Nombres complexes (2)

Nombres complexes (2)
A. Module et argument d'un nombre complexe.
1- Coordonnées polaires
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct O , u , v .
Le point M, autre que O, a pour coordonnées polaires (r, ), signifie que :
• r =OM
• est une mesure en radian de l'angle orienté u ,
OM .
On a les trois relations suivantes : r = x 2 y 2 , x=rcos et y=rsin .
2- Application aux nombres complexes
Soit z = x + iy un nombre complexe non nul, M le point d'affixe z.
Si le point M a pour coordonnées polaires (r, ), alors nous dirons que :
• r est le module de z, on note r = | z |.
• est un argument de z, on note =arg (z) ( est défini à 2 près).
x
y
On en déduit que z= x 2 y2 , cos=
et sin= .
z
z
Remarques
•
z2=z z .
•
z=z et arg( z ) = -arg(z).
• |-z| = |z| et arg(-z) = arg(z) + .
• z réel non nul équivaut à arg(z) = 0 ou arg(z) = .
• z imaginaire pur non nul équivaut à arg(z)=
ou arg(z)= .
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2
3- Forme trigonométrique d'un nombre complexe.
Soit z un nombre complexe non nul.
Si r = | z | et =arg (z), alors z=r cosi sin .
Si r>0 et z=r cosi sin , alors r = | z | et =arg (z).
La forme z=r cosi sin (avec r positif) est appelée forme trigonométrique de z.
Exemples :
a) Forme trigonométrique de z1 =
1i 3 .
1
3
On a z 1= 13=2 . D'où z1 =2 i =2cos isin .
2
2
3
3
b) Forme trigonométrique de z 2=2i .
2
1
i
; ceci est la forme trigonométrique, il existe
On a z 2= 41= 5 . D'où z 2= 5
5 5
2
1
un réel tel que cos=
et sin =
mais il n'a pas une forme simple, 0,46 .
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B. Module, argument et opérations
1- Inégalité triangulaire
Quels que soient les complexes z et z' : |z + z'| |z| + |z'|.
2- Produit
Pour tous nombres complexes non nuls z et z' :
zz '=zz ' et arg(zz') = arg(z) + arg(z').
Démonstration :
Soient z = r(cos + i sin ) et z' = r'(cos ' + i sin ').
zz' = rr'(cos cos ' - sin sin ' + i (cos sin ' - sin cos ' )) = rr'(cos(+')+i sin(+')).
D'où, |zz'| = rr' = |z||z'| et arg(zz') = +' = arg(z) + arg(z').
n
n
Pour tout entier naturel non nul n, z =z et arg (zn) = n arg (z).
En particulier, on a la formule de Moivre : (cos + i sin )n = cos n + i sin n .
3- Quotient
Pour tous nombres complexes non nuls z et z' :
z
z
z
=
et arg
=arg (z) – arg (z').
z ' z '
z'
Démonstration :
1
1
1
1
=
Comme z ' =1 , on a z ' =1 d'où
,
z'
z'
z ' z'
1
1
et arg (z') + arg
= 0 d'où arg
= - arg (z').
z'
z'
4- Lien avec le plan complexe
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct O , u , v .
Si A et B sont des points distincts d'affixes a et b, alors AB = |b-a |, et u , AB= arg b
a .
Si A, B, C et D sont 4 points d'affixes a, b, c et d, avec a b et c d
d c
alors .
AB , CD =arg
b
a
Démonstration
d c
.
AB , CD= AB , u u , C
D = – arg(b – a) + arg(d – c)=arg
b
a
C. Notation exponentielle
i
Pour tout réel , on note e =cos isin .
1- Exemples
•
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i
e =cosi sin =
1 (c'est la formule d'Euler, souvent considérée comme la plus belle
formule des mathématiques)
i sin =i
2
2
2
2
1
3
2i /3
e
=cos
i sin
=
i 3
3
2
2
e i / 2=cos
•
•
2- Propriétés
Pour tous les réels et ', et tout entier naturel non nul n :
i
i
• e =1 et arg e =
i
e
n
i
' • e e =e
, i ' =e
, e i =e
i , e i =ei n e
(on retrouve les règles usuelles de calcul avec les exponentielles )
Si z est un nombre complexe non nul, l'écriture z=r e i avec r=|z| et = arg(z) est appelée
forme exponentielle de z.
i
i '
i ' D. Nombres complexes et transformations
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct O , u , v .
Soit F une transformation du plan complexe. On lui associe la fonction f de dans qui à
un complexe z affixe de M associe f(z)=z' affixe du point M'=F(M).
z'=f(z) est l'écriture complexe de la transformation F.
1- Translations
La translation de vecteur w
transforme un point M en un point M' tel que MM '=
w.
w est le vecteur d'affixe a, son écriture complexe est z' = z + a.
Si 2- Homothéties
L'homothétie de centre et de rapport k transforme le point M en le point M' tel que
M '=k M .
Si est l'affixe de , son écriture complexe est z '
=k z
.
Si = O (origine du repère), on obtient z' = kz.
3- Symétries
•
•
•
La symétrie centrale de centre d'affixe a pour écriture complexe z '
=
z
,
c'est l'homothétie de centre et de rapport -1.
La symétrie axiale d'axe O , u a pour écriture complexe z '= z .
La symétrie axiale d'axe O , v a pour écriture complexe z ' =
z .
4- Rotations
La rotation d'angle et de centre d'affixe a pour écriture complexe z ' =ei z
.
Si = O (origine du repère), on obtient z ' =z ei .
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