Fiche de cours

Chapitre 9 Terminale S
Les nombres complexes - 2
Ce que dit le programme :
CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
1ère partie
Forme algébrique, conjugué.
Somme, produit, quotient.
Équation du second degré à
coefficients réels.
Représentation géométrique.
Affixe d’un point, d’un vecteur.
•Effectuer des calculs algébriques avec
des nombres complexes.
•Résoudre dans C une équation du second
degré à coefficients réels.
•Représenter un nombre complexe par un
point ou un vecteur.
•Déterminer l’affixe d’un point ou d’un
vecteur.
On introduit dans ce chapitre des éléments
lui donnant une dimension historique.
Le plan est muni d’un repère orthonormé
(O ; ⃗ u ; ⃗ v).
2ème partie
Forme trigonométrique :
- module et argument,
interprétation géométrique dans
un repère orthonormé direct ;
- notation exponentielle.
•Passer de la forme algébrique à la
forme trigonométrique et inversement.
•Connaître et utiliser la relation
z z=∣z∣2
•Effectuer des opérations sur les
nombres complexes écrits sous
différentes formes.
La notation exponentielle est introduite après
avoir montré que la fonction θa cos + θi sin θ
vérifie la même relation fonctionnelle que la
fonction exponentielle.
Les nombres complexes permettent de
mémoriser les formules trigonométriques
d’addition et de duplication vues en première.
[SI] Analyse fréquentielle d’un système.
I. Forme trigonométrique
1.1) Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Le plan muni d'un repère orthonormé direct
(O ; ⃗ u ; ⃗ v).
On rappelle que le repère
orthonormé
(O ; ⃗ u ; ⃗ v)
est dit direct si et seulement si l'angle
( ⃗ u ; ⃗ v)=+π
2.
Nous avons vu en 1ère S, qu'à tout point M de coordonnées cartésiennes (x ; y) du
plan, on associe les deux nombres réels :
r=∥
⃗
OM∥∈ℝ+
(norme du vecteur
⃗
OM
)
et
θ=(
⃗
u ;
⃗
OM )
(modulo
2π
) qui n'est autre que l'angle que forme le vecteur
⃗
OM
avec le vecteur de base
⃗ u
de direction [Ox).
 Si je connais les coordonnées carté-
siennes (x;y), je peux calculer les
coordonnées polaires : r et
θ
:
{
r=
√
x2+y2
cosθ= x
r=x
√
x2+y2
sin θ= y
r=y
√
x2+y2
Inversement, si je connais les coordon-
nées polaires
(r ;θ)
; je peux calculer
les coordonnées cartésiennes (x ; y) :
x=rcosθ
et
y=rsinθ
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Le couple
(r ;θ)
correspond aux coordonnées polaires du point M dans le plan muni
du repère orthonormé direct
(O ; ⃗ u ; ⃗ v).
Nous allons – tout simplement– traduire cette écriture avec les nombres complexes.
Définition 1.
A tout point M d'affixe z, du plan complexe muni d'un repère orthonormé direct
(O ; ⃗ u ; ⃗ v),
on associe les deux nombres réels :
•
r=∥
⃗
OM∥∈ℝ+
qu'on appelle le module de z et on note
r=∣z∣
; et
•
θ=(
⃗
u ;
⃗
OM )
(modulo
2π
) qu'on appelle l'argument de z et on note
θ=arg (z)
[2π]
(lire modulo
2π
, c'est-à-dire à
2kπ
près).
Soit
z∈ℂ
et M le M d'affixe z, du plan complexe muni d'un repère orthonormé
direct
(O ; ⃗ u ; ⃗ v).
D'après cette définition, nous pouvons maintenant, réécrire la
forme algébrique de z.
•
z=x+iy
•
r=∣z∣=∥
⃗
OM∥=
√
x2+y2
•
x=rcosθ
et
y=rsinθ
•ou encore
cosθ= x
∣z∣
et
sinθ= y
∣z∣
Par conséquent :
z=x+iy=rcosθ+i r sinθ
=
r(cos θ+isin θ)
Définition 2.
Soit M un point du plan complexe muni d'un repère orthonormé direct
(O ; ⃗ u ; ⃗ v).
Soit z l'affixe du point M. Alors l'écriture
z=r(cosθ+isin θ)
s'appelle la forme trigonométrique de z, avec
r=∣z∣
est le module de z et
θ=arg (z)=(
⃗
u ;
⃗
OM )
(modulo
2π
) est l'argument de z (à
2kπ
près).
Exemples
Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes suivants :
z1=1+i
;
z2=1+i
√
3
et
z3=−
√
3+i
Pour
z1=1+i
–1er réflexe : Je calcule le module de
z1=1+i
.
∣z1 ∣=
√
x2+y2=
√
12+12=
√
2
–2ème réflexe : Je calcule
cosθ
et
sinθ
:
{
cosθ= x
∣z∣=1
√
2=
√
2
2
sin θ= y
∣z∣=1
√
2=
√
2
2
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–3ème réflexe : Je consulte mon cercle trigonométrique :
1er cas
cosθ=±
√
2
2
sinθ=±
√
2
2
2ème cas
cosθ=±1
2
sinθ=±
√
3
2
3ème cas
cosθ=±
√
3
2
sinθ=±1
2
–Nous sommes bien dans le 1er cas et
cosθ>0
et
sinθ>0
.
Donc
θ=π
4
[2π]
.
–Par conséquent
z1=
√
2
(
cos
(
π
4
)
+isin
(
π
4
)
)
Pour
z2=1+i
√
3
:
–1er réflexe : Je calcule le module de
z2=1+i
√
3
∣z2 ∣=
√
x2+y2=
√
12+(
√
3)2=
√
4=2
–2ème réflexe : Je calcule
cosθ
et
sinθ
:
{
cosθ= x
∣z∣=1 2
sin θ= y
∣z∣=
√
3
2
–3ème réflexe : Je consulte mon cercle trigonométrique :
–Cette fois, nous sommes dans le 2ème cas et
cosθ>0
et
sinθ>0
.
Donc
θ=π
3
[2π]
.
–Par conséquent
z2=2
(
cos
(
π
3
)
+isin
(
π
3
)
)
Pour
z3=−
√
3+i
:
–1er réflexe : Je calcule le module de
z3=−
√
3+i
∣z3 ∣=
√
x2+y2=
√
(−
√
3)2+12=
√
4=2
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–2ème réflexe : Je calcule
cosθ
et
sinθ
:
{
cosθ= x
∣z∣=−
√
3
2
sinθ= y
∣z∣=1 2
–3ème réflexe : Je consulte mon cercle trigonométrique :
–Cette fois, nous sommes dans le 3ème cas et
cosθ<0
et
sinθ>0
.
Donc
θ=5π
6
[2π]
.
–Par conséquent
z3=2
(
cos
(
5π
6
)
+isin
(
5π
6
)
)
Cas particuliers très importants :
Soit z un nombre complexe non nul. On pose
z=x+iy
et
arg (z)=θ
[2π]
.
Alors :
•
z=x−iy
est le symétrique de z par rapport à l'axe des abscisses :
∣z∣=∣z∣
et
arg (z)=−θ=−arg (z)
[2π]
•
−z=−x−iy
est le symétrique de z par rapport à l'origine O :
∣−z∣=∣z∣
et
arg (−z)=θ+π=arg (z)+π
[2π]
•
−z=−x+iy
est le symétrique de z par rapport à l'axe des ordonnées :
∣−z∣=∣z∣
et
arg (−z)=π−θ=π−arg (z)
[2π]
1.2) Propriété des modules et arguments
Théorème 1.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct
(O ;
⃗
i ;
⃗
j).
Soient z1 et z2
deux nombres complexes dont on connaît les formes trigonométriques telles que :
z1=r1(cosθ1+isinθ1)
et
z2=r2(cosθ2+isinθ2).
Alors :
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1°)
z1z2=r1r2
[
cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)
]
2°)
1
z2
=1
r2
[
cos(−θ2)+isin(−θ2)
]
,
z2≠0
3°)
z1
z2
=r1
r2
[
cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)
]
,
z2≠0
Démonstration :
1°)
z1z2=r1
(
cosθ1+isin θ1
)
×r2
(
cosθ2+isin θ2
)
=
r1r2
[
cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2−sinθ1sinθ2
]
=
r1r2
[ (
cosθ1cosθ2−sin θ1sin θ2
)
+i
(
cosθ1sinθ2+sin θ1cosθ2
) ]
z1z2=r1r2
[
cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)
]
= forme trigonométrique de z1z2.
d'après les formules d'addition de trigonométrie vues en 1ère S.
C'est aussi un moyen de "retrouver ces formules". CQFD
On en déduit immédiatement que :
(1°)
∣z1z2 ∣=r1r2=∣z1∣×∣z2 ∣
et
arg (z1z2)=θ1+θ2=arg (z1)+arg (z2)
[2π]
(1°bis)
∣z2 ∣=r2=∣z∣2
et
arg (z2)=2θ=2arg (z)
[2π]
(1°ter)
∣zn ∣=rn=∣z∣n
et
arg (zn)=nθ=n×arg (z)
[2π]
pour tout
n∈ℕ
2°) On suppose que
z2≠0
, alors :
1
z2
=1
r2
(
cosθ2+isinθ2
)
=1
r2
×1
cosθ2+isinθ2
On multiplie par le conjugué du dénominateur, pour obtenir :
1
z2
=1
r2
×cosθ2−isin θ2
(
cosθ2+isin θ2
)(
cosθ2−isinθ2
)
La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire, donc :
1
z2
=1
r2
×cos(−θ2)+isin(−θ2)
cos2θ2+sin2θ2
Ce qui donne :
1
z2
=1
r2
[
cos(−θ2)+isin(−θ2)
]
,
z2≠0
CQFD
On en déduit immédiatement que, pour tout
z≠0
:
(2°)
∣
1
z2
∣
=1
r2
=1
∣z2∣
et
arg
(
1
z2
)
=−θ2=−arg (z2)
[2π]
3°) On suppose que
z2≠0
. En utilisant les deux résultats précédents, on a :
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