MAT2190 Calcul des EDO et EDP Hiver 2017 Rappel sur les nombres complexes Un nombre complexe est un nombre de la forme z = x + iy avec x et y des nombres réels √ et i := −1 est un nombre ayant la propriété que son carré donne −1 : i2 = −1. On dénote par C l’ensemble des nombres complexes. On identifie souvent C avec le plan cartésien R2 en envoyant z = x + iy ∈ C sur (x, y) ∈ R2 . L’addition de deux nombres complexes z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 se fait comme pour l’addition de vecteurs dans R2 : z1 + z2 := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ). Comme on suppose que i2 = −1, on peut aussi multiplier deux nombres complexes et obtenir à nouveau un nombre complexe : z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) := (x1 x2 + i2 y1 y2 ) = i(x1 y2 + y1 x2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). Définition 1. Le conjugué complexe de z = x + iy ∈ C, dénoté z, est le nombre complexe donné par z := x − iy. Définition 2. Les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe z = x + iy, dénotées respectivement Re z et Im z, sont données par z−z z−z z+z , Im z = y = = −i . Re z = x = 2 2i 2 Définition 3. Le module d’un nombre complexe z = x + iy, dénoté par |z|, est donné par p |z| := x2 + y 2 . Exercice 1. Soit z = x + iy un nombre complexe. (a) Montrer que |z|2 = zz ; (b) Si |z| = 6 0, montrer que z possède un inverse multiplicatif donné par 1 z x − iy := 2 = 2 ; z |z| x + y2 i+1 sous la forme z = x + iy avec x, y ∈ R ; i−1 (d) Si z1 et z2 sont deux nombres complexes, montrer que |z1 z2 | = |z1 ||z2 |. (c) Mettre le nombre complexe z = Pour θ ∈ R, la formule d’Euler nous dit que eiθ = cos θ + i sin θ. 1 (1) MAT2190 Calcul des EDO et EDP Hiver 2017 Définition 4. Plus généralement, pour un nombre complexe z = x + iy, on pose ez := ex eiy Alternativement, on peut montrer qu’on obtient le même nombre complexe en posant z e := ∞ X zk k=0 k! . En prenant ce point de vue, il est aussi possible de montrer que pour z1 et z2 deux nombres complexes, on a la propriété que ez1 +z2 = ez1 ez2 , généralisant ainsi la formule bien connue ex1 +x2 = ex1 ex2 pour x1 et x2 des nombres réels. Exercice 2. Montrer que pour tout nombre complexe z = x + iy, on a que |ez | = ex Exercice 3. Soient (r, θ) les coordonnées polaires dans le plan cartésien R2 telles que x = r cos θ, y = r sin θ. (a) montrer que du point de vue des nombres complexes, le rayon r est donnée par r = |z| où z = x + iy. (b) Pour z = x + iy un nombre complexe, montrer qu’en termes des coordonnées polaires (r, θ), on a que z = r(cos θ + i sin θ) = |z|eiθ . Définition 5. Un argument d’un nombre complexe z avec |z| = 6 0 est un nombre réel θ tel que z = |z|eiθ Dans ce cas, les autres arguments de z sont donnés par θ + 2πk pour k ∈ Z. L’argument principal de z est celui situé dans l’intervalle [0, 2π). On le dénote parfois par arg(z). Exercice 4. Soient z1 = r1 eiθ1 et z2 = r2 eiθ2 deux nombres complexes. (a) Montrer que z1 z2 = (r1 r2 )ei(θ1 +θ2 ) . iπ (b) Montrer que i = e 2 . (c) Lorsqu’on identifie C avec le pan cartésien R2 , montrer que la multiplication par i correspond à effectuer une rotation d’un angle π2 (mesuré en radians) dans le sens anti-horaire. 2 MAT2190 Calcul des EDO et EDP Hiver 2017 (d) Montrer que les racines n-ièmes de z = reiθ , c’est-à-dire les nombres complexes ζ ∈ C tels que ζ n = z, sont données par 1 ζk := r n e iθ+2πik n pour k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Exercices supplémentaires : i−z . i+1 2. Donner une description géométrique de l’ensemble des solutions de l’équation 2 Re z < |z|2 . 1. Trouver les parties réelle et imaginaire de 3. Considérons l’équation quadratique z 2 + bz + c = 0 avec a, b ∈ R. (a) Si z0 = x0 + iy0 est une racine complexe de cette équation avec y0 6= 0, montrer que l’autre racine est nécessairement z 0 = x0 − iy0 . (b) En déduire que b = −2 Re z0 et c = −|z0 |2 . 4π 4π 4. Trouver le module et l’argument principal du nombre complexe 3 cos + i sin . 3 3 5. Si z ∈ C a une partie imaginaire positive, quel est l’argument principal de z − z ? √ 6. Trouver deux nombres réels a et b tels que (1 − i 3)85 = a + ib. 4π 4π 7. Trouver les racines 8-ièmes de 256 cos + i sin . 9 9 4π 4π + i sin 8. Calculer la somme des carrés des racines 4-ièmes de 625 cos . 100 100 Indice : Le calcul est plus simple que ce qu’on pourrait penser à première vue. 9. Trouver les nombres réels x et y satisfaisant à l’équation |x + iy − 2i| = i(x − iy − 4). 3