Notions de base : Nombres, Structures et Fonctions

Chapitre 1
Notions de base : Nombres,
Structures et Fonctions
Dans ce chapitre, nous passons en revue les propri´et´es ´el´ementaires des en-
sembles des nombres naturels, entiers, rationnels, r´eels et complexes avec lesquels
nous travaillerons en analyse et en sciences.
Notions `a apprendre. Ensembles et op´erations bool´eennes, relations et fonc-
tions, fonction indicatrice, relation d’´equivalence et ensemble quotient, les en-
sembles N,Z,Q,R, axiomes, supr´emum, infimum, ensembles ouverts et ferm´es,
l’int´erieur, le bord et l’adh´erence d’un ensemble, point isol´e, point adh´erent et
point limite d’un ensemble, valeur absolue, fonction r´eelle, C, formule d’Euler,
formule de De Moivre.
Comp´etences `a acqu´erir. Maˆıtriser le calcul avec des fonctions ´el´ementaires,
faire une d´emonstration par r´ecurrence ou par l’absurde, d´eduire des relations
simples `a partir des axiomes, comprendre et savoir appliquer les notions ci-
dessus aux exemples, calculer avec le symbole d’une somme ou d’un produit fini,
comprendre la signification de la valeur absolue dans R(resp. du module dans
C), savoir r´esoudre des in´equations et appliquer les in´egalit´es dans les nombres
r´eels, calculer les racines d’un nombre complexe, r´esoudre une ´equation de degr´e
2 `a coefficients complexes, r´esoudre une ´equation de degr´e 3 `a l’aide de la formule
de Cardan et sa g´en´eralisation, comprendre l’interpr´etation g´eom´etrique des
op´erations alg´ebriques et des applications lin´eaires dans C.
1.1 Ensembles et Fonctions
1.1.1 Ensembles et sous-ensembles
Un ensemble Eest une collection d’objets appel´es ´el´ements. Si aest un
´el´ement de E, on dit que aappartient `a Eou que Econtient a, et on note
a∈E. Si an’est pas un ´el´ement de E, on note a /∈E. Si les ´el´ements a, b, . . .
forment l’ensemble E, on note E={a, b, . . .}. Un ensemble Epeut avoir un
nombre fini ou infini d’´el´ements. L’ensemble vide, not´e { } ou ∅, n’a aucun
´el´ement. L’ensemble Eest un sous-ensemble (on dit aussi partie) de l’ensemble
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CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE 6
Fsi chaque ´el´ement de Eest un ´el´ement de F. On note E⊂F. Si E⊂Fet
F⊂E,Eet Fcontiennent les mˆemes ´el´ements. On note E=F. On a toujours
∅ ⊂ E. A partir d’un ensemble Eet ses sous-ensembles, on peut d´efinir un
ensemble P(E) contenant l’ensemble Eet ses sous-ensembles. On appelle P(E)
l’ensemble des parties de E.
Exemple. Noter que {a, b}={b, a}(un tel ensemble est appel´e aussi une
paire) mais {a, b} ̸={{a},{b}}. Si E={a, b}, alors P(E) = {∅,{a},{b},{a, b}}.
Exemple. Si a∈E, alors {a} ⊂ Eet {a} ∈ P(E).
1.1.2 Op´erations bool´eennes
Si Eet Fsont des ensembles, on d´efinit la r´eunion de Eet de Fcomme
l’ensemble des ´el´ements appartenant `a Eou `a F:
E∪F={x:x∈Eou x∈F}
On d´efinit l’intersection de Eet de Fcomme l’ensemble des ´el´ements qui ap-
partiennent `a Eet `a F:
E∩F={x:x∈Eet x∈F}
Si Eest un sous-ensemble de F, on d´efinit le compl´ementaire de Edans F
comme l’ensemble des ´el´ements de Fqui ne sont pas des ´el´ements de E:
Ec=F\E={x:x∈Fet x /∈E}
Plus g´en´eralement, si Sest un ensemble et E, F ⊂Son d´efinit la diff´erence de
Eet Fpar :
F\E={x:x∈Fet x /∈E}=F∩Ec
o`u Ecd´esigne le compl´ementaire de Edans S:Ec=S\E.
Tableau : Propri´et´es des op´erations bool´eennes
Commutativit´e E∩F=F∩E E ∪F=F∪E
Associativit´e D∩(E∩F)=(D∩E)∩F D ∪(E∪F) = (D∪E)∪F
Distributivit´e D∩(E∪F) = (D∩E)∪(D∩F)
D∪(E∩F) = (D∪E)∩(D∪F)
Lois de De Morgan (E∩F)c=Ec∪Fc(E∪F)c=Ec∩Fc

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE 7
1.1.3 Une premi`ere description d’ensembles de nombres
On d´esigne par Nl’ensemble des entiers naturels ou nombres naturels
N:= {0,1,2, . . .},
(o`u ”:=” signifie ”est d´efini par”), Zl’ensemble des entiers
Z:= {. . . , −2,−1,0,1,2, . . .},
Ql’ensemble des nombres rationnels
Q:= {p
q:p, q ∈Z, q ̸= 0}
et Rl’ensemble des nombres r´eels. On a les inclusions suivantes :
∅ ⊂ N⊂Z⊂Q⊂R.
Pour donner une caract´erisation simple de Qet de R, nous passons par le
d´eveloppement d´ecimal :
Proposition 1.1.1. Un nombre r´eel est rationnel si et seulement si son d´eveloppement
d´ecimal devient p´eriodique.
Ici on applique la convention que, par exemple, 0.25 = 0.250.
D´emonstration. Exercice.
Exemple.
41
70 = 0.5857142,0.5857142 = 5 10 [phone] =41 70,
1
17 = 0.0588235294117647,0.0588235294117647 = 588235294117647 9′999′999′999′999′999 =1 17,
π= 3.141592653589793238462643 . . . ,
e= 2.718281828459045235360287 ...
On note ´egalement Z+={1,2, . . .}(ou N∗) l’ensemble des entiers (stricte-
ment) positifs. Evidemment
Z+⊂N,Z+∪ {0}=N.
Le compl´ementaire de Z+dans Nest {0}.
1.1.4 Ensemble produit cart´esien.
Soit E, F deux ensembles. On d´efinit le produit cart´esien de Eet de Fcomme
l’ensemble des couples (x, y) o`u x∈Eet y∈F:
E×F={(x, y) : x∈Eet y∈F}.
De mˆeme, on d´efinit le produit cart´esien des nensembles (Ei)1≤i≤n:
E1×. . . ×En={(x1, . . . , xn) : x1∈E1, . . . , xn∈En}.
Si Ei=Epour tout i, on note Enle produit cart´esien des Ei.

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE 8
Attention : noter que couple et paire sont des notions diff´erentes et donc
E×F̸=F×E.
Relations, Relation d’´equivalence. Nous pouvons interpr´eter tout sous-
ensemble de E×Fcomme une correspondance ou une relation entre les ´el´ements
de Eet de F. En particulier, si E=F, tout sous-ensemble R⊂E×Eest
appel´e une relation sur E. Les signes ”=” ou ”≤” sont des exemples de relations
dans les ensembles N,Z,Q,R(voir 1.2). On a besoin des relations d’´equivalence
pour d´efinir formellement les ensembles Z,Q,R(voir 1.4 et 1.5). L’objectif est
de classer les ´el´ements de Esuivant leurs types. R⊂E×Eest une relation
d’´equivalence, not´ee x∼ypour (x, y)∈Rsi elle a les propri´et´es suivantes :
1. x∼xpour tout x∈E(reflexivit´e),
2. x∼yimplique y∼x(sym´etrie),
3. x∼yet y∼zimpliquent x∼z(transitivit´e).
L’ensemble [[x]] := {y∈E:y∼x}est appel´e la classe d’´equivalence de x. On a
[[x]] = [[y]] si x∼yet x∈[[x]] est appel´e un repr´esentant de la classe d’´equivalence
[[x]]. L’ensemble quotient, not´e E/∼est l’ensemble des classes d’´equivalence. La
relation donn´ee par le signe ”=” d´efinit toujours une relation d’´equivalence.
Exemples
1. Sur des entiers naturels on introduit une classe d’´equivalence par la re-
lation ”avoir la mˆeme parit´e”. Les classes d’´equivalence sont les nombres
pairs et les nombre impairs pour lesquels on choisit les repr´esentants 0 et
1. Alors 0 ∼2, 1 ∼5, et l’ensemble quotient est donn´e par {[[0]],[[1]]}. Pour
faciliter la notation, on identfie souvent toute classes d’´equivalence avec
son repr´esentant priviligi´e. Avec cette convention, l’ensemble quotient est
donn´e par {0,1}.
2. Sur Z, on introduit une classe d’´equivalence par la relation ”avoir le
mˆeme carr´e”. Les classes d’´equivalence sont donn´ees par [[0]] := {0},[[1]] :=
{−1,1}, [[2]] := {−2,2}etc. On peut identifier l’ensemble quotient avec N.
1.1.5 Fonctions
Application ou fonction. Une correspondance qui `a tout ´el´ement x∈E
associe un ´el´ement y∈Fest appel´ee une application ou encore une fonction de
Edans Fet on la note par f:E→F. Pour indiquer que f(x) est l’´el´ement
de Fassoci´e `a x, on utilise la notation x7→ f(x). On dit que f(x) est la
valeur de fau point xou l’image de xpar f. On appelle Ele domaine de
d´efinition 1et Fl’ensemble d’arriv´ee de f. Le sous-ensemble de Fdonn´e par
f[E] := {f(x) : x∈E}est appel´e l’image de f(aussi not´e Im(f)). Finalement,
le graphe d’une application, not´e Gfest le sous-ensemble de E×Fdonn´e par
Gf={(x, f(x)) : x∈E}.
1. Souvent on note f:E→Fpour une fonction mˆeme si son domaine de d´efintion Df
est plus petit que Esi, par exemple, on veut d´ecrire des propri´et´es g´en´erales d’une classe de
fonctions qui ne d´ependent pas du domaine de d´efinition Df. Avec cette convention on dit
que f:E→Fest une application si et seulement si Df=E.

CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE 9
En g´en´eral il est repr´esent´e dans un syst`eme de coordonne´es. Par exemple,
pour une fonction r´eelle (i.e. E, F ⊂R) le graphe est repr´esent´e par sa courbe
dans le plan muni des coordonn´ees cart´esiennes. On introduit encore les notions
suivantes :
Fonction surjective. Une fonction f:E→Fest dite surjective si f[E] = F
ou, autrement dit, si tout y∈Fest l’image par fd’au moins un ´el´ement x∈E.
Fonction injective. Une fonction f:E→Fest dite injective si x1̸=x2
implique f(x1)̸=f(x2) pour tout x1, x2∈E. Autrement dit, tout y∈f[E] est
l’image par fd’un seul ´el´ement x∈E.
Fonction bijective. Une fonction f:E→Fest dite bijective si elle est `a la
fois surjective et injective.
Fonction identique (ou identit´e). La fonction IdE:E→Ed´efinie par
IdE(x) = xest appel´ee la fonction identique ou fonction identit´e sur E. La
fonction identit´e est bijective.
Fonction constante. Une fonction f:E→Fest dite constante si f(x1) =
f(x2) pour tout xj∈E,j= 1,2.
Composition de fonctions. Soit f:E→Fet g:A→Bdeux fonctions
telles que f[E]⊂A. Alors la fonction g◦f:E→B, d´efinie par (g◦f)(x) :=
g(f(x)) est appel´ee la fonction compos´ee de get f. La loi de composition est
associative : soit h:C→Dune fonction telle que g[A]⊂C, alors
h◦(g◦f) = (h◦g)◦f,
car pour tout x∈E
h◦(g◦f)(x) = h(g◦f)(x)=hg(f(x))= (h◦g)f(x)=(h◦g)◦f(x)
Fonction r´eciproque. Lorsque f:E→Fest bijective, on peut d´efinir une
fonction f−1:F→Equi `a tout y∈Fassocie l’´el´ement xde Edonn´e par la
solution unique de l’´equation y=f(x). f−1est appel´e la fonction r´eciproque de
f. La fonction f−1est bijective et f−1◦f= IdE,f◦f−1= IdF.
Tableau : Propri´et´es de f :E→F de l’´equation y =f(x)avec y ∈F
f:E→Fsurjective admet au moins une solution x∈E
f:E→Finjective y=f(x) admet au plus une solution x∈E
f:E→Fbijective admet exactement une solution x∈E