Nombres complexes (2)

Nombres complexes (2)
A. Module et argument d'un nombre complexe.
1- Coordonnées polaires
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct
O , u , v
.
Le point M, autre que O, a pour coordonnées polaires (r, ), signifie que :
r =OM
est une mesure en radian de l'angle orienté
u , OM 
.
On a les trois relations suivantes :
r= x
2
y
2
,
x=rcos
et
y=rsin
.
2- Application aux nombres complexes
Soit z = x + iy un nombre complexe non nul, M le point d'affixe z.
Si le point M a pour coordonnées polaires (r, ), alors nous dirons que :
r est le module de z, on note r = | z |.
est un argument de z, on note =arg (z) ( est défini à 2 près).
On en déduit que
z= x
2
y
2
,
cos=x
z
et
sin=y
z
.
Remarques
z
2
=z z
.
z=z
et arg(
z
) = -arg(z).
|-z| = |z| et arg(-z) = arg(z) + .
z réel non nul équivaut à arg(z) = 0 ou arg(z) = .
z imaginaire pur non nul équivaut à arg(z)=
2
ou arg(z)=
2
.
3- Forme trigonométrique d'un nombre complexe.
Soit z un nombre complexe non nul.
Si r = | z | et =arg (z), alors
z=rcosisin 
.
Si r>0 et
z=rcosisin 
, alors r = | z | et =arg (z).
La forme
z=rcosisin 
(avec r positif) est appelée forme trigonométrique de z.
Exemples :
a) Forme trigonométrique de
z1=1i 3
.
On a
z1 = 13=2
. D'où
z
1
=21
2i
3
2=2cos  3isin  3
.
b) Forme trigonométrique de
z
2
=2i
.
On a
z
2
= 41= 5
. D'où
z
2
= 52
5i1 5
; ceci est la forme trigonométrique, il existe
un réel tel que
cos=2
5
et
sin =1
5
mais il n'a pas une forme simple,
0,46
.
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B. Module, argument et opérations
1- Inégalité triangulaire
Quels que soient les complexes z et z' : |z + z'|  |z| + |z'|.
2- Produit
Pour tous nombres complexes non nuls z et z' :
zz'=zz '
et arg(zz') = arg(z) + arg(z').
Démonstration :
Soient z = r(cos + i sin ) et z' = r'(cos ' + i sin ').
zz' = rr'(cos cos ' - sin  sin ' + i (cos sin ' - sin  cos ' )) = rr'(cos(+')+i sin(+')).
D'où, |zz'| = rr' = |z||z'| et arg(zz') = +' = arg(z) + arg(z').
Pour tout entier naturel non nul n,
z
n
=z
n
et arg (zn) = n arg (z).
En particulier, on a la formule de Moivre : (cos + i sin )n = cos n + i sin n .
3- Quotient
Pour tous nombres complexes non nuls z et z' :
z
z '
=z
z '
et arg
z
z '
=arg (z)  arg (z').
Démonstration :
Comme
z' 1
z' =1
, on a
z'
1
z'
=1
d'où
1
z'
=1
z'
,
et arg (z') + arg
1
z '
= 0 d'où arg
1
z '
= - arg (z').
4- Lien avec le plan complexe
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct
O , u , v
.
Si A et B sont des points distincts d'affixes a et b, alors AB = |b-a |, et
u , AB=argba
.
Si A, B, C et D sont 4 points d'affixes a, b, c et d, avec a b et c  d
alors
AB , CD
=arg
dc
ba
.
Démonstration
AB , CD= AB , u u , CD
=  arg(b  a) + arg(d  c)=arg
dc
ba
.
C. Notation exponentielle
Pour tout réel , on note
ei=cos isin 
.
1- Exemples
e
i
=cosisin =1
(c'est la formule d'Euler, souvent considérée comme la plus belle
formule des mathématiques)
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e
i/2
=cos 
2isin  2=i
e
2i/3
=cos 2
3isin 2 3=1 2i
3
2
2- Propriétés
Pour tous les réels  et ', et tout entier naturel non nul n :
e
i
=1
et arg
e
i
=
e
i
e
i'
=e
i'
,
e
i
e
i'
=e
i'
,
e
i
=e
i
,
e
i
n
=e
i n
(on retrouve les règles usuelles de calcul avec les exponentielles )
Si z est un nombre complexe non nul, l'écriture
z=r e
i
avec r=|z| et  = arg(z) est appelée
forme exponentielle de z.
D. Nombres complexes et transformations
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct
O , u , v
.
Soit F une transformation du plan complexe. On lui associe la fonction f de dans qui à
un complexe z affixe de M associe f(z)=z' affixe du point M'=F(M).
z'=f(z) est l'écriture complexe de la transformation F.
1- Translations
La translation de vecteur
w
transforme un point M en un point M' tel que
MM '= w
.
Si
w
est le vecteur d'affixe a, son écriture complexe est z' = z + a.
2- Homothéties
L'homothétie de centre  et de rapport k transforme le point M en le point M' tel que
M '=k M
.
Si  est l'affixe de , son écriture complexe est
z '=kz
.
Si  = O (origine du repère), on obtient z' = kz.
3- Symétries
La symétrie centrale de centre  d'affixe  a pour écriture complexe
z '= z
,
c'est l'homothétie de centre  et de rapport -1.
La symétrie axiale d'axe
O , u
a pour écriture complexe
z '=z
.
La symétrie axiale d'axe
O , v
a pour écriture complexe
z ' =z
.
4- Rotations
La rotation d'angle  et de centre  d'affixe  a pour écriture complexe
z ' =e
i
z
.
Si  = O (origine du repère), on obtient
z ' =z e
i
.
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