Questions ROC sur les complexes

Questions ROC sur les complexes
Pondichéry 2008
On suppose connus les résultats suivants
1. Dans le plan complexe , on donne par leurs affixes z
A
, z
B
et z
C
trois points A,B et C.
Alors 
z
B
− z
C
z
A
− z
C
= CB
CA et arg 
z
B
− z
C
z
A
− z
C
= ( → CA ; → CB) (2π)
2. Soit z un nombre complexe et θ un réel : z = e
iθ
⇔ |z| = 1 et arg(z) = θ + 2kπ , k ∈ Z
Démontrer que la rotation r d'angle α et de centre Ω d'affixe ω est la transformation du plan
qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que : z' − ω = e
iθ
(z − ω)
Amérique du Sud 2006
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O;→ u ;→ v ). On prendra pour unité
graphique 1 cm.
On rappelle que pour tout vecteur → w non nul d'affixe z , on a |z| = ||→ w|| et arg(z) = (→ u ,→ w)
Soit M, N et P trois points du plan, d'affixes respectives m, n et p tels que m ≠ n et m ≠ p.
1. Démontrer que arg
p − m
n − m = ( →
MN , → MP)
2. Interpréter géométriquement le nombre 
p − m
n − m
Centres étangers 2007
1. Démontrer qu'un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si − z = − z
2. Démontrer qu'un nombre complexe z est réel si et seulement si − z = z
3. Démontrer que pour tout nombre complexe z , on a l'égalité z− z = |z|²
Amérique du Nord 2006
Prérequis : le module d'un complexe z , noté |z| vérifie |z|² = z
−
z
Démontrer que :
 pour tous nombres complexes z
1
et z
2
, |z
1
× z
2
| = |z
1
| × |z
2
|
 pour tout nombre complexes non nul z , 
1
z = 1
|z|

Centres étrangers 2006
On rappelle les deux résultats suivants :
i. Si z est un nombre complexe non nul , on a les équivalences suivantes :
|z| = r
arg z = θ (2π) ⇔
z = r(cos θ + i sin θ)
r > 0
ii. Pour tous réels a et b :
cos(a + b) = cosa cos b − sin a sin
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
Montrer que pour tous complexes non nuls z
1
et z
2
|z
1
z
2
| = |z
1
| × |z
2
| et arg(z
1
z
2
) = arg(z
1
) + arg(z
2
) (2π)
Métropole 2006
Prérequis : si z et z' sont 2 complexes non nuls , arg(zz') = arg(z) + arg(z') (2 π )
pour tout vecteur
→
w non nul d'affixe z , arg(z) = (
→
u ;
→
w) (2 π )
1. Soit z et z' deux complexes non nuls : démontrer que arg 
z'
z = arg(z') − arg(z) (2π)
2. Soit A,B,C trois points d'affixes respectives a,b,c : démontrer que arg 
c − a
b − a = ( →
AB; → AC)