Rotations

Chapitre 9 OSPH
Rotation d’un corps rigide
42
9. La rotation du corps solide
9.1. La cinématique de rotation
La figure représente un corps rigide tournant autour d’un
axe fixe O. Pendant un intervalle de temps donné, l’objet
tourne d’un angle Δθ . Toutes les particules se trouvant
B
sur la droite OA se déplacent vers leurs positions
r
correspondantes sur OB. Cette droite décrit un
s
Δθ
déplacement angulaire Δθ = θ1 − θ 0 où θ 0 et θ 1 sont les
O
A
positions angulaires successives. La mesure de l’angle se
fait en radians.
Le déplacement angulaire Δθ d’une particule est relié à la
longueur d’arc parcourue s :
s
Δθ =
r
avec r la distance de la particule à l’axe de rotation.
La vitesse du corps en rotation est caractérisée, pour l’ensemble du corps, par une vitesse de
rotation angulaire :
Vitesse moyenne :
ω moy =
Vitesse instantanée :
ω = θ
Δθ
Δt
Ces vitesses se mesure en radians par seconde.
Le sens de la rotation peut-être précisé à l’aide d’une convention de
signe (positif si la rotation va dans le sens de la convention, négatif
dans le cas contraire).
ω
z
G
La vitesse angulaire peut aussi être définie à l’aide d’un vecteur ω .
Son sens est alors donné par la règle du tire-bouchon.
La période T est la durée d’une révolution et la fréquence ν est le
nombre de révolutions par seconde (tr/s). Pendant une révolution, le
corps tourne de 2π .
ν=
y
x
2π
1
et ω =
= 2πν
T
T
A une fréquence de 1 tr/s correspond une vitesse angulaire de 2π rad/s.
On peut établir une relation entre le module de la vitesse linéaire d’une particule le long de
l’arc de cercle et la vitesse angulaire :
vt = ωr
Chapitre 9 OSPH
Rotation d’un corps rigide
43
Lorsque la vitesse angulaire varie, l’accélération angulaire moyenne est définie par :
α moy =
Δω
Δt
Et l’accélération angulaire instantanée par :
α = ω
9.2. Cinématique de rotation à accélération constante
Les équations de la cinématique de rotation à accélération constante sont :
1
θ = θ0 + ω 0 ⋅ t + α ⋅ t 2
2
ω = ω0 + α ⋅ t
ω 2 = ω 02 + 2α ⋅ (θ − θ 0 )
Ces équations sont similaires aux équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré.
9.3. Accélération centripète et accélération angulaire
D’après la théorie du mouvement circulaire, l’accélération radiale est :
ar =
v2
= ω 2r
r
Et l’accélération (linéaire) tangentielle est at = v , c’est la dérivée de
la grandeur de la vitesse. En dérivant à son tour l’équation vt = ωr ,
on obtient :
ar
O
at
at = αr
L’accélération linéaire est la somme de ces deux composantes :
G G G
a = a r + at
Comme ces deux contributions sont perpendiculaires (voir figure), le module de l’accélération
linéaire est :
a = a r2 + a t2
Chapitre 9 OSPH
Rotation d’un corps rigide
9.4. Roulement
On étudie ici le cas d’une roue de vélo.
Lorsque la roue effectue un tour, elle
couvre une distance égale à sa
circonférence pendant un temps égal à
sa période T. Le module de la vitesse du
centre de la roue est donc :
2πr
vc =
= ωr
T
Cette vitesse est donc égale à la vitesse
tangentielle de la valve. Le roulement est une
combinaison d’une translation du centre et d’une
rotation autour du centre de la roue. La vitesse
d’un point quelconque de la roue est la somme
G G G
vectorielle v = vc + vt .
44
v
c
2π r
B
θ
v
c
v
B
r
v
f
Au point le plus haut de la roue, ces deux vecteurs
sont de même sens si bien que v = 2πr
2π r
ωr
9.5. Energie cinétique de rotation
Un corps rigide quelconque tourne autour d’un axe de
rotation dont la position et l’orientation restent fixes. Le
corps est constitué de particules ponctuelles de masse mi
situées à une distance ri de l’axe de rotation.
L’énergie cinétique d’une de ces particules est :
1
Eci = mi vi2
2
avec la vitesse angulaire
r
1
Eci = mi ri 2ω 2
2
L’énergie cinétique totale de rotation est :
1
E c = ∑ Eci = ∑ mi ri 2ω 2
2
qui peut s’écrire sous la forme :
1
E c = Iω 2
I = ∑ mi ri 2
2
avec
La grandeur I est appelée le moment d’inertie du corps par rapport à l’axe donné.
i
m
i
Chapitre 9 OSPH
Rotation d’un corps rigide
45
Le moment d’inertie d’un corps est la mesure de son inertie de rotation, c’est à dire sa
résistance à toute variation de sa vitesse angulaire.
Lorsqu’un corps tourne sur lui-même avec une vitesse angulaire ω autour d’un axe situé à une
distance h de son centre de masse, l’énergie cinétique est composée de deux termes.
E c = E cCM + E crel
ou bien
2
E c = 12 MvCM
+ 12 I CM ω 2
9.6. Conservation de l’énergie mécanique
A partir du même point d’un plan incliné, de hauteur h on lâche une sphère pleine et un
disque. Sachant qu’ils roulent sans glisser, lequel des deux a la plus grande vitesse au bas du
plan incliné?
9.7. Le moment de force
Si on applique la deuxième loi de Newton à la rotation d’un corps, on fait intervenir le
moment de force. Ce moment de force est une mesure de la capacité qu’a une force
d’imprimer une rotation à un corps autour d’un axe ou d’un pivot.
Si un système est à l’équilibre, les équations suivantes sont vérifiées :
G G
G G G G
r1 × F1 = r2 × F2 et ∑ Fi = 0
G G G
M = r × F est le moment de force par rapport au pivot P. On utilisera plus fréquemment la
G
projection du moment de force sur un axe perpendiculaire au plan formé par les vecteurs r et
G
F
G
F
P
Chapitre 9 OSPH
Rotation d’un corps rigide
46
Bras de levier
Force non perpendiculaire au levier
M = r⊥ F = rF⊥
r⊥ = r sin θ
car
F⊥ = F sin θ
Donc :
M = rF sin θ
Exemple
G G
G
Les trois forces F1 , F2 et F3 agissent sur une
G
tige d'épaisseur négligeable aux positions r1 ,
G
G
r2 et r3 à partir du pivot P situé à l'une des
extrémités (figure). Déterminer le moment de
force attribuable à chaque force par rapport
au pivot.
Solution :
La convention utilisée pour le signe des moments de force est indiquée sur la figure. On
détermine le signe de chaque moment de force en tenant compte du sens dans lequel la tige
tournerait si la force donnée était la seule force exercée. On peut appliquer l'expression
M = rF sin θ directement. Soulignons toutefois que les angles donnés ne correspondent pas
G
G
forcément à l'angle θ entre r et F
M 1 = −r1 F1 sin(90° + θ ) = − r1 F1 cos θ
M 2 = + r2 F2 sin(180° − α ) = + r2 F2 sin α
M 3 = + r3 F3 sin(90° − φ ) = + r3 F3 cos φ
9.8. Etude dynamique de la rotation
Un corps rigide tourne autour d’un axe.
Chaque particule le constituant subit une
G G
G
force F = Fir + Fit que l’on peut projeter sur
des axes tangentiel et radial. L’accélération
tangentielle de la particule i est donnée par
ait = α ri . Le deuxième loi de Newton, sur
l’axe tangentiel est donc :
Fit = mi ait = mi riα
Le moment de force exercé sur la particule,
par rapport à l’axe est :
M i = ri Fit = mi ri 2α
Chapitre 9 OSPH
Rotation d’un corps rigide
47
En additionnant les moments de forces de toutes les particules, on obtient le moment de force
extérieur exercé sur le corps rigide :
M = ∑ Mi
i
Et donc : M = Iα
Cette dernière équation est l’équivalent de la seconde loi de Newton pour les rotations.
Exemples
Une roue de masse M = 2 g et de rayon R =
40 cm tourne librement à 600 tr/min dans le
sens horaire. Son moment d'inertie est
2
1
2 MR . Un frein exerce sur le bord de la roue
une force F = 10 , radiale et dirigée vers
l'intérieur (figure). Si le coefficient de
frottement est μc = 0,5 , combien de tours va
effectuer la roue avant de s' arrêter ?
On ralentit une roue en appliquant une force
F. Avec le sens positif choisi, le moment de
force de frottement est négatif.
Solution :
Nous choisissons le sens initial de la vitesse angulaire comme étant positif. La grandeur de la
force de frottement f = μc F et son moment de force (anti-horaire) est M = − fR . D'après
M = Iα , on a
− ( μc F ) R = ( 12 MR 2 ) α
2 μc F
rad
= −12,5 2
s
MR
Pour trouver le nombre de tours, nous avons besoin de connaître le déplacement angulaire,
que l'on peut déterminer à partir de l'équation cinématique :
α =−
ω 2 = ω02 + 2α ⋅ Δθ
Le produit (600 tr/min)(27π rad/tr)(l min/ 60 s) donne la vitesse angulaire initiale
rad
ω0 = 20π
, et l'on obtient
s
2
0 = ( 20π ) + 2 ( −12,5 ) ⋅ Δθ
En effectuant les calculs, on trouve que le nombre de tours est de 8π.
Chapitre 9 OSPH
Rotation d’un corps rigide
48
Une poulie en forme de disque ( I = 12 MR 2 ) a une
masse M = 4 kg et un rayon R = 0,5 m. Elle tourne
librement sur un axe horizontal. Un bloc de masse
m = 2 kg est suspendu par une ficelle qui passe
sur la poulie sans glisser.
a) Quelle est la vitesse angulaire de la poulie 3 s
après que l' on ait lâché le bloc ?
b) Déterminer le module de la vitesse du bloc
lorsqu'il est tombé de l,6 m.
On suppose que le système est initialement au
repos.
L'accélération du bloc est déterminée par F = ma.
L'accélération angulaire de la poulie est déterminée par M = Iα .
Solution:
On peut résoudre ce problème, par la dynamique ou par la conservation de l'énergie. Nous
analyserons la résolution par la dynamique. Les axes et la convention de signe pour le
moment de force et la vitesse angulaire sont indiqués sur la figure. Comme la ficelle est
tangentielle à la poulie, le moment de force sur la ficelle attribuable à la tension est M = TR .
Les deux formes de la deuxième loi de Newton pour le bloc et la poulie donnent
(bloc)
mg − T = ma
TR =
(poulie)
(
1
2
)
MR 2 α
avec I = 12 MR pour un disque. Puisque le bloc et les points de la circonférence de la poulie
ont la même vitesse (la ficelle ne glisse pas), on a v = ω R . En remplaçant par ces valeurs dans
la seconde équation, on obtient
T = 12 Ma
En additionnant la première et la dernière équation,
mg
m
a=
= 4, 01 2
M
s
m+
2
a) Pour déterminer ω, au bout de 3 s, on utilise une équation de cinématique :
rad
⎛a⎞
ω = ω0 + α t = 0 + ⎜ ⎟ t = 29, 4
s
⎝R⎠
b) Pour déterminer la grandeur de la vitesse du bloc, on utilise
m
v 2 = v02 + 2aΔy → v = 3,96
s
Exercice. Reprenez la question (b) en utilisant le principe de conservation de l'énergie.
2
Chapitre 9 OSPH
1.
2.
3.
4.
Rotation d’un corps rigide
49
9.9. Exercices :
Calculer le module de la vitesse linéaire de a) la ville de Quito, située sur l’équateur, b) la
ville de Berne située à environ 47° Nord.
Une balle de fusil traverse à 850 m/s le canon d’une carabine de 60 cm de longueur. Une
protubérance à l’intérieur oblige la balle à tourner. Ce rayage correspond à un tour en
25 cm. Calculer, en tours par minutes, la vitesse de rotation de la balle à la sortie du
canon.
Une voiture dont les pneus ont un rayon de 25 cm accélère à partir du repos jusqu’à
30 m/s en 10 s. Lorsque la vitesse du véhicule est de 2 m/s, calculer l’accélération linéaire
du sommet de la roue par rapport a) au centre de la roue, b) à la route.
Quatre particules de masse égale M son reliées par des tiges de masse négligeable.
Calculer le moment d’inertie, par rapport aux axes suivants (deux réponses) :
5. Deux particules de masses 2 kg et 5 kg sont reliées par une tige légère de longueur 2 m.
Calculer le moment d’inertie par rapport à un axe perpendiculaire à la tige, a) passant par
le centre de la tige b) passant le centre de masse.
6. Calculer le moment d’inertie de la tige homogène de masse M et de longueur L par rapport
à l’axe vertical :
7. Une tige homogène de longueur L et de masse M pivote librement autour d’un axe
horizontal passant par une extrémité. Elle tombe à partir de la position verticale. Calculer
le module de la vitesse linéaire de l’extrémité lorsque la tige est horizontale (l’énergie
potentielle de la tige est égale à celle de son centre de masse).
8. Calculer l’énergie cinétique de la Terre associée à sa rotation quotidienne ( I = 0,33MR 2 )
9. Une bobine de fil se trouve sur une surface rugueuse (figure). Le trou central a un rayon r
et la circonférence extérieure, un rayon R. Étudiez le mouvement de la bobine pour les
diverses directions dans lesquelles on tire le fil.
a) Pour quel angle la bobine glisse-t-elle sans rouler ?
b) Quelle est la condition pour que le fil s'enroule sur la bobine ?
Chapitre 9 OSPH
Rotation d’un corps rigide
50
10. Pour chacune des forces représentées à la figure précédente, déterminer le moment de
force par rapport au pivot. F1 = 10 N , F2 = 15 N , F3 = 8 N et L = 8 m .
11. Un moment de force de 40 N ⋅ m agit sur une roue de moment d'inertie I = 10 kg ⋅ m 2
pendant 5 s puis est supprimé.
a) Quelle est l'accélération angulaire de la roue durant ces 5 premières secondes ?
b) Combien de tours effectue la roue en 10 s si elle part du repos ?
12. Une roue d'inertie qui tourne initialement à 1200 tr/min s'arrête en 4 min sous la seule
action du frottement. Si l'on applique un moment de force supplémentaire de 300 N·m,
elle s'arrête en 1 min.
a) Quel est le moment d'inertie de la roue ?
b) Quel est le moment de force de frottement ?
13. Une roue part du repos et tourne de 150 rad en 5 s. Le moment de force net attribuable au
moteur et au frottement est constant et égal à 48 N·m. Lorsqu'on coupe le moteur, la roue
s'arrête en 12 s. Trouver le moment de force dû (a) au frottement; (b) au moteur.
14. Un bloc de masse m = 2 kg peut glisser vers le bas d'un plan incliné de 53°, sans
frottement, mais il est relié à une poulie de masse M = 4 kg et de rayon R = 0,5 m (figure).
On peut assimiler la poulie à un disque. Déterminer :
a) l'accélération angulaire de la poulie;
b) la grandeur de la vitesse du bloc lorsqu'il a glissé de 1 m à partir du repos.
15. Une bobine (cylindre plein) de masse M et de rayon R se déroule sur une ficelle verticale
(figure).
a) Utiliser l'approche faisant intervenir l'énergie pour démontrer que la vitesse de la
4 gh
bobine a une grandeur égale à
après qu'elle soit tombée d'une distance h à partir du
3
repos.
b) Utiliser le résultat de la question (a) pour trouver l'accélération linéaire du CM.
c) Utiliser la dynamique pour trouver l'accélération linéaire de la bobine.
Chapitre 9 OSPH
Rotation d’un corps rigide
51
d) Quelle est la tension ?
e) Avec quelle force doit-on tirer sur la ficelle pour que la bobine tourne sur elle-même
sans tomber ? Quelle est son accélération angulaire dans ce cas ?
16. Un rouleau à gazon est un cylindre plein de masse M et de rayon R. Comme le montre la
figure, il subit en son centre une force de traction horizontale F et roule sans glisser sur
une surface horizontale. Déterminer la grandeur de :
a) l’accélération du cylindre,
la force de frottement agissant sur le cylindre.
Chapitre 9 OSPH
9.10.
Rotation d’un corps rigide
52
Pour une particule
G G G
L = r Λp
G
G dL
M=
Théorème du moment cinétique:
dt
Théorème du moment cinétique: La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'une
G
particule est égale à la somme des moments des forces ( ∑ M i ) qui agissent sur la particule.
Le moment cinétique:
Mouvement central:
donc:
G
dL
=0
dt
G
L est une constante
Cinématique du mouvement circulaire:
G
Mouvement circulaire de vitesse angulaire ω :
9.11.
G
G
L = mR 2ω
Solides en rotation
Moment d'Inertie:
Moment cinétique (autour d'un axe principal):
Théorème du moment cinétique:
car:
Gyroscope:
G G
Précession: le C.M. tourne → M ≠ 0
I = ∑ mi ⋅ d i2
G i G
L = I ⋅ω
M = I ⋅α
d( I ⋅ ω )
dω
M=
=I⋅
= Iα
dt
dt
G
G dL
M=
dt