Rappel sur les nombres complexes

MAT2190 Calcul des EDO et EDP Hiver 2017
Rappel sur les nombres complexes
Un nombre complexe est un nombre de la forme z=x+iy avec xet ydes nombres r´eels
et i:= √−1 est un nombre ayant la propri´et´e que son carr´e donne −1 : i2=−1. On d´enote
par Cl’ensemble des nombres complexes. On identifie souvent Cavec le plan cart´esien R2en
envoyant z=x+iy ∈Csur (x, y)∈R2. L’addition de deux nombres complexes z1=x1+iy1
et z2=x2+iy2se fait comme pour l’addition de vecteurs dans R2:
z1+z2:= (x1+x2) + i(y1+y2).
Comme on suppose que i2=−1, on peut aussi multiplier deux nombres complexes et obtenir `a
nouveau un nombre complexe :
z1z2= (x1+iy1)(x2+iy2) := (x1x2+i2y1y2) = i(x1y2+y1x2) = (x1x2−y1y2) + i(x1y2+y1x2).
D´efinition 1.
Le conjugu´e complexe de z=x+iy ∈C, d´enot´e z, est le nombre complexe donn´e par
z:= x−iy.
D´efinition 2.
Les parties r´eelle et imaginaire d’un nombre complexe z=x+iy, d´enot´ees respectivement
Re zet Im z, sont donn´ees par
Re z=x=z+z
2,Im z=y=z−z 2i=−iz−z 2.
D´efinition 3. Le module d’un nombre complexe z=x+iy, d´enot´e par |z|,est donn´e par
|z|:= px2+y2.
Exercice 1. Soit z=x+iy un nombre complexe.
(a) Montrer que |z|2=zz ;
(b) Si |z| 6= 0, montrer que zposs`ede un inverse multiplicatif donn´e par
1
z:= z |z|2=x−iy x2+y2;
(c) Mettre le nombre complexe z=i+ 1
i−1sous la forme z=x+iy avec x, y ∈R;
(d) Si z1et z2sont deux nombres complexes, montrer que |z1z2|=|z1||z2|.
Pour θ∈R, la formule d’Euler nous dit que
eiθ = cos θ+isin θ. (1)
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D´efinition 4. Plus g´en´eralement, pour un nombre complexe z=x+iy, on pose
ez:= exeiy
Alternativement, on peut montrer qu’on obtient le mˆeme nombre complexe en posant
ez:=
∞
X
k=0
zk
k!.
En prenant ce point de vue, il est aussi possible de montrer que pour z1et z2deux nombres
complexes, on a la propri´et´e que
ez1+z2=ez1ez2,
g´en´eralisant ainsi la formule bien connue ex1+x2=ex1ex2pour x1et x2des nombres r´eels.
Exercice 2. Montrer que pour tout nombre complexe z=x+iy, on a que
|ez|=ex
Exercice 3. Soient (r, θ)les coordonn´ees polaires dans le plan cart´esien R2telles que
x=rcos θ, y =rsin θ.
(a) montrer que du point de vue des nombres complexes, le rayon rest donn´ee par
r=|z|
o`u z=x+iy.
(b) Pour z=x+iy un nombre complexe, montrer qu’en termes des coordonn´ees polaires
(r, θ), on a que
z=r(cos θ+isin θ) = |z|eiθ.
D´efinition 5. Un argument d’un nombre complexe zavec |z| 6= 0 est un nombre r´eel θtel que
z=|z|eiθ
Dans ce cas, les autres arguments de zsont donn´es par θ+ 2πk pour k∈Z.L’argument
principal de zest celui situ´e dans l’intervalle [0,2π). On le d´enote parfois par arg(z).
Exercice 4. Soient z1=r1eiθ1et z2=r2eiθ2deux nombres complexes.
(a) Montrer que
z1z2= (r1r2)ei(θ1+θ2).
(b) Montrer que i=eiπ
2.
(c) Lorsqu’on identifie Cavec le pan cart´esien R2, montrer que la multiplication par icorres-
pond `a effectuer une rotation d’un angle π
2(mesur´e en radians) dans le sens anti-horaire.
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(d) Montrer que les racines n-i`emes de z=reiθ, c’est-`a-dire les nombres complexes ζ∈C
tels que ζn=z, sont donn´ees par
ζk:= r1
neiθ+2πik n
pour k∈ {0,1, . . . , n −1}.
Exercices suppl´ementaires :
1. Trouver les parties r´eelle et imaginaire de i−z
i+ 1.
2. Donner une description g´eom´etrique de l’ensemble des solutions de l’´equation 2 Re z <
|z|2.
3. Consid´erons l’´equation quadratique z2+bz +c= 0 avec a, b ∈R.
(a) Si z0=x0+iy0est une racine complexe de cette ´equation avec y06= 0, montrer que
l’autre racine est n´ecessairement z0=x0−iy0.
(b) En d´eduire que b=−2 Re z0et c=−|z0|2.
4. Trouver le module et l’argument principal du nombre complexe 3 cos 4π
3+isin 4π 3.
5. Si z∈Ca une partie imaginaire positive, quel est l’argument principal de z−z?
6. Trouver deux nombres r´eels aet btels que (1 −i√3)85 =a+ib.
7. Trouver les racines 8-i`emes de 256 cos 4π
9+isin 4π 9.
8. Calculer la somme des carr´es des racines 4-i`emes de 625 cos 4π
100 +isin 4π 100.
Indice : Le calcul est plus simple que ce qu’on pourrait penser `a premi`ere vue.
9. Trouver les nombres r´eels xet ysatisfaisant `a l’´equation |x+iy −2i|=i(x−iy −4).
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