c S.Boukaddid TD n˚17 sup TSI Cinématique d`un point matériel

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S.Boukaddid TD n˚17 sup TSI
Cin´ematique d’un point mat´eriel
Exercice n˚1 :Spirale logarithmique
Le mouvement d’un point M est analys´e dans un r´ef´erentiel terrestre Rest rep´er´e par
ses coordonn´ees polaires r=r0eθet θ=ωt. Les param`etres r0et ωsont des constantes
positives.
1. Tracer qualitativement l’allure de la courbe d´ecrite par M .
2. Exprimer les composantes radiales et orthoradiale de −→ v(M/R). En d´eduire la
valeur de l’angle ϕentre la vitesse et le vecteur position −−→ OM `a l’instant t.
3. Exprimer les composantes radiale et orthoradiale de −→ a(M/R). Que remarque-t-
on ?
Exercice n˚2 :Trajectoire circulaire d’un mobile
Dans un r´ef´erentiel terrestre R,un point M
d´ecrit une trajectoire circulaire de centre C et
de rayon R dans le plan de la figure (oxy). Il
est rep´er´e en coordon´ees polaire comme l’in-
dique la figure,et se d´eplace avec une vitesse
angulaire ˙ θ=ω0constante .
M
−→
er
−→
eθ
θ
C
x
y
−→
ex
−→
ey
−→ ez
1. D´eterminer l’´equation de la trajectoire de M en coordonn´ees polaires
2. Exprimer,dans la base (−→ er,−→ eθ,−→ ez),les vecteurs vitesse et acc´el´eration de cepoint
par rapport au r´ef´erentiel terrestre R. Quelle sont leurs normes respectives ?
3. Montrer que le vecteur acc´el´eration de ce point peut s’exprimer simplement en
fonction de ω0et du vecteur −−→ CM. En d´eduire que le mouvement de M est circulaire
uniforme et qu’il s’effectue avec une vitesse angulaire que vous pr´eciserez.
Exercice n˚3 :Mouvement h´elico¨ıdal
Soit l’h´elice droite d´efinie en coordonn´ees cylindriques par les ´equations r=Ret
z=hθ (h constante),et orient´ee dans le sens θcroissant. L’origine est le point rep´er´e
par z= 0.
1. D´eterminer ses ´equations en coordonn´ees cart´esiennes. Quel est le pas ade cette
helice ?
2. Cette h´elice est parcourue `a la vitesse constante vpar un point M
(a) D´eterminer le vecteur vitesse et le vecteur acc´el´eration
(b) Tracer l’hodographe
Exercice n˚4 :Mouvement Cyclo¨ıdal
Une roue de rayon R (repr´esent´ee sur la figure suivante) roule sur l’horizontale (ox),son
centre C est anim´e d’un vecteur vitesse constante −→ vc. La vitesse angulaire constante
ω=˙ θ=cte. Le rep`ere (o, −→ ex,−→ ez) est li´e au r´ef´erentiel Rdu support plan et l’´etude
est effectu´ee dans le plan (oxz).
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1. ` A l’instant initial t= 0,M est au point o. La roue roule sans glisser sur son support
et la vitesse de C v´erifie la condition vc= ˙xc=Rω. Justifier succintement cette
´egalit´e.
2. La roue d´emarre `a l’instant initial t= 0 avec une vitesse nulle. Donner les ex-
pressions des coordonn´ees xet z du point M en fonction de R et ωet du temps
t.
3. D´eterminer `a partir de ces coordonn´ees les composantes du vecteur vitesse −→ v(M/R)
et les composantes du vecteur acc´el´eration −→ a(M/R) .
4. Montrer que le vecteur −→ a(M/R) est `a tout instant orthogonal au vecteur −−→ IM.
5. D´eterminer −→ v(M/R) et −→ a(M/R) lorsque le point M est en contact avec le sol.
6. Repr´esenter la trajectoire du point M,z=f(x),en notant sur ce sch´ema quelques
points caract´eristiques (points de vitesse nulle et points de vitesse maximale)
θ
R
C
M
I
−→
g
−→
ex
−→
ez
⊗−→ ey
+
z
x
7. D´eterminer la longueur d’un arc de cyclo¨ıdale.
On donne : 2 sin2θ
2= 1 −cos θ
2 / 2