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Démonstration 06
Démontrons tout d'abord par récurrence le résultat suivant (inégalité de Bernoulli) :
Soit x un réel tel que x > -1, on a : (1 + x)n ³ 1 + nx pour tout n ∈ IN .
x étant un réel fixé avec x > -1, soit P(n) la proposition (1 + x)n ³ 1 + nx
Pour n = 0, on a (1 + x)n = (1 + x)0 = 1
1 + nx = 1 + 0 = 1 . La proposition P(0) est vérifiée.
et
Supposons la proposition vraie pour un entier fixé n.
Alors (1 + x)n ³ 1 + nx
En multipliant par (1 + x) qui est un réel strictement positif (x > -1), on obtient
(1 + x)n+1 ³ (1 + nx)(1 + x) c'est-à-dire (1 + x)n+1 ³ 1 + x + nx + nx2
Comme nx2 est supérieur ou égal à 0, on en déduit
(1 + x)n+1 ³ 1 + x + nx c'est-à-dire
(1 + x)n+1 ³ 1 + (n + 1)x
La proposition est alors vraie pour l'entier n + 1.
On a donc démontré par récurrence que si x est un réel tel que x > -1, on a :
(1 + x)n ³ 1 + nx pour tout n ∈ IN .
Soit q un nombre réel,
Si q > 0 , on peut écrire q = 1 + x avec x = q - 1, donc x > -1
L'inégalité de Bernouilli permet alors d'écrire
pour tout n ∈ IN
(1 + x)n ³ 1 + nx , c'est-à-dire qn ³ 1 + n(q - 1)
●
Lorsque q > 1, on a
q - 1 > 0 , donc lim n(q - 1) = +∞
n→+∞
On peut alors en déduire que
●
●
lim qn = +∞
n→+∞
Lorsque q = 1, on a qn = 1 , donc
lim qn = 1
n→+∞
Lorsque 0 < q < 1, on pose q' = 1 et on a alors q' > 1 et q = 1 .
q
q'
n
1
1
On peut écrire qn =   =
.
q' (q')n
Comme q' > 1, on a vu précédemment que
lim (q')n = +∞ donc
n→+∞
●
Lorsque q = 0, on a qn = 0 pour tout n ∈ IN, donc lim qn = 0
●
Lorsque - 1 < q < 0
●
1 = 0 donc
(q')n
lim qn = 0
n→+∞
n→+∞
on peut écrire | qn | = | q |n
alors 0 < |q| < 1 , donc
●
lim
n→+∞
lim | q |n = 0 et par conséquent
n→+∞
lim | qn | = 0 donc
n→+∞
lim qn = 0
n→+∞
Lorsque q = -1 , on a qn = 1 si n est pair et qn = -1 si n est impair.
La suite (qn) n'a pas de limite.
Lorsque q < -1 , on a | q | > 1, donc lim | q |n = +∞
n→+∞
Les valeurs de qn sont donc en valeur absolue aussi grandes que l'on veut à partir d'un certain rang,
mais la suite (qn) prend des valeurs positives pour n pair et négatives pour n impair.
La suite (qn) n'a pas de limite.
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