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Limites de suites
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Démonstrations
Démonstration 06
Démontrons tout d'abord par récurrence le résultat suivant (inégalité de Bernoulli) :
Soit x un réel tel que x > -1, on a : (1 + x)
n
³ 1 + nx pour tout n ∈ IN .
x étant un réel fixé avec x > -1, soit P(n) la proposition (1 + x)
n
³ 1 + nx
Pour n = 0, on a (1 + x)
n
= (1 + x)
0
= 1 et 1 + nx = 1 + 0 = 1 . La proposition P(0) est vérifiée.
Supposons la proposition vraie pour un entier fixé n.
Alors (1 + x)
n
³ 1 + nx
En multipliant par (1 + x) qui est un réel strictement positif (x > -1), on obtient
(1 + x)
n+1
³ (1 + nx)(1 + x) c'est-à-dire (1 + x)
n+1
³ 1 + x + nx + nx
2
Comme nx
2
est supérieur ou égal à 0, on en déduit
(1 + x)
n+1
³ 1 + x + nx c'est-à-dire (1 + x)
n+1
³ 1 + (n + 1)x
La proposition est alors vraie pour l'entier n + 1.
On a donc démontré par récurrence que si x est un réel tel que x > -1, on a :
(1 + x)
n
³ 1 + nx pour tout n ∈ IN .
Soit q un nombre réel,
Si q > 0 , on peut écrire q = 1 + x avec x = q - 1, donc x > -1
L'inégalité de Bernouilli permet alors d'écrire
pour tout n ∈ IN (1 + x)
n
³ 1 + nx , c'est-à-dire q
n
³ 1 + n(q - 1)
●
Lorsque q > 1, on a q - 1 > 0 , donc
n → +∞
lim n(q - 1) = +∞
On peut alors en déduire que
n → +∞
lim q
n
= +∞
●
Lorsque q = 1, on a q
n
= 1 , donc
n → +∞
lim q
n
= 1
●
Lorsque 0 < q < 1, on pose q' = 1
q et on a alors q' > 1 et q = 1 q' .
On peut écrire q
n
=
1
q'
n
= 1
(q')
n
.
Comme q' > 1, on a vu précédemment que
n → +∞
lim (q')
n
= +∞ donc
n → +∞
lim 1
(q')
n
= 0 donc
n → +∞
lim q
n
= 0
●
Lorsque q = 0, on a q
n
= 0 pour tout n ∈ IN, donc
n → +∞
lim q
n
= 0
●
Lorsque - 1 < q < 0 on peut écrire | q
n
| = | q |
n
alors 0 < |q| < 1 , donc
n → +∞
lim | q |
n
= 0 et par conséquent
n → +∞
lim | q
n
| = 0 donc
n → +∞
lim q
n
= 0
●
Lorsque q = -1 , on a q
n
= 1 si n est pair et q
n
= -1 si n est impair.
La suite (q
n
) n'a pas de limite.
●
Lorsque q < -1 , on a | q | > 1, donc
n → +∞
lim | q |
n
= +∞
Les valeurs de q
n
sont donc en valeur absolue aussi grandes que l'on veut à partir d'un certain rang,
mais la suite (q
n
) prend des valeurs positives pour n pair et négatives pour n impair.
La suite (q
n
) n'a pas de limite.