c S.Boukaddid TD n˚17 sup TSI Cinématique d`un point matériel
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c S.Boukaddid TD n˚ 17 sup TSI Cinématique d’un point matériel Exercice n˚1 : Spirale logarithmique Le mouvement d’un point M est analysé dans un référentiel terrestre R est repéré par ses coordonnées polaires r = r0 eθ et θ = ωt. Les paramètres r0 et ω sont des constantes positives. 1. Tracer qualitativement l’allure de la courbe décrite par M . − 2. Exprimer les composantes radiales et orthoradiale de → v (M/R). En déduire la −−→ valeur de l’angle ϕ entre la vitesse et le vecteur position OM à l’instant t. − 3. Exprimer les composantes radiale et orthoradiale de → a (M/R). Que remarque-ton ? Exercice n˚2 : Trajectoire circulaire d’un mobile y Dans un référentiel terrestre R,un point M décrit une trajectoire circulaire de centre C et de rayon R dans le plan de la figure (oxy). Il est repéré en coordonées polaire comme l’indique la figure,et se déplace avec une vitesse angulaire θ̇ = ω0 constante . → − eθ M → − ey − → ez → − er θ → − ex x C 1. Déterminer l’équation de la trajectoire de M en coordonnées polaires − − − 2. Exprimer,dans la base (→ e ,→ e ,→ e ),les vecteurs vitesse et accélération de cepoint r θ z par rapport au référentiel terrestre R. Quelle sont leurs normes respectives ? 3. Montrer que le vecteur accélération de ce point peut s’exprimer simplement en −−→ fonction de ω0 et du vecteur CM . En déduire que le mouvement de M est circulaire uniforme et qu’il s’effectue avec une vitesse angulaire que vous préciserez. Exercice n˚3 : Mouvement hélicoı̈dal Soit l’hélice droite définie en coordonnées cylindriques par les équations r = R et z = hθ (h constante),et orientée dans le sens θ croissant. L’origine est le point repéré par z = 0. 1. Déterminer ses équations en coordonnées cartésiennes. Quel est le pas a de cette helice ? 2. Cette hélice est parcourue à la vitesse constante v par un point M (a) Déterminer le vecteur vitesse et le vecteur accélération (b) Tracer l’hodographe Exercice n˚4 : Mouvement Cycloı̈dal Une roue de rayon R (représentée sur la figure suivante) roule sur l’horizontale (ox),son − centre C est animé d’un vecteur vitesse constante → v c . La vitesse angulaire constante → − → − ω = θ̇ = cte. Le repère (o, e x , e z ) est lié au référentiel R du support plan et l’étude est effectuée dans le plan (oxz). 1/2 c S.Boukaddid TD n˚ 17 sup TSI 1. À l’instant initial t = 0,M est au point o. La roue roule sans glisser sur son support et la vitesse de C vérifie la condition vc = ẋc = Rω. Justifier succintement cette égalité. 2. La roue démarre à l’instant initial t = 0 avec une vitesse nulle. Donner les expressions des coordonnées x et z du point M en fonction de R et ω et du temps t. − 3. Déterminer à partir de ces coordonnées les composantes du vecteur vitesse → v (M/R) → − et les composantes du vecteur accélération a (M/R) . −−→ − 4. Montrer que le vecteur → a (M/R) est à tout instant orthogonal au vecteur IM . − − 5. Déterminer → v (M/R) et → a (M/R) lorsque le point M est en contact avec le sol. 6. Représenter la trajectoire du point M,z = f (x),en notant sur ce schéma quelques points caractéristiques (points de vitesse nulle et points de vitesse maximale) z → − g + M R C θ → − ez − ⊗→ ey x → − ex I 7. Déterminer la longueur d’un arc de cycloı̈dale. θ On donne : 2 sin2 = 1 − cos θ 2 2/2
