Nombres complexes

Chapitre 1
Nombres complexes
Le buts du chapitres sont :
– Consolider les aquis de terminale,
– Savoir manipuler les nombres complexes, en particulier la factorisation par
l’angle de moitié.
– Avoir des notions sur le lien entre nombres complexes et géométrie
– Savoir linéariser des formulles trigonométriques (Moivre et Euler),
– Savoir résoudre une équation du second degré à coefficients réels ou complexes.
– Avoir des notions sur les racines n-ièmes de l’unité.
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I Corps des nombres complexes
I.1 Définition
On admet que l’ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué
de nombres complexes.
Définition 1. L’ensemble des nombres complexes noté Cest constitué des nombres de la forme :
C=na+iba∈R, b ∈Ro
où iest un nombre qui vérifie i2= 1.
Si zest un nombre complexe, il existe donc un couple unique (a, b)∈R2, tel que z=a+ib, on
appelle
–partie réelle de z,ℜ(z) = a,
–partie imaginaire de a,ℑ(z) = b.
Deux nombres complexes sont égaux si ils ont même partie réelle et partie imaginaire.
Note: En particulier, z= 0 ⇔ ℜ(z) = 0 et ℑ(z) = 0.
Cette représentation sous la forme a+ib s’appelle forme algébrique d’un nombre complexe par
opposé à la représentation géométrique vue plus loin, cela veut dire que cette forme sert à calculer
1

des sommes produits de nombres complexes, de la même manière que dans R, avec juste en plus la
règle i2= 1. Cela montre en particulier que la formule du binôme est valable aussi dans C, ainsi que
la formule de factorisation. D’une manière générale, toutes les formules qui ne font pas intervenir <
dans leur démonstration par exemple la somme des termes d’une suite géométrique, arithmétique etc.
Les nombres réels s’identifient aux nombres complexes qui ont une partie imaginaire nulle. Au
contraire, on appelle imaginaire pur, les nombres complexes de la forme ib.
Dans cet ensemble, on peut définir :
– la somme de deux complexes par
(a+ib) + (a′+ib′) = (a+a′) + i(b+b′),
i.e. en regroupant partie réelle et imaginaire,
– la multiplication de deux nombres complexes par :
(a+ib)×(a′+ib′) = (aa′−bb′) + i(ab′+ba′),
i.e. en utilisant la règle i2= 1,
– mais il n’existe pas d’équivalent à <, il n’y a donc pas de majorant, de fonction croissante etc....
– de même il n’y a pas de racines carrées 1.
On voit en particulier que ℜ(z+z′) = ℜ(z) + ℜ(z′), et idem pour la partie imaginaire, mais
ℜ(zz′)6=ℜ(z)ℜ(z′).
Proposition 1. Si z=a+ib est un nombre complexe non nul (i.e. aou bnon nul), alors on définit
l’inverse de zcomme :
z−1=a−ib
a2+b2,
on vérifie z×z−1= 1.
Démonstration. Il suffit de faire le calcul :
(a+ib)×a−ib
a2+b2= 1.
Ainsi, tout élément non nul de Cadmet un inverse. En particulier, si on a l’équation : zz′= 0,
alors on peut en conclure que zou z′est nul.
Remarque: C’est le module au carré qui apparaît au dénominateur, en particulier si |z|= 1,
on a z−1= ¯z. Cela indique aussi que lorsqu’on dispose d’un quotient du type z
z′, pour revenir à une
forme algébrique, on utilise : z
z′=zz′ |z′|2.
(on dit que l’on multiplie par l’expression conjuguée).
Note: Construction du corps C
On peut voir Ccomme
–R2, avec une multiplication « tordue » ,
– le plus petit ensemble qui contient R, qui contient iet dans lequel on peut définir une addition et une
multiplcation de manière naturelle.
1. Comme dans Rsi a∈C, l’équation z2=aa deux solutions, mais on ne peut pas choisir la solution positive
comme dans R.

I.2 Conjugué et module
⋆Définitions
Définition 2. Soit z=a+ib un nombre complexe, son conjugué est le nombre complexe : z=a−ib.
On voit que zz =a2+b2est toujours un nombre réel positif. On définit alors le module de zcomme
le nombre réel positif : |z|=√a2+b2=√zz.
⋆Propriétés
La conjugaison est une opération qui a beaucoup de bonnes propriétés.
Proposition 2. Si zet z′sont deux nombres complexes, on a :
–ℜ(z) = z+z
2,
–ℑ(z) = z−z
2i,
–z=z,
–zest un nombre réel ⇔z=z,
–zest imaginaire pur ⇔z=−z,
–z+z′=z+z′,
–zz′=zz′,
–z−1=z−1.
Démonstration. Prouvons la dernière :
z−1=a−ib
a2+b2
=a
a2+b2−ib a2+b2
=a
a2+b2+ib a2+b2
=z−1
Le module est plus proche d’une valeur absolue : comportement simple par rapport à la multipli-
cation, inégalité triangulaire pour l’addition.
Proposition 3. Si zet z′sont deux nombres complexes, on a :
–|z|= 0 ⇔z= 0,
–|ℜ(z)|6|z|et |ℑ(z)|6|z|,
–zz=|z|2,
–|z|=|z|,
–|zz′|=|z||z′|, donc ∀n∈N,|z|n=|zn|,
– si z6= 0,1
z=1
|z|.

Démonstration. Si |z|= 0 alors a2+b2= 0, on a donc une somme de terme positif, qui est nul si et
seulement si a=b= 0. La réciproque est évidente.
On a aussi : a26a2+b2, et donc |ℜ(z)|6|z|.
Puis :
|zz′|2=zz′×zz′=zz ×z′z′=|z|2× |z′|2.
d’où |zz′|=|z||z′|.
Ensuite : 
1
z
2=1
z
1
z=1 |z|2.
d’où 1
z=1
|z|.
⋆Inégalité triangulaire
Enfin, on a l’inégalité triangulaire :
Proposition 4. On a l’inégalité triangulaire :
∀(z, z′)∈C2,|z+z′|6|z|+|z′|,
et donc en conséquence l’inégalité triangulaire renversée :
∀(z, z′)∈C2,|z| − |z′|6|z−z′|.
Enfin, il y a égalité dans l’inégalité triangulaire si et seulement si les complexes sont positivement
liés :
∀(z, z′)∈C2,|z+z′|=|z|+|z′| ⇐⇒ 
∃λ∈R+,tel que z=λz′,ou
∃λ∈R+,tel que z′=λz.
Les propositions importantes sont celles qui lient le module et le conjugué.
Démonstration. Soit zet z′∈C,
On a :
|z+z′|6|z|+|z′| ⇐⇒ |z+z′|26(|z|+|z′|)2
car les deux membres sont positifs. On a aussi :
|z+z′|2= (z+z′)(z+z′)
=zz+z′z′+zz′+zz′
=|z|2+|z′|2+ 2ℜzz′
6|z|2+|z′|2+ 2zz′
6|z|+|z′|2.
L’inégalité triangulaire renversée s’obtient à partir de l’inégalité triangulaire comme cela a été vu
à la section ?? du chapitre ??.

Pour démontrer le dernier point, supposons que |z+z′|=|z|+|z′|, en regardant la démonstration
précédente, on a alors : ℜzz′=zz′. D’où zz′est un réel positifs. On pose donc λ=zz. On a
alors : z× |z′|2=λz′. Si z′= 0, alors on a bien sûr z= 0 ×z′. Sinon, on peut diviser par |z′|2pour
obtenir : z=λ
|z′|2
|{z}
>0
z′.
Réciproquement, si z=λz′, on a :
|z+z′|=|1 + λ||z|=1 + λ|z|=|z|+|z′|
En fait la démonstration montre que si z′6= 0, on est assuré d’avoir : ∃λ∈R+, z =λz′.
II Représentation géométrique
II.1 Le plan complexe
Puisqu’un nombre complexe est représenté par deux réels, on peut représenter un vecteur de R2
par un nombre complexe. Considérons le plan P, que l’on suppose muni d’un repère orthonormé
O, −→
i , −→ j.
Définition 3. Soit un point Mde P, il existe alors un unique couple (a, b), tel que : −−→ OM =a−→ i+b−→ j.
On appelle affixe de ce point, le nombre complexe z=a+ib.
Si (u, v)est un vecteur de R2, on appelle de même affixe de ce vecteur le nombre complexe z=
u+iv.
On dispose donc d’une application fde Pdans Cbijective, ce qui permet d’identifier Pet C, on
parle alors de plan complexe.
Cette représentation a plusieurs avantages :
– la somme de deux vecteurs correspond à l’addition des affixes correspondants (puique c’est
l’addition des parties réelles et des parties imaginaires),
– la longueur du vecteur correspond au module de son affixe,
– l’inégalité triangulaire s’interprète naturellement : Si on considère les nombre complexes zet z′,
et les vecteurs uet vcorrespondant, on a alors : |z+z′|est la distance
– Si Aet Bsont deux points d’affixe zaet zb, alors l’affixe du vecteur −−→ AB est zb−za, la longueur
AB est |zb−za|.
– en particulier |za|est la distance de Aà l’origine.
II.2 Cercle trigonométrique
Définition 4. On appelle cercle trigonométrique, le cercle Cde rayon 1 et de centre 0 dans le
plan complexe. Ce cercle correspond donc à l’ensemble
U=nz∈C|z|= 1o.