee Im(z) ;
Remarques
1. La partie r´eelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe sont des nombres r´eels.
2. On peut reformuler la propri´et´e 4 du th´eor`eme 1 comme suit. Pour tout z1, z2∈C, on a :
z1=z2⇐⇒ 
Re(z1) = Re(z2)
et
Im(z1) = Im(z2)
.
On peut ainsi ramener une ´egalit´e entre nombres complexes `a deux ´egalit´es entre nombres r´eels ; ceci peut
s’av´erer tr`es utile dans la r´esolution de certaines ´equations mettant en jeu des nombres complexes (cf.
exercices 5 et 6).
⋄Exercice 1
1. Simplifier l’´ecriture de : i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9.
2. (a) Soient z1et z2les nombres complexes d´efinis par :
z1= 2 −i;z2= 1 + 3i.
D´eterminer la forme alg´ebrique, la partie r´eelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants.
a) z1+z2b) z1−z2c) z2
1d) z2 2
e) z1z2f) (z1+z2)2g) z2
1+ 2z1z2+z2h) (z1−z2)2
i) z2
1−2z1z2+z2 2j) z2 1−z2 2k) (z1−z2)(z1+z2)
2

(b) Qu’observe-t-on ?
Propri´et´e (caract´erisation des nombres r´eels) : Un nombre complexe est r´eel si et seulement si sa partie
imaginaire est nulle, i.e. :
∀z∈Cz∈R⇐⇒ Im(z) = 0.
D´efinition (imaginaire pur) : Un nombre complexe est appel´e imaginaire pur si sa partie r´eelle est nulle.
Exemple 2 : Les nombres 2i,−2
9iet i√7 sont des imaginaires purs.
⋄Exercice 2 : D´emontrer que pour tout nombre complexe z, on a :
z2∈R⇐⇒ 
z∈R
ou
zest imaginaire pur
.
Th´eor`eme 2 (inversibilit´e et inverse d’un nombre complexe non nul) : Soit zun nombre complexe
non nul.
1. Il existe un unique nombre complexe z′, appel´e inverse de z, not´e z−1ou 1
z, tel que :
zz′=z′z= 1.
2. Si z=a+ib (a, b ∈R) est la forme alg´ebrique de z, alors la forme alg´ebrique de 1
zest donn´ee par :
1
z=a a2+b2−ib a2+b2.
Notation : Si z1et z2sont deux nombres complexes, alors on note :
z1
z2
le nombre complexe z1z−1
2=z1
1
z2
.
⋄Exercice 3 : Soient z1et z2les nombres complexes d´efinis par :
z1=1
2−3i;z2=3−4i 1 + i.
D´eterminer la forme alg´ebrique de z1et de z2.
2 Repr´esentation graphique d’un nombre complexe
Pour toute la suite de ce texte, on fixe un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i , −→ j) du plan.
D´efinition (point du plan associ´e `a un nombre complexe) : Soit z∈R. On note z=a+ib (a, b ∈R) sa
forme alg´ebrique. On d´efinit le point M(z) du plan comme ´etant le point du plan de coordonn´ees (a, b) dans le
rep`ere (O;−→ i , −→ j). Le point M(z) est appel´e point du plan associ´e `a z.
Exemple 3 : Ci-dessous, est repr´esent´e le point M(3 + 2i) associ´e au nombre complexe 3 + 2i.
3

1
2
3
−1
12345−1
M
⋄Exercice 4 : Repr´esenter graphiquement les points suivants.
a) M(0) b) M(1) c) M(−3) d) M(i)
e) M(−2i) f) M(5 + 2i) g) M(5 −2i) h) M(−5 + 2i)
D´efinition (affixe d’un point du plan) : Soit Mun point du plan, de coordonn´ees (a, b) dans le rep`ere
(O;−→ i , −→ j). On appelle affixe de M, et on note zM, le nombre complexe a+ib.
Exemple 4 : On consid`ere les trois points M1,M2et M3du graphique suivant.
1
2
3
4
5
6
−1
1 2 3 4 5 6−1−2
M1
M2
M3
L’affixe de M1est zM1=−1 + 2i, celle du point M2est zM2= 3 −iet celle du point M3est zM3= 4 + 5i.
Propri´et´e (Cest en bijection avec les points du plan) : L’application :
z7→ M(z)
de Cvers l’ensemble des points du plan est bijective. Sa bijection r´eciproque, qui va de l’ensemble des points
du plan vers C, est donn´ee par :
M7→ zM.
Remarques
1. Cette correspondance biunivoque entre Cet l’ensemble des points du plan nous permettra de ≪visualiser ≫
non seulement Clui-mˆeme, mais aussi plusieurs notions introduites ci-apr`es. Elle ne sera utilis´ee, ici, que
comme un moyen de rendre concrets des concepts, qui, sans l’illustration g´eom´etrique, seraient peut-ˆetre
moins ´evidents `a saisir.
2. On souligne que ce lien t´enu entre Cet l’ensemble des points du plan fournit un outil puissant pour
d´emontrer des r´esultats en g´eom´etrie, par exemple, via des calculs sur les nombres complexes. Cet aspect
des nombres complexes n’est pas au programme de TB.
4

⋄Exercice 5 : Montrer que l’ensemble Edes points Mdu plan d’affixe zv´erifiant :
z2est imaginaire pur
est la r´eunion de deux droites du plan. On donnera une ´equation cart´esienne de chacune de ces droites et on les
repr´esentera graphiquement.
3 Conjugaison complexe
D´efinition (conjugu´e d’un nombre complexe) : Soit zun nombre complexe, de forme alg´ebrique z=a+ib
(a, b ∈R). On d´efinit le conjugu´e de z, not´e z, par :
z=a−ib.
Exemple 5 : Le conjugu´e de z1=−2 + 3iest z1=−2−3i, celui de z2= 1 −iest z2= 1 + i.
⋄Exercice 6 : R´esoudre l’´equation :
(E) : iz −2z=−1 + i
d’inconnue z∈C.
Th´eor`eme 3 (caract´erisation des r´eels et des imaginaires purs) : Soit z∈C. On a les deux ´equivalences
suivantes.
1. z∈Rsi et seulement si z=z.
2. zest imaginaire pur si et seulement si z=−z.
⋄D´emonstration
Propri´et´e (repr´esentation graphique du conjugu´e d’un nombre complexe) : Soit z∈C. Alors le point
du plan M(z) associ´e `a zest le sym´etrique du point du plan M(z) associ´e `a zpar rapport `a l’axe des abscisses
(Ox).
M(z)
M(z)
Remarque : Deux nombres complexes sont ´egaux si et seulement si leurs conjugu´es sont ´egaux.
Th´eor`eme 4 (propri´et´es alg´ebriques de la conjugaison complexe)
1. ∀z1, z2∈Cz1+z2=z1+z2
2. ∀z1, z2∈Cz1−z2=z1−z2
3. ∀z1, z2∈Cz1z2=z1z2
4. ∀z∈C∗=C\ {0}1
z=1 z
5. ∀z1∈C∀z2∈C∗z1
z2=z1 z2
⋄D´emonstration
⋄Exercice 7 : Soit n∈N∗. Montrer que le nombre complexe Zd´efini par :
Z= (3 + 4i)n+ (3 −4i)n
est r´eel.
5