23 Nombres complexes et géométrie

23
Nombres complexes et géométrie
Le corps C des nombres complexes est supposé construit. On rappelle que c'est un R-espace
vectoriel de dimension 2, de base canonique (1, i) et que c'est un corps commutatif.
23.1 Le plan ane euclidien
On suppose connu le plan ane euclidien que l'on note P et que l'on munit d'un repère
−
→
→
→
orthonormé R = (O, −
e1 , −
e2 ) , en désignant par P le plan vectoriel associé à P.
Nous rappelons rapidement quelques notions utiles pour la suite.
Un point M ∈ P est repéré par ses coordonnées (x, y) ∈ R2 , ce qui signie qu'on a l'égalité
−−→
−
→
→
→
OM = x−
e1 + y −
e2 dans P .
On notera :
−
→
→
→
→
→
−
v1 · −
v2 = x1 x2 + y1 y2 : le produit scalaire des vecteurs −
v1 et −
v2 de P ;
→
→
−
→
→
→
det (−
v1 , −
v2 ) = x1 y2 − x2 y1 : le déterminant de (→
v1 , −
v2 ) dans la base (−
e1 , −
e2 ) ;
−
→
−
→
−
→
−
→
\
( v1 , v2 ) : l'angle
orienté des vecteurs non nuls v1 et v2 ;
√
−→
AB = AB =
(xB − xA )2 + (yB − yA )2 : la distance de A à B dans P.
→
→
\
On rappelle qu'une mesure de l'angle orienté (−
v1 , −
v2 ) est dénie comme suit, en supposant
−
→
construites les fonctions trigonométriques cos et sin : dans le plan(vectoriel)euclidien orienté P ,
1 −
1 −
→
→
il existe un unique automorphisme orthogonal direct u tel que u −
v1 = −
v2 ; dans la
→
→
∥
v
∥
∥
v
∥
1
2
(
)
a −b
−
−
base (→
e1 , →
e2 ) la matrice de u est
où les réels a, b sont tels que a2 + b2 = 1 ; il existe
b a
donc un réel θ tel que a = cos (θ) et b = sin (θ) et on dit alors que θ est une mesure de l'angle
−
−
\
orienté (→
v1 , →
v2 ). Une telle mesure est uniquement déterminée modulo 2π.
−
→
→
−
→
−
→
→
−
→
−
→
−
→
\−
\
\−
\
Pour tout réel non
( nul λ, on a (λ v1 , λ)v2 ) = ( v1 , v2 ). En particulier, (− v1 , − v2 ) = ( v1 , v2 ).
cos (θ) − sin (θ)
En notant Rθ =
pour tout réel θ, on a l'identité Rθ Rθ′ = Rθ+θ′ pour
sin (θ) cos (θ)
tous réels θ et θ′ , ce qui se traduit par la relation de Chasles sur les mesure d'angles :
−
−
→
→
→
→
\
\
\
(→
v1 , →
v2 ) + (−
v2 , −
v3 ) ≡ (−
v1 , −
v3 ) (2π)
(−→ −→)
Les points deux à deux distincts A, B, C sont alignés si, et seulement si, AB, AC
(−→ −→)
−→
−→
modulo π. Précisément, on aura AB, AC ≡ 0 modulo 2π si AC = λAB avec λ > 0 et
(−→ −→)
−→
−→
AB, AC ≡ π modulo 2π si AC = λAB avec λ < 0 (gure 23.1).
571
≡ 0
Nombres complexes et géométrie
572
A
B
C
b
b
b
−−
→ −→
AB, AC ≡ 0 (2π)
C
A
B
b
b
b
−
−
→ −→
AB, AC ≡ π (2π)
Figure
23.1 Dénition 23.1 On appelle vrai triangle la donnée de trois points non alignés A, B, C.
On notera T = ABC un tel triangle.
Lemme 23.1 Si T
= ABC est un vrai triangle, on a alors :
(−→ −→)
(−→ −−→)
(−−→ −→)
det AB, AC = det CA, CB = det BC, BA
(23.1)
Démonstration. En eet, avec la relation de Chasles pour les vecteurs et les propriétés du
déterminant, on a :
(−→ −→)
(−→ −−→ −→)
(−−→ −→)
(−→ −−→)
det AB, AC = det AC + CB, AC = det CB, AC = det CA, CB
et :
(−→ −→)
(−→ −→ −−→)
(−→ −−→)
(−−→ −→)
det AB, AC = det AB, AB + BC = det AB, BC = det BC, BA .
Dénition 23.2 On dit que le triangle T est orienté positivement
ou qu'il
(
)[resp. négativement]
(
)
−→ −→
−→ −→
est direct [resp. indirect] relativement au repère R, si det AB, AC > 0 [resp. det AB, AC <
0].
Lemme 23.2 Si T
= ABC est un vrai triangle, on a alors :
(−→ −→) (−→ −−→) (−−→ −→)
AB, AC + CA, CB + BC, BA ≡ π (2π)
(gure 23.2).
Démonstration. En utilisant la relation de Chasles pour les angles orientés, on a :
(−→ −→) (−→ −−→) (−−→ −→) (−→ −→) (−→ −−→) (−−→ −→)
AB, AC + CA, CB + BC, BA = AB, AC + AC, BC + BC, BA
(−→ −−→) (−−→ −→)
= AB, BC + BC, BA
(−→ −→)
= AB, BA ≡ π (2π)
Le plan d'Argand-Cauchy
573
B
C
A
Figure
23.2 On rappelle que l'aire d'un triangle T = ABC est :


 
xB − xA
x
−
x
C
A
1 −→ −→ 1  yB − yA  ∧  yC − yA 
m (T ) = AB ∧ AC = 2
2
0
0
(
)
(−→ −→)
1 xB − xA xC − xA 1 = det
= det AB, AC .
y
−
y
y
−
y
2
2
B
A
C
A
En écrivant que :
(
det
on déduit que :
xB − xA xC − xA
yB − yA yC − yA
)

1
0
0
= det  xA xB − xA xC − xA 
yA yB − yA yC − yA


1 1
1
= det  xA xB xC 
yA yB yC


 

1
1
1
x
y
1
A
A
1
1
m (T ) = det  xA xB xC  = det  xB yB 1 
2
2
yA yB yC xC yC 1 (23.2)
23.2 Le plan d'Argand-Cauchy
Théorème 23.1 L'application φ qui associe à tout nombre complexe z = x + iy le point φ (z)
de coordonnées (x, y) dans le repère R réalise une bijection de C sur P.
Démonstration. Résulte du fait que tout nombre complexe [resp. tout point de P ] est
uniquement déterminé par sa partie réelle et sa partie imaginaire [resp. par ses coordonnées
dans le repère R].
Nombres complexes et géométrie
574
Tout point M du plan P s'écrit donc de manière unique M = φ (z) et peut ainsi être identié
au nombre complexe z. Le plan P muni de cette identication est appelé plan complexe ou plan
d'Argand-Cauchy.
Si M ∈ P s'écrit M = φ (z) , on dit que z est l'axe de M et M le point image de z. Le
−−→
−−→
vecteur OM est aussi appelé vecteur image de z et on dit que z est l'axe de OM .
En utilisant cette identication entre P et C, on peut donner les interprétations géométriques
suivantes où a, b, z, z ′ désignent des nombres complexes et A, B, M, M ′ leurs images respectives
dans P.
→
1. L'axe Ox = R−
e1 est identié à l'ensemble des nombres réels.
−
→
2. L'axe Oy = R e2 est identié à l'ensemble des imaginaires purs.
−→
−→
−−→
−→
−−→
−→
3. a + b est l'axe du vecteur OC = OA + OB et b − a l'axe du vecteur AB = OB − OA
(gure 3).
C
A
B
O
(
)
−−→ −−→
4. ℜ zz ′ = ℜ (zz ′ ) = xx′ + yy ′ est égal au produit scalaire OM · OM ′ .
(−−→ −−→)
5. ℑ (zz ) = xx − yy est égal au déterminant de OM , OM ′ .
(−−→ −−→)
( )
−−→ −−→
6. zz ′ = ℜ zz ′ + iℑ (zz ′ ) = OM · OM ′ + i det OM , OM ′ .
′
′
′
7. Si A, B, C sont deux à deux distincts, alors ces points sont alignés si, et seulement si, il
−→
−→
b−a
existe un réel λ tel que AB = λAC, ce qui équivaut à dire que
est réel.
c−a
On peut aussi dire que A, B, C sont alignés si, et seulement si :
(−→ −→)
det AC, AB = ℑ ((b − a) (c − a)) = 0
ce qui équivaut à dire que (b − a) (c − a) est réel.
8. Si les points A, B, C, D sont deux à deux distincts, alors les droites (AB) et (CD) sont
orthogonales si, et seulement si :
(
(
))
−→ −−→
AB · CD = ℜ (b − a) d − c = 0
(
)
b−a
ce qui équivaut à dire que (b − a) d − c est imaginaire pur, ou encore que
est imad−c
ginaire pur comme nous le verrons avec les propriétés du module au paragraphe suivant.
Le plan d'Argand-Cauchy
575
Dans ce qui suit, on identie le plan d'Argand-Cauchy P à C et on l'appelle plan complexe.
Si A, B, M, M ′ , Ω, · · · sont des points de P, nous noterons a, b, z, z ′ , ω, · · · (noter que les
axes de points variables M, M ′ , · · · sont notées z, z ′ , · · · ).
La formule (23.2) donnant l'aire d'un triangle T = ABC s'écrit en utilisant les axes :


a a 1
1
m (T ) = ± det  b b 1 
4i
c c 1
1
1
En eet, en tenant compte de x = (z + z) et y =
(z − z) pour tout point M (x, y)
2
2i
d'axe z, on a :


xA yA 1
det  xB yB 1  = det 
xC yC 1
Avec :


− a)) 1
−b 1 
− c) 1


a+a a−a 1
1
= det  b + b b − b 1 
4i
c+c c−c 1




2a a − a 1
a a−a 1
1
1
= det  2b b − b 1  = det  b b − b 1 
4i
2i
2c c − c 1
c c−c 1


a a 1
1

= − det
b b 1 
2i
c c 1


a
1
b−a 0 
c−a 0
)
(
)
b−a
= (b − a) (c − a) − b − a (c − a)
c−a
1
(a
2 (
1
b
2
1
(c
2


a a 1
a



det
= det b − a
b b 1
c c 1
c−a
(
b−a
= det
c−a
+ a))
+b
+ c)
1
(a
2i (
1
b
2i
1
(c
2i
= 2iℑ ((b − a) (c − a))
on obtient :
1
(23.3)
m (T ) = ± ℑ ((b − a) (c − a))
2
En traduisant le fait que M est sur la droite (AB) si, et seulement si, l'aire du triangle ABM
est nulle, on obtient l'équation suivante de la droite (AB) :


a a 1
(M ∈ (AB)) ⇔ det  b b 1  = 0
z z 1
et on retrouve l'équation :
( ((
)
)
)
(M ∈ (AB)) ⇔ ℑ b − a (z − a) = 0
Nombres complexes et géométrie
576
Si T = ABC est un vrai triangle, la médiane issue de A est la droite qui joint les points A et
le milieu IA du segment [BC] . L'axe de ce milieu étant
MA est :


det 
soit :

det 
a
a
b+c
2
b+c
2
z
z
ou encore :
(
det
1
1 =0
1
a
a
b+c−2a
2
b+c−2a
2
z−a
b+c
, une équation de cette médiane
2
z−a

1
0 =0
0
b + c − 2a b + c − 2a
z−a
z−a
)
=0
a+b+c
1
Et on constate que z =
est solution de cette équation (z − a = (b + c − 2a)).
3
3
Dénissant de manière analogue les médianes en B et C, on constate encore que le point M
a+b+c
d'axe
est sur ces médianes.
3
On a donc montré le théorème suivant.
Théorème 23.2 Les trois médianes d'un vrai triangle
a+b+c
.
3
T = ABC concourent en G d'axe
On dit que le point G est le centre de gravité du triangle.
23.3 Module d'un nombre complexe
Pour tout nombre complexe z, on a :
zz = (ℜ (z))2 + (ℑ (z))2 ∈ R+ .
On peut donc donner la dénition suivante.
Dénition 23.3 Le module du nombre complexe z = x + iy est le réel :
|z| =
√
zz =
√
x2 + y 2
Dans le cas où z est réel, |z| est la valeur absolue de z, d'où la notation.
Du point de vue géométrique, on a les résultats suivants.
Théorème 23.3
a, b, z, z ′ , ω désignent des nombres complexes et A, B, M, M ′ , Ω leurs images
respectives dans P.
1. |z| = OM est la distance de O à M ;
2. |b − a| = AB est la distance de A à B ;
3. l'ensemble des nombres complexes z tels que |z − ω| = ρ est identié au cercle de centre
Ω et de rayon ρ ≥ 0 ;
4. l'ensemble des nombres complexes z tels que |z − ω| < ρ [resp. |z − ω| ≤ ρ] est identié
au disque ouvert [resp. fermé] de centre Ω et de rayon ρ ≥ 0 ;
Module d'un nombre complexe
577
5. pour A ̸= B, le point M est sur la médiatrice du segment [AB] si, et seulement si,
|z − a| = |z − b| .
Démonstration. Il sut de vérier.
On vérie facilement les propriétés suivantes du module.
Théorème 23.4 Pour tous nombres complexes z et z ′ , on a :
1.
2.
3.
4.
|z| ≥ 0 et |z| = 0 si, et seulement si, z = 0 ;
|z| = |z| ;
|zz ′ | = |z| |z ′ | ;
pour toute suite nie z1 , · · · , zn de nombres complexes, on a :
n
n
∏
∏
|zk |
zk =
k=1
k=1
1
z
x − iy
= 2 = 2
;
z
x + y2
|z|
z
|z|
′
6. si z ̸= 0, alors ′ = ′ ;
z
|z |
1
7. |z| = 1 si, et seulement si, = z ;
z
8. |ℜ (z)| ≤ |z| et l'égalité est réalisée si, et seulement si, z est réel ;
5. si z ̸= 0, alors
9. |ℑ (z)| ≤ |z| et l'égalité est réalisée si, et seulement si, z est imaginaire pur.
Démonstration. Il sut de vérier.
Du point 4. on déduit que pour tout nombre complexe
z et tout entier naturel n, on a
|z | = |z| . Cette égalité étant encore valable pour n entier relatif et z non nul.
n
n
Du point 5. on déduit l'équivalence :
(
)
u
1
= 2 uv imaginaire pur ⇔ (uv imaginaire pur)
v
|v|
Il en résulte que si A, B, C sont des points deux à deux distincts, alors ces points sont alignés
si, et seulement si, (b − a) (c − a) est réel. En eet, on a :
(
(A, B, C alignés) ⇔
b−a
∈R
c−a
)
⇔ ((b − a) (c − a) ∈ R) .
On en déduit aussi que si les points A, B, C, D sont deux à deux distincts, alors les droites
(AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si
b−a
est imaginaire pur.
d−c
Du point 8. on déduira l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec son cas d'égalité.
Du point 9. et de la formule (23.3) donnant l'aire d'un triangle, on déduit le résultat suivant.
Théorème 23.5 Si T
= ABC est un vrai triangle, on a alors :
|m (T )| ≤
1
|b − a| |c − a|
2
l'égalité étant réalisée si, et seulement si, le triangle T est rectangle en A.
Nombres complexes et géométrie
578
Démonstration. On a :
1
m (T ) = |m (T )| = ± ℑ ((b − a) (c − a))
2
1
≤ |b − a| |c − a|
2
l'égalité étant réalisée si, et seulement si, (b − a) (c − a) est imaginaire pur, ce qui équivaut à
dire que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Exercice 23.1 Montrer que le produit de deux entiers naturels qui sont somme de deux carrés
d'entiers est encore somme de deux carrés d'entiers.
Solution 23.1 Soient
n = a2 + b2 et m = c2 + d2 où a, b, c, d sont des entiers relatifs. En
écrivant que n = |u|2 et m = |v|2 où, u = a + ib et v = c + id, on a :
nm = |uv|2 = |(ac − bd) + (ad + bc) i|2
= (ac − bd)2 + (ad + bc)2
(identité de Lagrange), c'est-à-dire que nm est somme de deux carrés d'entiers.
En utilisant la décomposition des entiers en facteurs premiers, le résultat de l'exercice précédent est utilisé pour caractériser les entiers qui sont sommes de deux carrés.
La caractérisation complexe de l'orthogonalité de deux droites nous permet de retrouver la
dénition de l'orthocentre d'un triangle.
Lemme 23.3 Soit T
= ABC un vrai triangle. Un point M est sur la hauteur issue de A de T
)
(
z−a
)
si, et seulement si, son axe z est telle que (z − a) c − b (ou de manière équivalente
c−b
soit imaginaire pur.
)
c − b = 0 est bien imaginaire pur.
Sinon M est sur la hauteur issue de( A si,) et seulement si les droites (AM ) et (BC) sont
orthogonales, ce qui équivaut à (z − a) c − b imaginaire pur, qui est encore équivalent à dire
z−a
que
est imaginaire pur.
c−b
Démonstration. Si M = A, on a z = a et (z − a)
(
Lemme 23.4 Soient a, b, c des nombres complexes deux à deux distincts. Pour tout z ∈ C, le
nombre complexe
(
)
(
)
Z = (z − a) c − b + (z − b) (a − c) + (z − c) b − a
est imaginaire pur.
Démonstration. Résulte de :
(
)
(
)
(
)
(z − c) b − a = (z − a) b − a + (a − c) b − a
)
(
)
(
= (z − a) b − c + (z − a) (c − a) + (a − c) b − a
)
(
)
(
= (z − a) b − c + (z − b) (c − a) + (b − a) (c − a) + (a − c) b − a
)
(
= − (z − a) c − b − (z − b) (a − c) + 2iℑ ((b − a) (c − a))
Module d'un nombre complexe
579
qui s'écrit :
Z = 2iℑ ((b − a) (c − a))
Le fait que Z soit imaginaire pur se traduit par ℜ (Z) = 0, soit par :
(
(
))
(
(
))
ℜ (z − a) c − b + ℜ ((z − b) (a − c)) + ℜ (z − c) b − a = 0
ou encore par :
−−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→
AM · BC + BM · CA + CM · AB = 0
pour tout point M ∈ P.
Cette égalité est l'égalité de Wallace.
Lemme 23.5 Soient a, b, c des nombres
deux à deux distincts
( complexes
)
( et )z un nombre com-
plexe. Si deux quantités parmi (z − a) c − b , (z − b) (a − c) , (z − c) b − a sont imaginaires
pures, il en est alors de même de la troisième.
Démonstration. Résulte du lemme précédent.
Théorème 23.6 Soit T
= ABC un vrai triangle. Les trois hauteurs de T sont concourantes.
Démonstration. Notons respectivement TA , TB et TC les hauteurs( issues) de A, B et C.
Un point M est sur TA ∩ TB si, et seulement si, les
quantités
(z − a) c − b et (z − b) (a − c)
)
(
sont imaginaires pures, ce qui entraîne que (z − c) b − a est aussi imaginaire pur et M est sur
TC .
Les trois hauteurs sont donc concourantes.
Le point d'intersection des trois hauteurs du triangle T est l'orthocentre de T (gure 23.3).
Exercice 23.2 Soit T
= ABC un vrai triangle. Montrer que l'orthocentre H de T a pour axe
−
→
relativement au repère R = (O, →
e1 , −
e2 ) :
ℜ ((a − b) (c − a))
(c − b)
ℑ ((c − b) (c − a))
(
)
a−b
ℜ
c−a
) (c − b)
=a+i (
c−b
ℑ
c−a
h=a+i
Solution 23.2 Comme H ∈ TA ∩ TB , il existe deux réels λ1 et λ2 tels que :
h = a + iλ1 (c − b) = b + iλ2 (c − a)
ce qui entraîne :
iλ2 =
et en prenant les parties réelles :
(
0=ℜ
a−b
c−a
)
a−b
c−b
+ iλ1
c−a
c−a
(
)
(
)
(
)
c−b
a−b
c−b
+ λ1 ℜ i
=ℜ
− λ1 ℑ
c−a
c−a
c−a
Nombres complexes et géométrie
580
B
H
A
C
Figure
23.3 Orthocentre
c−a
a−c
Comme les points C, A, B ne sont pas alignés,
=
n'est pas réel et λ1 est uniquement
c−b
b−c
déterminé. On a donc :
(
)
a−b
ℜ
ℜ ((a − b) (c − a))
c−a
)=
λ1 = (
.
c−b
ℑ ((c − b) (c − a))
ℑ
c−a
et :
ℜ ((a − b) (c − a))
(c − b)
ℑ ((c − b) (c − a))
(
)
a−b
ℜ
c−a
) (c − b)
=a+i (
c−b
ℑ
c−a
h=a+i
Par exemple, pour a, b réels et c = iγ imaginaire pur, on a :
a
ℜ ((a − b) (c − a))
=
ℑ ((c − b) (c − a))
γ
et :
h = −i
ab
ab
= .
γ
c
Module d'un nombre complexe
581
En fait, pour déterminer une axe de l'orthocentre, il est plus commode de travailler dans
un repère d'origine O = Ω où Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Exercice 23.3 Montrer que si
ABC est un triangle inscrit dans le cercle de centre Ω et de
rayon R > 0, alors l'axe de son orthocentre est h = a + b + c. (Ω étant pris comme origine).
Solution 23.3 On désigne −par
M le point d'axe
−→
−→ −→
h = a + b + c. Comme h − a = b + c
−−→
−→
avec |b|
= |c| =)R,( on a AM) = ΩB + ΩC et ce vecteur est orthogonal à CB = ΩB −
(
−→
−→ −→
−→ −→
ΩC, ( ΩB + ΩC · ΩB − ΩC = ΩB 2 − ΩC 2 = R2 − R2 = 0), ce qui équivaut à dire que
(
)
(h − a) b − c est imaginaire pur, qui est encore équivalent à dire que M est sur la hauteur de
T issue de A.
On montre de manière analogue que M est sur les deux autres hauteurs et en conséquence c'est
l'orthocentre de T.
Comme pour la valeur absolue réelle, on dispose de l'inégalité triangulaire. Cette inégalité
est conséquence des résultats suivants.
Théorème 23.7 Pour tous nombres complexes z et z ′ , on a :
( )
2
2
|z + z ′ | = |z|2 + 2ℜ zz ′ + |z ′ |
Démonstration. Il sut d'écrire, pour z = x + iy, z ′ = x + iy′ :
|z + z ′ | = (x + x′ ) + (y + y ′ )
= x2 + y 2 + 2 (xx′ + yy ′ ) + x′2 + y ′2
( )
2
= |z|2 + 2ℜ zz ′ + |z ′ | .
2
2
2
Ce résultat est équivalent à :
2
2
2
→
→
→
→
→
→
∥−
u +−
v ∥ = ∥−
u ∥ + 2−
u ·−
v + ∥−
v∥
−
→
→
→
pour tous vecteurs −
u ,−
v du plan euclidien P .
De ce théorème, on déduit que :
)
(
2
2
2
|z + z ′ | + |z − z ′ | = 2 |z|2 + |z ′ |
qui s'interprète géométriquement en disant que la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des cotés puisque en notant M ′′ le point d'axe z +z ′ ,
OM M ′′ M ′ est un parallélogramme et |z| = OM = M ′ M ′′ , |z ′ | = OM ′ = M M ′ , |z + z ′ | = OM ′′
(une diagonale) et |z − z ′ | = M M ′ (l'autre diagonale) (gure 23.4).
Théorème 23.8 (inégalité de Cauchy-Schwarz) Pour tous nombres complexes z et z ′ , on
a:
( )
ℜ zz ′ ≤ |z| |z ′ |
l'égalité étant réalisée si, et seulement si, z et z ′ sont liées sur R (i. e. z ′ = 0 ou z ̸= 0 et
z
∈ R), ce qui est encore équivalent à dire que zz ′ est réel.
′
z
Nombres complexes et géométrie
582
M ′′
M
M′
O
Figure
Démonstration. On a :
23.4 OM ′′2 + M M ′2 = 2 (OM 2 + OM ′2 )
( ) ℜ zz ′ ≤ zz ′ = |z| |z ′ |
et l'égalité est réalisée si, et seulement si, zz ′ est réel. Pour z ′ = 0, c'est le cas et pour z ′ ̸= 0,
il existe un réel λ ∈ R tel que z = λ
1
λ ′
=
z.
′
z
|z ′ |2
La réciproque est évidente.
−
→
Ce résultat est équivalent à l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans le plan euclidien P .
On en déduit l'inégalité triangulaire, équivalente à celle que l'on connaît pour le plan euclidien
−
→
P.
Théorème 23.9 Pour tous nombres complexes z et z ′ , on a :
|z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |
l'égalité étant réalisée si, et seulement si, z et z ′ sont positivement liées sur R (i. e. z = 0 ou
z
z ̸= 0 et ′ ∈ R+ ), ce qui est encore équivalent à dire que zz ′ ∈ R+ .
z
Démonstration. On a :
( )
2
2
|z + z ′ | = |z|2 + 2ℜ zz ′ + |z ′ |
≤ |z|2 + 2 |z| |z ′ | + |z ′ | ) = (|z| + |z ′ |)
2
2
(
)
ce qui équivaut à |z( + z)′ | ≤ |z| + |z ′ | . L'égalité est réalisée si, et seulement si ℜ zz ′ = |z| |z ′ | ,
ℜ zz ′ = |z| |z ′ | et z, z ′ sont liées sur R. Pour z ′ ̸= 0, on a z = λz ′ avec λ ∈ R
ce qui( implique
)
et ℜ zz ′ = λ |z ′ |2 = |z| |z ′ | impose λ ≥ 0.
La réciproque est évidente.
Ce théorème s'interprète en disant que dans un vrai triangle ABC la longueur d'un coté est
strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres cotés :
−−→ −→ −→
BC = AC − AB = |z − z ′ |
−→ −→
′
< |z| + |z | = AC + AB −→
−→
en notant z l'axe de AC et z ′ celle de AB.
Module d'un nombre complexe
583
Corollaire 23.1 Pour tous nombres complexes z et z ′ , on a :
||z| − |z ′ || ≤ |z − z ′ | ≤ |z| + |z ′ |
Démonstration. Il sut d'écrire que :
|z| ≤ |z − z ′ | + |z ′ |
et :
|z ′ | ≤ |z − z ′ | + |z|
Pour ce qui est du module d'une somme de nombres complexes, on a de manière plus générale
le résultat suivant qui se montre facilement par récurrence.
Théorème 23.10 Pour toute suite nie z1 , · · · , zn de nombres complexes non nuls avec n ≥ 2,
on a :
n
n
∑
∑
zk ≤
|zk |
k=1
k=1
l'égalité étant réalisée si, et seulement si, il existe des réels λ2 , · · · , λn tels que zk = λk z1 pour
k = 2, · · · , n.
Démonstration. On procède par récurrence sur n ≥ 2. Pour n = 2, c'est connu.
Supposons le résultat acquis au rang n − 1 ≥ 2.
Pour z1 , · · · , zn dans C avec n ≥ 3, en utilisant les résultats pour n = 2 et l'hypothèse de
récurrence, on a :
n
n
n
n
∑
∑
∑
∑
zk = z1 +
zk ≤ |z1 | + zk ≤
|zk | .
k=1
k=2
k=2
k=1
n
n
n
∑
∑
∑
Si l'égalité zk =
|zk | est réalisée, en posant Z2 =
zk , on a :
k=1
k=1
k=2
n
n
∑
∑
zk = |z1 + Z2 | ≤ |z1 | + |Z2 | ≤
|zk |
k=1
k=1
n
n
∑
∑
et l'égalité zk =
|zk | nous dit que toutes les inégalités précédentes sont des égalités. On
k=1
k=1
a donc |z1 + Z2 | = |z1 | + |Z2 | et Z2 = λ1 z1 avec λ1 ∈ R+,∗ (Z2 = 0 entraîne |z1 | =
donc
n
∑
n
∑
|zk | ,
k=1
|zk | = 0 et tous les zk sont nuls, ce qui est contraire à l'hypothèse de départ), puis de
k=2
|z1 | + |Z2 | =
n
∑
|zk | , on déduit que |Z2 | =
k=1
n
∑
|zk | et avec l'hypothèse de récurrence qu'il existe
k=2
des réels λk > 0 tels que zk = λk z2 pour k = 3, · · · , n. On a alors :
Z2 =
n
∑
(
zk =
k=2
1+
n
∑
)
λk
z2 = λ1 z1
k=3
et z2 = µ2 z1 , zk = λk z2 = µk z1 pour k = 3, · · · , n, tous les µk étant strictement positifs.
n
∑
Du point de vue géométrique, en désignant par Mk les points d'axe zk , l'égalité zk =
k=1
n −
n −
n
∑
∑
∑
−
−
→
−
−
→
|zk | est équivalente à OMk qui est encore équivalente à dire que les
OMk =
k=1
k=1
k=1
points O, M1 , · · · , Mn sont alignés sur la demi-droite [OM1 ) .
Nombres complexes et géométrie
584
23.4 Droites et cercles dans le plan complexe
Soit D une droite passant par deux points distincts A, B. Dire que M appartient à D
( équivaut
)
à dire que les points A, M, B sont alignés, ce qui équivaut encore à dire que (z − a) z − b est
réel, soit :
(
)
(z − a) z − b = (z − a) (z − b)
ce qui s'écrit :
(
)
(
)
b − a z − (b − a) z − ab − ab = 0
( )
le nombre complexe ab − ab = 2iℑ ab étant imaginaire pur. En multipliant par i, une équation
complexe de la droite D est alors :
βz + βz + γ = 0
où β = i (a − b) ∈ C∗ et γ est réel.
On peut aussi aboutir à ce résultat en écrivant une équation cartésienne de D :
ux + vy + w = 0
1
1
avec (u, v) ∈ R2 \ {(0, 0)} et w ∈ R. En écrivant que x = (z + z) et y = (z − z) pour M
2
2i
d'axe z, cette équation devient :
u (z + z) − vi (z − z) + 2w = 0
soit :
(u − iv) z + (u + iv) z + 2w = 0.
Réciproquement une telle équation dénit une droite. En eet, en écrivant z = x + iy,
β = u + iv, cette équation devient :
(u − iv) (x + iy) + (u + iv) (x − iy) + γ = 0
soit :
γ
=0
2
et c'est une droite dirigée par le vecteur d'axe −v + iu = iβ.
Soit C un cercle de centre Ω et de rayon R > 0. Dire que M ∈ C équivaut à dire que
|z − ω|2 = R2 , soit à :
ux + vy +
(z − ω) (z − ω) = zz − ωz − ωz + |ω|2 − R2 = 0
Une équation complexe de ce cercle est donc :
zz + βz + βz + γ = 0
où β = −ω et γ = |ω|2 − R2 = |β|2 − R2 est réel avec |β|2 − γ = R2 > 0.
Réciproquement une telle équation dénit un cercle. En eet, en écrivant z = x + iy, β =
u + iv, cette équation devient :
x2 + y 2 + 2ux + 2vy + γ = 0
soit :
(x + u)2 + (y + v)2 + γ − u2 − v 2 = 0
et en posant R2 = u2 + v 2 −√γ = |β|2 − γ (ce réel est positif), on constate qu'on a le cercle de
centre ω = −β et de rayon |β|2 − γ.
On a donc montré le résultat suivant.
Droites et cercles dans le plan complexe
585
Théorème 23.11 Toute équation de la forme :
αzz + βz + βz + γ = 0
où α, γ sont des réels et β un nombre complexe représente :
l'ensemble C tout entier si α = β = γ = 0 ;
l'ensemble vide si α = β = 0 et γ ̸= 0 ;
une droite dirigée par le vecteur d'axe iβ si α = 0 et β ̸= 0 ;
l'ensemble vide si α ̸= 0 et
|β|2 γ
− < 0;
α2
α
√
β
le cercle de centre ω = − et de rayon
α
|β|2 γ
|β|2 γ
− si α ̸= 0 et 2 − ≥ 0.
α2
a
α
α
Ce résultat nous permet d'étudier les lignes de niveau de la fonction :
f : z 7→
Corollaire 23.2 (Appolonius) Soient
strictement positif. L'ensemble :
|z − b|
|z − a|
a, b deux nombres complexes distincts et λ un réel
E = {z ∈ C | |z − b| = λ |z − a|}
est identié dans P à la médiatrice du segment [AB] (i. e. la droite passant par le milieu de
[AB] et dirigée par le vecteur d'axe i (a − b)) si λ = 1 et au cercle de centre
rayon
λ |a − b|
si λ ̸= 1.
|1 − λ2 |
b − λ2 a
et de
1 − λ2
Démonstration. L'ensemble E a pour équation :
|z − b|2 = λ2 |z − a|2
soit :
(
)
(z − b) z − b = λ2 (z − a) (z − a)
c'est-à-dire :
αzz + βz + βz + γ = 0
où on a posé :

 α = 1 − λ2
β = λ2 a − b

γ = |b|2 − λ2 |a|2
C'est donc une droite ou un cercle quand il n'est pas vide ou égal à C tout entier.
Pour λ = 1, E est l'ensemble des points équidistants de A et B. Son équation complexe est :
(
)
(
)
a − b z + (a − b) z + |b|2 − |a|2 = 0
et c'est une droite dirigée par iβ = i (a − b) . On constate que z =
on a bien la médiatrice du segment [AB] .
a+b
est sur cette droite et
2
Nombres complexes et géométrie
586
Pour λ ̸= 1, on a :
2
=
|λ2 a − b|
|b|2 − λ2 |a|2
|β|2 γ
−
=
−
α2
α
1 − λ2
(1 − λ2 )2
(
)
(
)
(λ2 a − b) λ2 a − b − (1 − λ2 ) |b|2 − λ2 |a|2
=
(1 − λ2 )2
)
(
λ2 |a|2 + |b|2 − ab − ab
(1 − λ2 )2
et E est le cercle de centre ω = −
=
λ2 |a − b|2
>0
(1 − λ2 )2
β
b − λ2 a
λ |a − b|
=
et de rayon R =
.
2
α
1−λ
|1 − λ2 |
On peut remarquer que le centre :
ω =a+
1
λ2
(b
−
a)
=
b
+
(b − a)
1 − λ2
1 − λ2
est sur la droite (AB) privée du segment [AB] (pour |λ| > 1, on a
λ2
1
< 0 et pour |λ| < 1,
1 − λ2
> 0).
on a
1 − λ2
Par exemple, pour a = 0, b = −3 et λ = 2, l'ensemble :
E = {z ∈ C | |z + 2| = 3 |z|}
est le cercle de centre 1 et de rayon 2 (gure 23.5).
M
b
b
B
A
Figure
b
O
23.5 |z + 2| = 3 |z|
Exercice 23.4 Déterminer l'ensemble E des nombres complexes z tels que |z − i| = |z − iz| =
|z − 1| .
Solution 23.4 L'ensemble :
{
}
√
E1 = z ∈ C | |z − i| = |z − iz| = 2 |z|
est le cercle de centre −i et de rayon
√
2 et l'ensemble :
E1 = {z ∈ C | |z − i| = |z − 1|}
Caractérisation des triangles équilatéraux
587
est la médiatrice du segment [1, i] . L'ensemble E est l'intersection de ces ensembles, soit :
{
E=
}
√
√
1+ 3
3−1
−
(1 + i) ,
(1 + i)
2
2
(gure 23.6).
3
2
1
z1
−3
−2
0
−1
z2
0
1
2
3
−1
−2
−3
Figure
23.6 |z − i| = |z − iz| = |z − 1|
23.5 Caractérisation des triangles équilatéraux
Théorème 23.12 Soient A, B, C trois points deux à distincts de P et a, b, c leurs axes res-
pectives. Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. le triangle ABC est équilatéral ;
2. |b − a| = |c − b| = |c − a| ;
1
1
1
+
+
= 0;
a−b b−c c−a
4. a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ;
3.
5. j ou j est racine de az 2 + bz + c = 0 (j et j sont les racines cubiques de l'unité).


a z2 1
6. j ou j est racine de det  b z 1  = 0.
c 1 1
Démonstration. L'équivalence entre 1. et 2. résulte de la dénition d'un triangle équilatéral.
Supposons que |a − b| = |b − c| = |c − a| .
On a :
1 a−b
a−b
a−b
1
=
2 =
2 =
a−b
b−cb−c
|a − b|
|b − c|
(
)
1 a−c+c−b
1
a−c
=
=
−1
b−c
b−c b−c
b−c
Nombres complexes et géométrie
588
a − c a − c
a−c
b−c
= 1, donc :
avec
=
puisque =
a−c
b−c
b − c b − c
(
)
1
1
b−c
1 b−c
1
=
−1 =
−
a−b
b−c a−c
b−ca−c b−c
1
1
=
−
a−c b−c
et
1
1
1
+
+
= 0.
a−b b−c c−a
Supposons cette dernière identité réalisée. On a alors en multipliant par (a − b) (b − c) (c − a) :
(b − c) (c − a) + (a − b) (c − a) + (a − b) (b − c) = 0
et en développant, cela est équivalent à :
ab + bc + ca − a2 − b2 − c2 = 0.
En supposant cette identité vériée, on a :
(
aj 2 + bj + c
)(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
aj + bj + c = a2 + b2 + c2 + j + j ab + j 2 + j ac + j + j bc
2
avec j 2 + j = j + j = −1, ce qui donne :
(
2
aj + bj + c
)(
2
)
aj + bj + c = 0
et j ou j est racine de az 2 + bz + c = 0.
Supposons que j soit racine de az 2 + bz + c = 0. Tenant compte de 1 + j + j 2 = 0, on a alors :
(
)
0 = aj 2 + bj + c = aj 2 + bj − c j + j 2 = (b − c) j + (a − c) j 2
et (b − c) j = − (a − c) j 2 qui entraîne |b − c| = |c − a| . On peut aussi écrire :
(
)
0 = aj 2 + bj + c = aj 2 − b 1 + j 2 + c = (c − b) + (a − b) j 2
et on a (c − b) = − (a − b) j 2 qui entraîne |a − b| = |c − b| .
{ }
L'équivalence entre 5. et 6. se déduit du calcul suivant. Pour z ∈ j, j = {j, j 2 } :




(
)
a z2 1
a − b z2 − z 0
2
a
−
b
z
−
z
det  b z 1  = det  b − c z − 1 0  = det
b−c z−1
c 1 1
c
1
1
(
)
= az + b + cz 2 − a + bz 2 + cz
(
)
(
)
= z az 2 + bz + c − z az 2 + bz + c
(
)
(
)
= (z − z) az 2 + bz + c = 2iℑ (z) az 2 + bz + c .
Nous verrons un peu plus loin que la caractérisation 6. des triangles équilatéraux traduit
le fait qu'un triangle équilatéral est semblable à un triangle ayant pour sommets les points
d'axes 1, z, z 2 avec z = j ou z = j.
Arguments d'un nombre complexe
589
23.6 Arguments d'un nombre complexe
On suppose connues du cours d'analyse les fonctions trigonométriques cos, sin et tan avec
leurs principales propriétés.
Le résultat suivant est la base de la dénition de l'argument d'un nombre complexe.
Théorème 23.13 Si z est un nombre complexe de module 1, il existe un unique réel θ ∈ [−π, π[
tel que z = cos (θ) + i sin (θ) .
Démonstration. Le nombre complexe z = x+iy est de module 1 si, et seulement si x2 +y2 =
1. En particulier x est dans [−1, 1] et il existe un unique réel α ∈ [0, π] tel que x = cos (α) .
Avec y 2 = 1 − x2 = sin2 (α) , on déduit que y = ± sin (α) , soit y = sin (±α) . Avec la parité de
la fonction cos, on peut écrire que x = cos (±α) et on aboutit à (x, y) = (cos (θ) , sin (θ)) avec
θ ∈ [−π, π[ (pour (x, y) = (cos (π) , sin (π)) = (−1, 0) , on écrit (x, y) = (cos (−π) , sin (−π))).
Si θ′ ∈ [−π, π[ est une autre solution, de cos (θ) = cos (θ′ ) , on déduit que θ′ = ±θ. Si θ′ = θ,
c'est terminé, sinon θ′ = −θ et de sin (θ) = sin (θ′ ) = − sin (θ) , on déduit que θ vaut 0 ou −π,
0 étant la seule solution puisque θ′ = π ∈
/ [−π, π[ . D'où l'unicité.
Corollaire 23.3 Pour tout nombre complexe non nul z, il existe un unique réel θ ∈ [−π, π[ tel
que
z
= cos (θ) + i sin (θ) .
|z|
Démonstration. On applique le théorème précédent à
z
qui est de module égal à 1.
|z|
Dénition 23.4 Avec les notations du corollaire qui précède, on dit que le réel θ ∈ [−π, π[ est
l'argument principal du nombre complexe non nul z.
Si θ ∈ [−π, π[ est l'argument principal d'un nombre complexe z ∈ C∗ , les seuls réels θ′ tels
z
que
= cos (θ′ )+i sin (θ′ ) sont les réels θ′ = θ+2kπ, où k est un entier relatif. En eet ces réels
|z|
conviennent et les égalités cos (θ) = cos (θ′ ) et sin (θ) = sin (θ′ ) sont réalisées si, et seulement si
il existe un entier relatif k tel que θ′ = θ + 2kπ (on peut trouver un entier k tel que θ′ − 2kπ
soit dans [−π, π[ , c'est-à-dire que k est tel que −π ≤ θ′ − 2kπ < π, soit k ≤
]
θ′ + π
encore équivalent à k =
et θ′ − 2kπ est l'argument principal de z ).
2π
[
θ′ + π
< k + 1,
2π
Dénition 23.5 On dit qu'un réel θ est un argument du nombre complexe non nul z si
z
=
|z|
cos (θ) + i sin (θ) .
Ce qui précède nous dit qu'un nombre complexe non nul admet une innité d'arguments
et que deux tels arguments diérent d'un multiple entier de 2π, on dit alors qu'ils sont égaux
modulo 2π.
On notera θ′ ≡ θ (2π) pour signier que les réels θ′ et θ sont égaux modulo 2π.
Si θ est un argument d'un nombre complexe non nul z, on notera arg (z) ≡ θ (2π) . La
notation arg (z) signie qu'on a choisi un argument de z, c'est donc un réel déni modulo 2π.
Par abus de langage, on écrira θ = arg (z) quand il n'y a pas d'ambiguïté et on a z =
|z| (cos (θ) + i sin (θ)) ou encore :
ℜ (z) = |z| cos (θ) et ℑ (z) = |z| sin (θ) .
Nombres complexes et géométrie
590
−
Théorème 23.14 Si θ est un argument de z ∈ C∗ axe d'un vecteur non nul →
v , c'est alors
→
→
\
une mesure de l'angle orienté (−
e1 , −
v ).
→
→
\
θ′ de l'angle orienté (−
e1 , −
v ), il existe un
1 −
→
−
→
→
→
unique automorphisme orthogonal direct u tel que u ( e1 ) = −
v . Dans la base (−
e1 , −
e2 ) la
→
∥v∥
(
)
cos (θ′ ) − sin (θ′ )
−
matrice de u est
et si z = x + iy est l'axe de →
v , on a alors :
sin (θ′ ) cos (θ′ )
Démonstration. Par dénition d'une mesure
−
→
−
−
→
→
v = x→
e1 + y →
e2 = ∥−
v ∥ u (−
e1 )
−
→
−
→
−
→
′ →
′ −
= |z| (a e1 + b e2 ) = |z| (cos (θ ) e1 + sin (θ ) e2 )
ce qui entraîne x = |z| cos (θ′ ) , y = |z| sin (θ′ ) et θ′ ≡ θ (2π) .
Remarque 23.1 Le choix d'une orientation de
−
→
P nous permet de dénir sans ambiguïté la
mesure principale dans [−π, π[ d'un angle de vecteurs. Ce choix d'une orientation correspond
au choix d'une racine carrée i de −1 dans C.
Plus généralement on a le résultat suivant.
−
→
Théorème 23.15 Si →
v1 et −
v2 sont deux vecteurs non nuls d'axes respectives z1 et z2 alors
un argument de
z2
→
→
\
est une mesure de l'angle orienté θ = (−
v1 , −
v2 ) et on a :
z1

→
−
−
v1 · →
v2


 cos (θ) = −
→
→
∥ v1 ∥ ∥−
v2 ∥
−
→
−
→
det
(
v

1 , v2 )

sin
(θ)
=

−
→
∥→
v ∥ ∥−
v ∥
(
1
2
)
1 →
1 −
→
−
v2 = u
v1 où l'automorphisme orthogonal direct u a
Démonstration. On a →
→
∥−
v2 ∥ )
∥−
v1 ∥
(
cos (θ) − sin (θ)
→
→
dans la base (−
e1 , −
e2 ) , ce qui donne :
pour matrice
sin (θ) cos (θ)

−
∥→
v2 ∥



(cos (θ) x1 − sin (θ) y1 )
x
=
2
→
−


∥ v1 ∥



|z2 |


(cos (θ) x1 − sin (θ) y1 )
 =
|z1 |
→
∥−
v2 ∥


(sin (θ) x1 + cos (θ) y1 )

→
 y2 = ∥−

v1 ∥



|z2 |


(sin (θ) x1 + cos (θ) y1 )
 =
|z1 |
et :
z2 = x2 + iy2
|z2 |
=
((cos (θ) x1 − sin (θ) y1 ) + i (sin (θ) x1 + cos (θ) y1 ))
|z1 |
|z2 |
=
(x1 + iy1 ) (cos (θ) + i sin (θ))
|z1 |
|z2 |
=
z1 (cos (θ) + i sin (θ))
|z1 |
Arguments d'un nombre complexe
591
soit :
z2
|z2 |
=
(cos (θ) + i sin (θ))
z1
|z1 |
z
ce qui signie que θ est un argument de 2 .
z1
On rappelle que :
( )
z2
2
−
→
−
→
v1 · v2 = ℜ (z1 z2 ) = |z1 | ℜ
z1
et :
−
→
det (→
v1 , −
v2 ) = ℑ (z1 z2 ) = |z1 |2 ℑ
(
z2
z1
)
( ) ) z2 z2 z2
z2
→
avec ℜ
v1 ∥
= cos (θ) et ℑ
= sin (θ) , ce qui donne compte tenu de |z1 | = ∥−
z1
z1
z1
z1
→
et |z2 | = ∥−
v2 ∥ :
(
−
→
→
→
→
→
→
→
→
v1 · −
v2 = ∥ −
v1 ∥ ∥−
v2 ∥ cos (θ) et det (−
v1 , −
v2 ) = ∥−
v1 ∥ ∥ −
v2 ∥ sin (θ)
−
→
→
→
On déduit de ce théorème que (λ→
v2 , λ −
v1 ) ≡ (−
v2 , −
v1 ) modulo 2π pour tout réel non nul et en
−
→
−
→
−
→
−
→
particulier (− v2 , − v1 ) ≡ ( v2 , v1 ) modulo 2π.
Corollaire 23.4 Si les points A, B, C sont deux à deux distincts alors un argument de
(−→
\
−→)
c−a
b−a
est une mesure de l'angle orienté θA = AB, AC et on a :

−→ −→

AB · AC


 cos (θA ) =
AB(·−
AC
→ −→)

det
AB,
AC


 sin (θA ) =
AB · AC
(\
−→)
→
En particulier, on a arg (b − a) = −
e1 , AB (modulo 2π ).
L'aire du triangle T = ABC est alors :
(−→ −→) 1
1 det AB, AC = AB · AC |sin (θ)| .
2
2
−→ −→
Le triangle T = ABC est rectangle en A si, et seulement si, AB · AC = 0, ce qui équivaut
π
π
à θ ≡ modulo π ou encore à θ = ± , en désignant par θ la détermination principale de
2
2
(−→
(−→
\
−→)
−→)
π
AB, AC . Pour T direct, on a det AB, AC > 0, donc sin (θ) > 0 et θ =
et pour T
2
(−→ −→)
π
indirect, on a det AB, AC < 0, soit sin (θ) < 0 et θ = − .
2
1
On retrouve l'aire d'un triangle T rectangle en A, m (T ) = AB · AC.
2
(−→
−→)
Dire que les points A, B, C sont alignés équivaut à det AB, AC = 0, soit à sin (θ) = 0,
c'est-à-dire à θ = 0 ou θ = −π pour la détermination principale.
(−→
(−−→
(−→
\
\
\
−→)
−→)
−−→)
En notant θA = AB, AC , θB = BC, BA et θC = CA, CB les angles en A, B et C
du triangle T, on déduit de la relation (23.1) que les quantités sin (θA ) , sin (θB ) et sin (θC ) sont
m (T ) =
Nombres complexes et géométrie
592
toutes de même signes. Les déterminations principales de ces mesures d'angle seront donc tous
dans ]0, π[ (pour T direct) ou toutes dans ]−π, 0[ pour T indirect), T étant un vrai triangle.
Pour T direct rectangle en A, on a
−−→ −→ (−→ −→) −→ −→2
BC · BA = BA + AC · BA = BA
(−−→ −→)
(−→ −→)
det BC, BA = det AB, AC = AB · AC sin (θA )
(π )
= AB · AC sin
= AB · AC
2
de sorte que :
−−→ −→
BC · BA
BA2
BA
cos (θB ) =
=
=
BC · BA
BC · BA
BC
(coté adjacent à l'angle droit sur l'hypoténuse) et :
(−−→ −→)
det BC, BA
sin (θB ) =
BC · BA
=
AB · AC
AC
=
BC · BA
BC
(coté opposé à l'angle droit sur l'hypoténuse), ce qui donne aussi :
tan (θB ) =
sin (θB )
AC
=
cos (θB )
AB
(coté opposé à l'angle droit sur coté adjacent).
En écrivant que :
−−→2 −→ −→2 −→2
−→ −→ −→2
CB = AB − AC = AB − 2AB · AC + AC on déduit que :
−−→2 −→2
−→2
CB = AB − 2AB · AC cos (θA ) + AC .
En notant respectivement a, b, c les cotés opposés à A, B, C, cela s'écrit :
a2 = b2 + c2 − 2bc cos (θA ) .
Pour T rectangle en A, on retrouve le théorème de Pythagore.
Par permutations circulaires des sommets, on a les deux autres formules :
b2 = c2 + a2 − 2ca cos (θB )
et :
c2 = a2 + b2 − 2ab cos (θC ) .
La relation (23.1) s'écrit aussi :
AB · AC sin (θA ) = BC · BA sin (θB ) = CA · CB sin (θC )
ce qui donne :
AC
AB
BC
=
=
sin (θA )
sin (θB )
sin (θC )
Arguments d'un nombre complexe
soit :
593
a
b
c
=
=
.
sin (θA )
sin (θB )
sin (θC )
L'aire du triangle direct T est :
(−→ −→)
1
m (T ) = det AB, AC =
2
(−−→ −→)
1
= det BC, BA =
2
(−→ −−→)
1
= det CA, CB =
2
1
1
AB · AC sin (θA ) = bc sin (θA )
2
2
1
ac sin (θB )
2
1
ab sin (θB )
2
ce qui permet de retrouver la formule précédente et :
a
1 abc
=
.
sin (θA )
2 m (T )
On a donc :
b
c
abc
a
=
=
=
.
sin (θA )
sin (θB )
sin (θC )
2m (T )
Dans le cas où le triangle direct T est isocèle en A, on a AB = AC et A est sur la médiatrice
du segment [BC] et en désignant par I le milieu de ce segment, on peut écrire pour les triangles
rectangles en I, AIC et AIB :
cos (θB ) =
IC
IB
=
= cos (θC )
AC
AB
avec θB et θC dans ]0, π[ , ce qui équivaut à θB = θC et entraîne θA = π − 2θB .
Réciproquement si θB = θC , de
AC
AB
=
, on déduit que AB = AC et T est isocèle
sin (θB )
sin (θC )
en A.
Avec le théorème qui suit on donne quelques propriétés des arguments d'un nombre complexe.
Théorème 23.16 En désignant par z et z ′ des nombres complexes non nuls, λ un réel non nul
et n un entier relatif, on a :
1. arg (z) ≡ − arg (z) (2π)
2. arg (zz ′ ) ≡ arg (z) + arg (z ′ ) (2π)
3. arg
(z)
z′
( )
≡ arg (z) − arg (z ′ ) = arg zz ′ (2π)
4. arg (z n ) ≡ n arg (z) (2π)
5. si λ > 0, alors arg (λz) ≡ arg (z) (2π) , si λ < 0, alors arg (λz) ≡ arg (z) + π (2π)
6. z est réel si, et seulement si arg (z) ≡ 0 (π) (c'est-à-dire que les arguments de z sont de
la forme kπ avec k ∈ Z, l'argument principal étant 0 ou −π ).
π
(π) (c'est-à-dire que les arguments
2
π
π
π
de z sont de la forme + kπ avec k ∈ Z, l'argument principal étant − ou ).
2
2
2
7. z est imaginaire pur si, et seulement si arg (z) ≡
Démonstration. Il sut de considérer le cas des nombres complexes de module
dénition des arguments.
1 par
Nombres complexes et géométrie
594
1. Pour z = cos (θ) + i sin (θ) , on a :
z = cos (θ) − i sin (θ) = cos (−θ) + i sin (−θ)
et −θ est un argument de z, donc arg (z) ≡ −θ (2π) .
2. Pour z = cos (θ) + i sin (θ) et z ′ = cos (θ′ ) + i sin (θ′ ) , on a :
zz ′ = (cos (θ) cos (θ′ ) − sin (θ) sin (θ′ )) + i (sin (θ) cos (θ′ ) + cos (θ) sin (θ′ ))
= cos (θ + θ′ ) + i sin (θ + θ′ )
et donc arg (zz ′ ) ≡ θ + θ′ (2π) .
3. On a
arg
(z)
z′
( )
( )
≡ arg zz ′ ≡ arg (z) + arg z ′
≡ arg (z) − arg (z ′ ) (2π)
4. Se déduit de ce qui précède.
On déduit des point 6. et 3. que si A, B, C dans P sont deux à deux distincts, alors ces
points sont alignés si, et seulement si, arg (b − a) ≡ arg (c − a) modulo π.
En eet dire que A, B, C sont alignés équivaut à dire que
(
équivalent à arg
b−a
c−a
)
(
≡ 0 (π) et avec arg
b−a
c−a
)
b−a
est réel, qui est encore
c−a
≡ arg (b − a) − arg (c − a) (π) , on a le
résultat annoncé.
(−→
\
−→)
On retrouve aussi la condition d'alignement : AB, AC ≡ 0 (π) .
De 3. on déduit que
→
→
(−
v2 , −
v1 ) ≡ arg
(
z1
z2
)
(
≡ − arg
z2
z1
)
→
→
≡ − (−
v1 , −
v2 ) (2π)
Des points 2. et 3. on peut déduire la relation de Chasles sur les mesures d'angle. En eet,
on a :
)
( )
z2
z3
+ arg
z
z2
( 1)
z3
→
→
\
≡ (−
v1 , −
v3 ) (2π)
≡ arg
z1
→
→
−
−
\
\
(−
v1 , −
v2 ) + ( →
v2 , →
v3 ) ≡ arg
(
De cette relation, on déduit le résultat sur la somme des angles d'un vrai triangle T = ABC :
(−→
\
\
\
−→) (−→
−−→) (−−→
−→)
AB, AC + CA, CB + BC, BA ≡ π (2π) .
Pour un vrai triangle direct [resp. indirect] les déterminations principales de ces angles sont
toutes dans ]0, π[ [resp. dans ]−π, 0[], donc la somme est dans ]0, 3π[ [resp. dans ]−3π, 0[] congrue
à π modulo 2π et en conséquence est égale à π [resp. −π ].
On a donc θA + θB + θC = π pour un triangle direct et θA + θB + θC = −π pour un triangle
indirect.
En désignant par ψ l'application qui associe à tout réel θ le nombre complexe ψ (θ) = cos (θ)+
i sin (θ) on réalise une application surjective de R sur l'ensemble Γ des nombres complexes de
module 1. Cette application n'est pas injective puisque l'égalité ψ (θ) = ψ (θ′ ) équivaut à
θ′ ≡ θ (2π) . En restriction à [−π, π[ cette application ψ est bijective.
Arguments d'un nombre complexe
595
Théorème 23.17 Avec les notations qui précèdent, on a ψ (0) = 1 et pour tous réels θ, θ′ :
ψ (θ + θ′ ) = ψ (θ) ψ (θ′ ) .
Démonstration. On a ψ (0) = cos (0) + i sin (0) = 1 et :
ψ (θ + θ′ ) = cos (θ + θ′ ) + i sin (θ + θ′ )
= (cos (θ) cos (θ′ ) − sin (θ) sin (θ′ )) + i (sin (θ) cos (θ′ ) + cos (θ) sin (θ′ ))
= (cos (θ) + i sin (θ)) (cos (θ′ ) + i sin (θ′ ))
= ψ (θ) ψ (θ′ )
La fonction ψ vérie donc la même équation fonctionnelle que la fonction exponentielle réelle.
Cette remarque justie la notation ψ (θ) = eiθ .
Avec 1 = ψ (0) = ψ (θ − θ) = ψ (θ) ψ (−θ) , on déduit que
1
= ψ (−θ) = ψ (θ) (ce que
ψ (θ)
l'on savait déjà : l'inverse d'un nombre complexe de module 1 est égal à son conjugué).
On a donc en résumé la notation :
∀θ ∈ R, eiθ = cos (θ) + i sin (θ)
ce qui dénit une fonction 2π -périodique surjective de R sur l'ensemble Γ des nombres complexes
de module 1 avec les propriétés suivantes :
 i·0
e = e0 = 1


′
′


∀ (θ, θ′ ) ∈ R2 , ei(θ+θ ) = eiθ eiθ




1
∀θ ∈ R, iθ = e−iθ = eiθ
e
( iθ
)

′
2
iθ′

∀
(θ,
θ
)
∈
R
,
e
=
e
⇔ (∃k ∈ Z | θ′ = θ + 2kπ)




( ) eiθ − e−iθ
( ) eiθ + e−iθ


et sin (θ) = ℑ eiθ =
∀θ ∈ R, cos (θ) = ℜ eiθ =
2
2i
( )n
Par récurrence sur n ≥ 0, on déduit facilement que eiθ = einθ . Puis pour n < 0 on a
( )−n
(
)−n
1
1
inθ
e = −inθ =
= e−iθ
= einθ , c'est-à-dire que cette formule est valable pour tous
iθ
e
e
les entiers relatifs. Nous verrons un peu plus loin l'intérêt de cette égalité.
On a en particulier les valeurs suivantes :
π
eiπ = −1, ei 2 = i
les égalités eiθ = 1, eiθ = −1 et eiθ = i étant réalisées respectivement si, et seulement si θ = 2kπ,
π
θ = (2k + 1) π et θ = + 2kπ, où k est un entier relatif.
2
Un nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous la forme z = ρeiθ où ρ est un réel
strictement positif uniquement déterminé, c'est le module de z, et θ est un argument de z.
Cette écriture est l'écriture polaire (ou trigonométrique) de z.
Théorème 23.18 Soient ω un nombre complexe et λ un nombre réel. L'ensemble :
Eω = {z ∈ C \ {ω} | arg (z − ω) ≡ λ (2π)}
est identié à une demi-droite d'angle polaire λ privée de ω.
Nombres complexes et géométrie
596
Démonstration. Un nombre complexe z est dans
E si, et seulement si, il s'écrit z = ω+ρeiλ
−−→ ω
→
−
avec ρ > 0, ce qui se traduit dans le plan P par ΩM = ρ−
v où →
v est le vecteur d'axe eiλ .
→
L'ensemble Eω est donc une des demi droite d'origine Ω et dirigée par −
v.
Dans le plan P l'ensemble Eω est la demi-droite :
{
}
( \
−−→)
−
→
Eω = M ∈ P \ {Ω} | e1 , ΩM ≡ λ (2π)
{
}
−−→
→
= M ∈ P \ {Ω} | ΩM = ρ−
v avec ρ > 0
→
→
→
où −
v = cos (λ) −
e1 + sin (λ) −
e2 (gure 23.7).
Eω
λ
Ω
Figure
23.7 Exercice 23.5 Soient z, z ′ deux nombres complexes non nuls. Montrer que |z + z ′ | = |z| + |z ′ |
si, et seulement si, arg (z) ≡ arg (z ′ ) (2π) .
Solution 23.5 L'égalité |z + z ′ | = |z| + |z ′ | est équivalente à |z + z ′ |2 = (|z| + |z ′ |)2 avec :
(
)
2
2
|z + z ′ | = (z + z ′ ) z + z ′ = |z|2 + |z ′ | + zz ′ + zz ′ .
′
′
′
′
On a( donc
= 2 |z| |z ′ | , ce qui équivaut encore
) |z + z′ | = |z| + |z | si, et seulement si, zz + zz
′
à ℜ zz ′ = |z| |z | . En utilisant l'écriture polaire, z = ρeiθ et z ′ = ρ′ eiθ avec ρ > 0, ρ′ > 0 et
θ, θ′ réels, on déduit que |z + z ′ | = |z| + |z ′ | si, et seulement si, cos (θ − θ′ ) = 1, ce qui équivaut
à θ − θ′ ≡ 0 (2π) et signie que arg (z) ≡ arg (z ′ ) (2π) .
Plus généralement, on a le résultat suivant.
Exercice 23.6 Démontrer que, pour tout entier naturel r non nul et toute famille (z1 , · · · , zr )
de complexes non nuls, l'égalité :
r
r
∑
∑
=
|zk |
z
k
k=1
k=1
est réalisée si, et seulement si :
∀k ∈ N, (2 ≤ k ≤ r) ⇒ (∃λk ∈ ]0, +∞[ , zk = λk z1 )
ce qui revient à dire que tous les zk ont le même argument modulo 2π.
Arguments d'un nombre complexe
597
Solution 23.6 Chaque nombre complexe non nul zk (1 ≤ k ≤ r) peut s'écrire zk = ρk eiθ avec
k
ρk = |zk | > 0 et θk ∈ [−π, π[ . On a alors :
 2
r
r
∑
∑
∑


 zk =
|zk |2 + 2
ρj ρk cos (θj − θk ) ,

k=1
k=1
1≤j<k≤r
( r
)2
r
∑
∑
∑



|z
|
=
|zk |2 + 2
ρj ρk
k

k=1
k=1
1≤j<k≤n
r
r
∑ ∑
et l'égalité zk =
|zk | est équivalente à :
k=1
k=1
∑
ρj ρk (1 − cos (θj − θk )) = 0.
1≤j<k≤r
Tous les termes de cette somme étant positifs ou nuls avec ρj ρk > 0, on en déduit que cos (θj − θk ) =
1 avec θj − θk ∈ ]−2π, 2π[ pour 1 ≤ j < k ≤ r (on a −π ≤ θj < π et −π ≤ θk < π donc
−π < −θk ≤ π et −2π < θj − θk < 2π ), ce qui donne θj = θk et en notant θ cette valeur
commune on a zk = ρk eiθ = |zk | eiθ pour tout entier k compris entre 1 et r ou encore :
zk =
|zk |
|z1 | eiθ = λk z1 (1 ≤ k ≤ r)
|z1 |
|zk |
pour tout k compris entre 1 et r.
|z1 |
Réciproquement si zk = λk z1 avec λk > 0 pour tout k compris entre 2 et r et λ1 = 1, on a :
r
r
r
r
∑
∑
∑
∑
|zk | .
zk = |z1 |
λk |z1 | =
λk =
où on a posé λk =
k=1
k=1
k=1
k=1
On peut aussi démontrer ce résultat par récurrence sur r ≥ 1, le cas r = 2 correspondant au
cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire sur C.
Exercice 23.7 On désigne par D (0, 1) = {z ∈ C | |z| ≤ 1} le disque unité fermé du plan complexe. Montrer que l'application :
f : C \ D (0, 1) → C(\ [−1, 1]
)
1
1
z
7→
z+
2
z
est bijective.
Solution 23.7 Tout z ∈ C \ D (0, 1) s'écrit z = ρeiθ avec ρ > 1 et :
)
(
1
1 −iθ
iθ
f (z) =
ρe + e
2
ρ
((
)
(
)
)
1
1
1
=
ρ+
cos (θ) + i ρ −
sin (θ)
2
ρ
ρ
Si f (z) est réel, nécessairement sin (θ) = 0, donc cos (θ) = ±1 et :
(ρ − 1)2 + 2ρ
2ρ
ρ2 + 1
=
>
= 1.
|f (z)| =
2ρ
2ρ
2ρ
Nombres complexes et géométrie
598
On a donc bien f (z) ∈ C \ [−1, 1] pour tout z ∈ C \ D (0, 1) .
(
)
1
1
Il s'agit maintenant de montrer que pour tout Z ∈ C \ [−1, 1] l'équation
z+
= Z a une
2
z
unique solution z ∈ C \ D (0, 1) . Cette équation est équivalente à l'équation de degré 2 :
z 2 − 2Zz + 1 = 0
Le discriminant réduit de cette équation est δ ′ = Z 2 − 1 ̸= 0, ce qui donne deux solution
distinctes z1 = ρ1 eiθ1 et z2 = ρ2 eiθ2 dans C. De z1 z2 = 1, on déduit que ρ1 ρ2 ei(θ1 +θ2 ) = 1, donc
1
que ei(θ1 +θ2 ) est réel positif et θ1 + θ2 ≡ 0 modulo 2π. On a donc z1 = ρ1 eiθ1 et z2 = e−iθ1 . Si
ρ1 = 1, on a alors :
ρ1
2Z = z1 + z2 = eiθ1 + e−iθ1 = 2 cos (θ1 )
et Z = cos (θ1 ) ∈ [−1, 1] , ce qui n'est pas. On a donc ρ1 ̸= 1, de sorte que z1 ∈ C \ D (0, 1) et
z2 ∈
/ C \ D (0, 1) pour ρ1 > 1, ou z2 ∈ C \ D (0, 1) et z1 ∈
/ C \ D (0, 1) pour ρ1 < 1. Il y a donc
une unique racine dans C \ D (0, 1) .
23.7 Critère de cocyclicité
L'étude des lignes de niveau de la fonction :
(
f : z 7→ arg
a−z
b−z
)
mod (π)
nous fournira un critère de cocyclicité de 4 points du plan.
On se donne deux points A ̸= B d'axes respectives a, b, un réel λ et on désigne par Eλ
l'ensemble de nombres complexes déni par :
{
Eλ =
(
z ∈ C \ {a, b} | arg
a−z
b−z
)
}
≡ λ (π)
On note encore Eλ le sous-ensemble de P formé des points d'axe z ∈ Eλ . Précisément Eλ
est identié à :
{
(−−→ −−→)
}
Eλ = M ∈ P \ {A, B} | M A, M B ≡ λ (π) .
On a déjà vu que les points M, A, B sont alignés si, et seulement si, arg
donc pour λ ≡ 0 (π) , Eλ est la droite (AB) privée des points A et B.
a−z
, pour z ∈ C \ {a, b} , on a :
En désignant par θ un argument de
(
a−z
b−z
b−z
(
(
)
)
a−z
arg
≡ λ (π) ⇔ (θ − λ ≡ 0 (π)) ⇔ (sin (θ − λ) = 0)
b−z
⇔ sin (θ) cos (λ) − cos (θ) sin (λ) = 0
et pour λ non congru à 0 modulo π, on a :
(z ∈ Eλ ) ⇔ (sin (θ) cotan (λ) − cos (θ) = 0)
ou encore en utilisant l'écriture polaire :
a−z
= ρeiθ = ρ (cos (θ) + i sin (θ))
b−z
)
≡ 0 (π) ,
Critère de cocyclicité
599
(
(
)
(
)
)
a−z
a−z
(z ∈ Eλ ) ⇔ cotan (λ) ℑ
−ℜ
=0
b−z
b−z
ce qui peut encore s'écrire, compte tenu de :
(
ℑ
et
(
a−z
b−z
)
=
(
(
))
1
ℑ
(a
−
z)
b
−
z
|b − z|2
)
))
(
(
1
b
−
z
ℜ
(a
−
z)
|b − z|2
(
(
(
))
(
(
))
)
(z ∈ Eλ ) ⇔ cotan (λ) ℑ (a − z) b − z − ℜ (a − z) b − z = 0
ℜ
a−z
b−z
=
Il est alors judicieux de placer l'origine au milieu de [AB] , ce qui revient à eectuer le
changement de variable z =
qui donne :
a+b
b−a
+ t avec t ∈
/ {−c, c} , où c =
, puisque z ∈
/ {a, b} , ce
2
2
)
(
)
(
(a − z) b − z = (c + t) t − c = ct − ct + |t|2 − |c|2
( )
= 2iℑ ct + |t|2 − |c|2
et :
(
(
))
( )
{
}
( )
ℑ (a − z) b − z = 2ℑ ct = 2ℜ −ict = ℜ βt
avec β = −2ict et :
(
(
))
ℜ (a − z) b − z = |t|2 − |c|2
En dénitive, en notant µ = cotan (λ) , une équation de Eλ est :
( )
µ2ℑ ct − |t|2 + |c|2 = 0
ou encore :
(
)
tt + 2ℜ iµct − |c|2 = 0
soit en posant β = iµc :
(
tt + βt + βt − |c|2 = 0
)
avec |β|2 − − |c|2 = (1 + µ2 ) |c|2 > 0.
′
√ On reconnaît là l'équation complexe d'un cercle de centre ω = −β et de rayon R =
|β|2 + |c|2 =
√
1 + µ2 |c| .
L'ensemble Eλ est donc le cercle de centre
a+b
b−a
a+b
+ ω′ =
− i cotan (λ)
2
2
2
a+b
(|t − ω ′ | = R ⇔ z −
− ω = R) et de rayon
2
√
b − a
b − a
1
2
.
R = 1 + cotan (λ) =
2 |sin (λ)| 2 ω=
privé des points A et B.
Les points A et B sont bien sur le cercle puisque :
b − a
|1 + i cotan (λ)| = R
|a − ω| = |b − ω| = 2 On a donc montré le résultat suivant.
Nombres complexes et géométrie
600
Théorème 23.19 Si a, b sont deux nombres complexes distincts et λ un réel, alors l'ensemble :
{
Eλ =
(
z ∈ C \ {a, b} | arg
a−z
b−z
)
}
≡ λ (π)
est identié à :
la droite (AB) privée des points A et B si λ est congru à 0 modulo π ;
b − a
a+b
b−a
1
privé
ou au cercle de centre ω =
− i cotan (λ)
et de rayon R =
2
2
|sin (λ)| 2 des points A et B si λ n'est pas congru à 0 modulo π.
La traduction dans le plan P de ce théorème est la suivante.
Théorème 23.20 Si
semble :
A, B sont deux points distincts dans le plan P et λ un réel, alors l'en{
(−−→ −−→)
}
Eλ = M ∈ P \ {A, B} | M A, M B ≡ λ (π)
est :
la droite (AB) privée des points A et B si λ est congru à 0 modulo π ;
b − a
a+b
b−a
1
ou le cercle de centre Ω d'axe ω =
−i cotan (λ)
et de rayon R =
2
2
|sin (λ)| 2 privé des points A et B si λ n'est pas congru à 0 modulo π.
Le centre du cercle Eλ , pour λ non congru à 0 modulo π, ayant une axe de la forme
a+b
+ iλ′ (b − a) est sur la droite passant par le milieu de [AB] et perpendiculaire à la
2
droite (AB) , c'est-à-dire sur la médiatrice du segment [AB]
( . )
a−c
Si A, B, C sont trois points non alignés, alors λ = arg
n'est pas congru à 0 modulo
b−c
π et ces points sont sur le cercle Eλ . Ce cercle, qui est uniquement déterminé, est le cercle
circonscrit au triangle T = ABC et son centre Ω est à l'intersection des trois médiatrices de T.
Un point M est sur ce cercle circonscrit à T si, et seulement si :
(
)
(
)
a−z
a−c
arg
≡ arg
(π)
b−z
b−c
ω=
ce qui est encore équivalent à :
(−−→ −−→) (−→ −−→)
M A, M B ≡ CA, CB (π)
(23.4)
c'est ce qu'on appelle l'équation angulaire du cercle passant par A, B, C.
L'existence de cercle circonscrit peut se montrer directement comme suit : si Ω est à l'intersection des médiatrices de [BC] et [AB] (ces droites ne sont pas parallèles puisque T est un
vrai triangle), on a alors ΩB = ΩC et ΩA = ΩB, donc ΩA = ΩC et Ω est sur la médiatrice
de [AC] , il est donc à l'intersection des trois médiatrices et les sommets du triangle sont sur le
cercle de centre Ω et de rayon R = ΩA = ΩB = ΩC (gure 23.8).
→
→
En utilisant les axes relativement au repère (Ω, −
e1 , −
e2 ) , le théorème 23.2 nous dit que le
a+b+c
et l'exercice 23.3 que l'orthocentre a pour axe
centre de gravité G a pour axe g =
3
h = a + b + c, ce qui se traduit vectoriellement par :
−−→
−→
ΩH = 3ΩG
et entraîne que ces trois points sont alignés.
Critère de cocyclicité
601
B
A
Ω
C
Figure
23.8 Cercle circonscrit à un triangle
Théorème 23.21 Dans un vrai triangle
centre de gravité sont alignés.
T, le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le
La droite passant par ces trois points est la droite d'Euler.
On peut déduire du théorème précédent le critère de cocyclicité suivant.
Théorème 23.22 Soient A, B, C, D des points deux à deux distincts. Ces points sont alignés
ou cocycliques si, et seulement si,
c−bd−a
est réel.
c−ad−b
Démonstration. On a :
(
c−bd−a
∈R
c−ad−b
On distingue alors deux cas.
)
(
(
)
)
c−bd−a
⇔ arg
≡ 0 (π)
c−ad−b
(
(
)
(
)
)
d−b
c−b
⇔ arg
≡ arg
(π)
d−a
c−a
(
)
c−b
Soit A, B, C sont alignés et dans ce cas arg
≡ 0 (π) , de sorte que :
c−a
(
)
(
(
)
)
c−bd−a
d−b
∈ R ⇔ arg
≡ 0 (π) ⇔ (A, B, C, D alignés) .
c−ad−b
d−a
Nombres complexes et géométrie
602
(
Soit A, B, C ne sont pas alignés et dans ce cas arg
modulo π, de sorte que :
(
c−bd−a
∈R
c−ad−b
)
(
⇔
(
arg
d−b
d−a
)
c−b
c−a
)
≡ λ (π) avec λ non congru à 0
)
⇔ (A, B, C, D cocycliques) .
≡ λ (π)
Ce résultat n'est que la traduction complexe de (23.4) pour A, B, C, D non alignés :
(A, B, C, D cocycliques) ⇔
((−−→ −−→) (−→ −−→)
)
DA, DB ≡ CA, CB (π)
En utilisant l'inégalité triangulaire avec son cas d'égalité dans C, on a le résultat suivant.
Théorème 23.23 (Ptolémée) Soient A, B, C, D des points deux à deux distincts. Le quadrilatère convexe ABCD est inscriptible dans un cercle si, et seulement si, AC · BD = AB · CD +
AD · BC (le produit des diagonales est égal à la somme des produits des cotés opposés).
Démonstration. Dans tous les cas, on a :
AC · BD = |(c − a) (d − b)|
= |(b − a) (d − c) + (d − a) (c − b)|
≤ |(b − a) (d − c)| + |(d − a) (c − b)| = AB · CD + AD · BC
(inégalité de Ptolémée) l'égalité étant réalisée si, et seulement si, il existe un réel λ > 0 tel que :
(b − a) (d − c) = λ (d − a) (c − b)
ce qui équivaut à
b−ad−c
= −λ ∈ R∗,− qui est encore équivalent à :
d−ab−c
(
)
b−ad−c
arg
≡ π (2π)
d−ab−c
ou à :
(
arg
b−a
d−a
et entraîne :
(
arg
soit :
)
(
− arg
b−a
d−a
b−c
d−c
)
(
≡ arg
)
≡ π (2π)
b−c
d−c
)
(π)
(−→ −−→) (−−→ −−→)
AB, AD ≡ CB, CD (π)
et A, B, C, D sont cocycliques.
Réciproquement si ces points sont cocycliques, on a :
(
)
b−c
arg
≡ arg
(π)
d−c
(−→ −−→)
(−−→ −−→)
b−ad−c
donc µ =
∈ R. Si µ > 0, alors AB, AD ≡ CB, CD (2π) et les points A, C
d−ab−c
sont dans le même demi-plan délimité par la droite (BD) , ce qui contredit le fait que ABCD
est convexe. On a donc µ < 0 et (b − a) (d − c) = λ (d − a) (c − b) avec λ > 0, ce qui entraîne
b−a
d−a
)
(
l'égalité dans l'inégalité de Ptolémée.
L'utilisation de la relation de Chasles pour les angles orientés de vecteurs nous permet de
montrer le théorème de l'angle inscrit qui suit.
Critère de cocyclicité
603
Théorème 23.24 Soient T
triangle. On a alors :
= ABC un vrai triangle et Ω le centre du cercle circonscrit à ce
(−→ −→) (−→ −→)
2 AB, AC ≡ ΩB, ΩC (2π)
(gure 23.9).
B
A
Ω
b
C
Figure
23.9 Théorème de l'angle inscrit
Démonstration. En utilisant la relation de Chasles, on a :
(−→ −→) (−→ −→) (−→ −→) (−→ −→)
ΩB, ΩC + ΩC, ΩA + ΩA, ΩB ≡ ΩB, ΩB ≡ 0 (2π)
Comme les triangles ΩAB et ΩAC sont isocèles en Ω, on a :
(−→ −→) (−→ −→)
2 AB, AΩ + ΩA, ΩB ≡ π (2π)
et :
(−→ −→) (−→ −→)
2 AΩ, AC + ΩC, ΩA ≡ π (2π)
ce qui donne par addition :
2
soit :
ou encore :
((−→ −→) (−→ −→)) (−→ −→) (−→ −→)
AB, AΩ + AΩ, AC + ΩA, ΩB + ΩC, ΩA ≡ 0 (2π)
(−→ −→) (−→ −→) (−→ −→)
2 AB, AC + ΩA, ΩB + ΩC, ΩA ≡ 0 (2π)
(−→ −→) (−→ −→)
2 AB, AC − ΩB, ΩC ≡ 0 (2π)
604
Théorème 23.25 Soient
semble :
Nombres complexes et géométrie
a, b deux nombres complexes distincts et λ un nombre réel. L'en{
(
)
}
z−a
z ∈ C \ {a, b} | arg
≡ λ (2π)
z−b
est la droite (AB) privée du segment [AB] si λ ≡ 0 modulo 2π, le segment [AB] privé de A et
B si λ ≡ π modulo 2π, ou un arc de cercle d'extrémités A, B privé de ces points (arc capable),
si λ n'est pas congru à 0 modulo π.