Questions ROC sur les complexes Pondichéry 2008 On suppose connus les résultats suivants 1. Dans le plan complexe , on donne par leurs affixes zA , zB et zC trois points A,B et C. → → zB − zC CB z −z Alors z − z = et arg B C = (CA ; CB) (2π) A C CA zA − zC 2. Soit z un nombre complexe et θ un réel : z = eiθ ⇔ |z| = 1 et arg(z) = θ + 2kπ , k ∈ Z Démontrer que la rotation r d'angle α et de centre Ω d'affixe ω est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que : z' − ω = eiθ(z − ω) Amérique du Sud 2006 →→ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O; u ; v ). On prendra pour unité graphique 1 cm. → → → → On rappelle que pour tout vecteur w non nul d'affixe z , on a |z| = || w || et arg(z) = ( u , w ) Soit M, N et P trois points du plan, d'affixes respectives m, n et p tels que m ≠ n et m ≠ p. → → p − m 1. Démontrer que arg = (MN , MP) n − m p − m 2. Interpréter géométriquement le nombre n − m Centres étangers 2007 1. Démontrer qu'un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si −z = − z − 2. Démontrer qu'un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z 3. Démontrer que pour tout nombre complexe z , on a l'égalité z−z = |z|² Amérique du Nord 2006 Prérequis : le module d'un complexe z , noté |z| vérifie |z|² = z−z Démontrer que : pour tous nombres complexes z1 et z2 , |z1 × z2| = |z1| × |z2| 1 1 pour tout nombre complexes non nul z , z = |z| Centres étrangers 2006 On rappelle les deux résultats suivants : i. Si z est un nombre complexe non nul , on a les équivalences suivantes : |z| = r z = r(cos θ + i sin θ) ⇔ arg z = θ (2π) r > 0 cos(a + b) = cosa cos b − sin a sin ii. Pour tous réels a et b : sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a Montrer que pour tous complexes non nuls z1 et z2 |z1z2| = |z1| × |z2| et arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) (2π) Métropole 2006 Prérequis : si z et z' sont 2 complexes non nuls , arg(zz') = arg(z) + arg(z') (2π) → → → pour tout vecteur w non nul d'affixe z , arg(z) = ( u ; w ) (2π) z' 1. Soit z et z' deux complexes non nuls : démontrer que arg = arg(z') − arg(z) (2π) z → → c − a 2. Soit A,B,C trois points d'affixes respectives a,b,c : démontrer que arg = (AB;AC) b − a