Feuille de TD 2 - Les nombres complexes - IMJ-PRG

Université Paris-Diderot
Année 2016-2017
MM1 - Algèbre et analyse élémentaires I
51AE01MT
Filière Chimie - Step
Feuille de TD 2 - Les nombres complexes
Exercice 1. Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
2
,
1 − 2i
2
1+i
(d)
,
2−i
(a)
(b)
1
1
+
,
1 − 2i 1 + 2i
(e)
2 + 5i 2 − 5i
+
,
1−i
1+i
2+i
,
3 − 2i
2
1+i
3 + 6i
(f)
+
.
2−i
3 − 4i
(c)
Exercice 2. Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants.
√
(a) −3 2,
(b) − 43 i,
(c) πi,
√
√
√
(d) 3 + 3i,
(e) 3 − i,
(f) 2 + 6i,
√
√
1−i
(g) √
,
(h) (1 − i)9 ,
(i) ( 5 − i)( 5 + i),
3+i
√
π
2π
(j) e3+4i ,
(k) ei 3 + ei 3 ,
(l) 3i + e−iπ .
Exercice 3. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
iθ
(a) ee ,
0
(b) eiθ + eiθ ,
0
(c) eiθ − eiθ ,
0
eiθ + eiθ
(ce nombre est-il toujours bien défini ?).
(d) iθ
e − eiθ0
Exercice 4. Soit z = r(cos θ + i sin θ) un nombre complexe non nul écrit sous forme trigonométrique.
1
Écrire z̄, −z, sous forme trigonométrique.
z
Exercice 5. Soit α un réel non congru à
π
2
(a) Quelle est la forme exponentielle de z =
modulo π et t = tan α.
1 + it
?
1 − it
(b) Mettre z sous forme algébrique et en déduire que cos(2α) =
sin(2α) =
2t
.
1 + t2
1
1 − t2
et
1 + t2
Exercice 6. Soient A, B et C trois points du plan complexe d’affixes
√ π
zA = 2ei 4 , zB = 4 + 2i, zC = −5 − i.
−−→ −→
Calculer les affixes des vecteurs AB, AC et montrer que A, B et C sont alignés.
Exercice 7. Soient E, F et G trois points du plan complexe d’affixes
√
√
zE = −2i, zF = − 3 + i, zG = 3 + i.
zF − zE
Donner la forme algébrique de
et la forme trigonométrique. En donner
zG − zE
une interprétation géométrique.
Exercice 8. Soit z = x + iy un nombre complexe différent de −2 et Z =
z + 3i
.
z+2
a) Exprimer Z sous forme algébrique.
b) Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z vérifiant Z est imaginaire
pur.
Exercice 9. Trouver les racines carrées complexes des nombres suivants :
(a) 16,
√
(d) −1 + i 3,
(g) i − 2,
1+i
(j)
.
1−i
(b) 4i,
(c) 3 + 4i,
(e) 1 + i,
(f) 6 − 8i,
i2π/5
(h) 2e
(i) −5 − 12i,
,
Exercice 10. Soit θ ∈ R un nombre réel. Résoudre dans C les équations suivantes :
(a) z 2 − 2 cos(θ)z + 1 = 0,
(b) z 4 − 2 cos(2θ)z 2 + 1 = 0.
1+i
Exercice 11. (a) Calculer les racines carrées de √ sous forme algébrique et exponentielle.
2
(b) En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8).
(c) En utilisant la même méthode, calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12).
Exercice 12. Exprimer comme produit de facteurs linéaires les polynômes suivants :
(a) iz 2 − 1,
(b) z 2 − 3z + 2,
(c) z 4 + 1,
(d) z 4 − 3iz 3 − (1 + 3i)z 2 ,
(e) z 3 + z 2 + z + 1,
(f) 2z 2 + iz − 3,
(g) z 2 − 2z + 4i,
(h) iz 3 + (1 − 2i)z 2 + 2(i − 1)z + 2.
2
Exercice 13. Résoudre dans C les équations suivantes :
(a) z 2 + z + 1 = 0,
(b) z 2 − iz + 2 = 0,
(c) (3 − i)z 2 + (4i − 2)z − 8i + 4 = 0,
3 3
z+1
z−1
(e)
+
= 0.
z−1
z+1
4
2
(g) z + 2z + 4 = 0,
(d) z(z − i) = iz + 2,
(i) z n = z̄,
(j) z 2 + z − 1 ∈ R,
(f) z 4 + 2z 3 + 4z 2 = 0,
(h) z 2 = z,
(k) z 2 + 2z − 2 ∈ iR (iR = ensemble des nombres imaginaires purs),
(l) arg(z + 2z) =
π
3
mod 2π
Exercice 14. (a) Déterminer les formes trigonométriques et exponentielles des racines 5-èmes
de l’unité.
(b) Dessiner de façon approximative les racines 5-èmes de l’unité dans le plan cartésien.
(c) Soit z = x + iy une racine 5-ème de l’unité. Trouver les valeurs possibles pour y/x.
π
(d) En déduire les valeurs de tan( π5 ) et tan( 10
).
(e) En utilisant le fait que x2 + y 2 = 1, déterminer les formes cartésiennes des racines 5-èmes de
l’unité.
π
π
(f) En déduire les valeurs de cos( π5 ), sin( π5 ), cos( 10
) et sin( 10
).
Exercice 15. (a) Déterminer les formes algébriques et exponentielles des racines 8-ièmes de
l’unité, puis décrire la figure obtenue dans le plan complexe en joignant ces racines avec
arguments consécutifs.
(b) Déterminer les formes algébriques et exponentielles des racines cinquièmes de i, puis décrire
la figure obtenue dans le plan complexe en joignant ces racines avec arguments consécutifs.
(c) Sachant que (2 + 4i)6 = 7488 + 2816i donner les racines sixièmes de 7488 + 2816i.
p
√
√
Exercice 16. Dans cet exercice, on admettra que ei2π/5 = ( 5−1+i 10 + 2 5)/4 et on notera
µ ce nombre complexe.
(a) Écrire sous forme algébrique z = eiπ/3 .
(b) Écrire µ/z sous forme trigonométrique et algébrique.
π
π
(c) En déduire les valeurs de cos 15
et sin 15
.
Exercice 17. (a) Calculer les racines n-ième de −i et de 1 + i.
(b) Résoudre dans C l’équation z 2 − z + 1 − i = 0.
(c) En déduire les solutions dans C de l’équation z 2n − z n + 1 = 0.
Exercice 18. Pour tout n ∈ N, calculer :
(a) (1 + i)n + (1 − i)n ,
(b) (1 + i)n − (1 − i)n ,
√ 2n
√ n
(c) −1+2 3i + 1−2 3i
.
3
Exercice 19. Exprimer en fonction de cos α et sin α les formules trigonométriques suivantes :
(a) cos(3α),
(b) sin(3α),
(c) cos(4α),
(d) sin(5α),
Exercice 20. Soit α un nombre réel.
Linéariser les formules trigonométriques suivantes :
(a) cos3 α,
(b) sin3 α,
(c) cos4 α,
(d) sin4 α,
(e) cos5 α,
(f) sin α cos3 α.
Exercice 21. Dans le plan complexe rapporté à un repère
√ orthonormal centré en 0 on considère
les points A, B et M d’affixe respective 1 + i, 1 − i et 2 eiπ/3 .
(a) Placer les points A, B et M dans le plan complexe.
(b) Ces points sont-ils alignés ?
(c) Calculer le module et l’argument de 1 − i.
(d) Ces points sont-ils sur un même cercle de centre 0 ? Si oui, quel est le rayon de ce cercle ?
Exercice 22. Dans le plan complexe rapporté un repère orthonormal centré en 0 on considère
les points A, B, O et M d’affixe respective i, 2 − i, 0 et z.
(a) Supposons que z = 1. Placer les points A, B et M dans le plan complexe. Les points A, B
et M sont-ils alignés ?
(b) Supposons que z = 1 + i. Placer les points A, B et M dans le plan complexe. Quel est le
module de z ? Quel est l’argument de z ? Le triangle est-il rectangle en M ?
Exercice 23. On considère les applications f , g : C → C données par
f (z) = 2z + i
1−i
g(z) = √ z + 3.
2
et
(a) Déterminer si f définit une rotation/une homothétie, et calculer le centre et l’angle/le rapport
de f le cas échéant.
(b) Déterminer les ensembles des points invariants des applications u = f ◦ g et v = g ◦ f . L’application u est-elle une rotation/une homothétie ? L’application v est-elle une rotation/une
homothétie ?
Exercice 24. Pour tout nombre complexe t, on définit la transformation
ft : C → C,
z 7→ (t + i)z − 1.
(a) Déterminer pour quelles valeurs de t la transformation ft est une homothétie, respectivement
une rotation, respectivement une translation.
(b) Supposons t = 0, calculer le vecteur de translation, ou le centre et l’angle/le rapport de f0
suivant que f0 est une translation, respectivement une rotation, resp. une homothétie.
4
(c) Supposons t = 2 − i, calculer le vecteur de translation, ou le centre et l’angle/le rapport de
f2−i suivant que f2−i est une translation, respectivement une rotation, resp. une homothétie.
(d) Supposons t = 1 − i, calculer le vecteur de translation, ou le centre et l’angle/le rapport de
f1−i suivant que f1−i est une translation, respectivement une rotation, resp. une homothétie.
Exercice 25. En utilisant la formule du binôme de Newton, développer les expression suivantes :
(a) (a + b)6 ,
(b) (x + iy)4 ,
(c) (1 + i)5 ,
(d) (1 − 2i)3 ,
(e) (10 + 1)4 ,
(f) (a + b + c)3 .
Annales
Exercice 26 (Examen, 2013). Dans cet exercice, α désigne un nombre réel tel que cos(α) 6= 0.
(a) Rappeler les définitions du module et d’un argument d’un nombre complexe z 6= 0.
(b) Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe −i.
(c) Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe z0 donné par :
z0 =
1 + i tan(α)
.
1 − i tan(α)
(d) Trouver les nombres réels α vérifiant l’équation :
1 + i tan(α)
1 − i tan(α)
2
= −i.
Exercice 27 (Partiel, 2013). (a) Exprimer les racines 3-ièmes de l’unité sous formes exponentielle, trigonométrique et cartésienne.
(b) Exprimer les racines 3-ièmes de 2 + 2i sous formes exponentielle et trigonométrique.
(c) À l’aide du point (a), exprimer les racines 3-ièmes de 2 + 2i sous forme cartésienne.
π
π
(d) En déduire les valeurs de cos 12
et sin 12
.
(e) Exprimer sin(2α) en fonction de cos α et sin α.
(f) Linéariser cos3 α.
(g) Vérifier les formules des points (e) et (f) pour α =
π
12 .
Exercice 28 (Examen, 2014). Les deux parties sont indépendantes.
1. Racines d’un nombre complexe
√
(a) Calculer le module et un argument du nombre complexe
16 + 16i 3. En déduire la
√
forme exponentielle ou trigonométrique de 16 + 16i 3.
(b) Déterminer (sous forme exponentielle ou trigonométrique) tous les nombres complexes
z tels que
√
z 5 = 16 + 16i 3.
5
2. Équation de degré deux dans C
Résoudre dans C l’équation d’inconnue z
z 2 − (3 − i)z + 4 = 0.
Exercice 29 (Partiel, 2014).
1. Écrire le nombre complexe −i sous forme exponentielle.
2. Résoudre dans C l’équation z 3 = −i.
√
On définit u = −
3
2
− 2i .
3. Exprimer u sous forme exponentielle et calculer u3 , u5 , u11 et u24 sous formes exponentielles,
trigonométriques et cartésiennes, en faisant le moins de calculs possibles.
Exercice 30 (Examen, 2014).
1. Résoudre, dans C, l’équation z 6 = 1.
2. Montrer que i est une solution de l’équation z 6 = −1. En déduire l’ensemble des solutions
de l’équation z 6 = −1 dans C en exprimant les racines de cette équation sous formes
exponentielles, cartésiennes et trigonométriques, et les dessiner sur le cercle unité.
6