23 Nombres complexes et géométrie

C R
2,(1, i)
P
R= (O, −→ e1,−→ e2),−→ P P.
M∈ P (x, y)∈R2,
−−→
OM =x−→ e1+y−→ e2−→ P.
−→
v1·−→ v2=x1x2+y1y2−→ v1−→ v2−→ P
det (−→ v1,−→ v2) = x1y2−x2y1(−→ v1,−→ v2) (−→ e1,−→ e2)
\
(−→ v1,−→ v2)−→ v1−→ v2
AB =
−→
AB
=(xB−xA)2+ (yB−yA)2A B P.
\
(−→ v1,−→ v2)
cos sin −→ P,
u u 1
∥−→ v1∥−→
v1=1
∥−→ v2∥−→
v2
(−→ e1,−→ e2)ua−b
b a a, b a2+b2= 1
θ a = cos (θ)b= sin (θ)θ
\
(−→ v1,−→ v2).2π.
λ, \ (λ−→ v1, λ−→ v2) = \ (−→ v1,−→ v2).\ (−−→ v1,−−→ v2) = \ (−→ v1,−→ v2).
Rθ=cos (θ)−sin (θ)
sin (θ) cos (θ)θ, RθRθ′=Rθ+θ′
θ θ′,
\
(−→ v1,−→ v2) + \ (−→ v2,−→ v3)≡\ (−→ v1,−→ v3) (2π)
A, B, C −→ AB, −→ AC≡0
π. −→ AB, −→ AC≡0 2π−→ AC =λ−→ AB λ > 0
−→
AB, −→ AC≡π2π−→ AC =λ−→ AB λ < 0

−−→
AB,
−→
AC≡0 (2π)
C
A B C
A B
−−→
AB,
−→
AC≡π(2π)
A, B, C.
T=ABC
T=ABC
det −→ AB, −→ AC= det −→ CA, −−→ CB= det −−→ BC, −→ BA
det −→ AB, −→ AC= det −→ AC +−−→ CB, −→ AC= det −−→ CB, −→ AC= det −→ CA, −−→ CB
det −→ AB, −→ AC= det −→ AB, −→ AB +−−→ BC= det −→ AB, −−→ BC= det −−→ BC, −→ BA.
T
R,det −→ AB, −→ AC>0 det −→ AB, −→ AC<
0
T=ABC
−→
AB, −→ AC+−→ CA, −−→ CB+−−→ BC, −→ BA≡π(2π)
−→
AB, −→ AC+−→ CA, −−→ CB+−−→ BC, −→ BA=−→ AB, −→ AC+−→ AC, −−→ BC+−−→ BC, −→ BA
=−→ AB, −−→ BC+−−→ BC, −→ BA
=−→ AB, −→ BA≡π(2π)

A
B
C
T=ABC
m(T) = 1
2
−→
AB ∧−→ AC
=1
2
xB−xA
yB−yA
0
∧
xC−xA
yC−yA
0
=1
2det xB−xAxC−xA
yB−yAyC−yA=1
2det −→
AB, −→ AC.
det xB−xAxC−xA
yB−yAyC−yA= det 
1 0 0
xAxB−xAxC−xA
yAyB−yAyC−yA
= det 
1 1 1
xAxBxC
yAyByC
m(T) = 
1
2det 
1 1 1
xAxBxC
yAyByC
=
1
2det 
xAyA1
xByB1
xCyC1
φ z =x+iy φ (z)
(x, y)RCP.
P
R

MPM=φ(z)
z. P
M∈ P M=φ(z), z M M z.
−−→
OM z z −−→ OM.
PC,
a, b, z, z′A, B, M, M′
P.
Ox=R−→ e1
Oy=R−→ e2
a+b−→ OC =−→ OA +−−→ OB b −a−→ AB =−−→ OB −−→ OA
O
A
B
C
ℜzz′=ℜ(zz′) = xx′+yy′−−→ OM ·−−→ OM′.
ℑ(zz′) = xx′−yy′−−→ OM, −−→ OM′.
zz′=ℜzz′+iℑ(zz′) = −−→ OM ·−−→ OM′+idet −−→ OM, −−→ OM′.
A, B, C
λ−→ AB =λ−→ AC, b−a
c−a
A, B, C
det −→ AC, −→ AB=ℑ((b−a) (c−a)) = 0
(b−a) (c−a)
A, B, C, D (AB) (CD)
−→
AB ·−−→ CD =ℜ(b−a)d−c= 0
(b−a)d−cb−a
d−c

PC
A, B, M, M′,Ω,··· P, a, b, z, z′, ω, ···
M, M′,··· z, z′,···
(23.2) T=ABC
m(T) = ±1
4idet 
aa1
b b 1
c c 1
x=1
2(z+z)y=1 2i(z−z)M(x, y)
z,
det 
xAyA1
xByB1
xCyC1
= det 
1
2(a+a)1 2i(a−a) 1
1
2b+b1 2ib−b1
1
2(c+c)1 2i(c−c) 1 
=1
4idet 
a+a a −a1
b+b b −b1
c+c c −c1
=1
4idet 
2a a −a1
2b b −b1
2c c −c1
=1
2idet 
a a −a1
b b −b1
c c −c1
=−1
2idet 
aa1
b b 1
c c 1
det 
aa1
b b 1
c c 1
= det 
a a 1
b−a b −a0
c−a c −a0
= det b−a b −a
c−a c −a= (b−a) (c−a)−b−a(c−a)
= 2iℑ((b−a) (c−a))
m(T) = ±1
2ℑ((b−a) (c−a))
M(AB)ABM
(AB)
(M∈(AB)) ⇔det 
a a 1
b b 1
z z 1
= 0
(M∈(AB)) ⇔ℑb−a(z−a)= 0