TP3 solutions

Telechargé par Alaa Yacoub
IFT2125 – Introduction à l’algorithmique Automne 2011
Démonstration 3
Démonstrateur: Michael Blondin
1.
Par définition, nous avons tn5tn1+6tn2=0. Nous nous rappelons que le polynôme caracté-
ristique associé à la récurrence linéaire homogène a0tn+...+aktnk=0est
a0xk+a1xk1+...+ak.
Le polynôme caractéristique associé à cette récurrence est donc p(x)=x25x+6. Nous avons
p(x)=(x3)(x2) et ainsi ses racines sont 3et 2. Puisque toutes les racines de psont de
multiplicité 1, nous avons tn=c13n+c22npour certaines constantes c1et c2. Sachant que t0=0
et t1=1, nous obtenons
c1+c2=0
3c1+2c2=1.
En soustrayant deux fois la première équation à la seconde, nous obtenons c1=1et du coup
c2=1. Nous concluons donc que tn=3
n2n. Ainsi, tnœ(3n),puisque
lim
næŒ
3n2n
3n=lim
næŒ
3n
3nlim
næŒ
2n
3n
=lim
næŒ 1lim
næŒ 32
34n
=10
=1.
2.
Par définition, nous avons tn2tn1+2tn3tn4=0. Nous nous rappelons que le polynôme
caractéristique associé à la récurrence linéaire homogène a0tn+...+aktnk=0est
a0xk+a1xk1+...+ak.
Le polynôme caractéristique associé à cette récurrence est donc p(x)=x42x3+2x1. Nous
vérifions aisément que 1et 1sont des racines de p(x),
p(1) = 142·13+2·11=12+21=0
p(1) = (1)42·(1)3+2·11=1+221=0.
1
Nous avons donc p(x)=(x1)(x+ 1)q(x)=(x21)q(x)pour un certain q. Trouvons q,
x22x+1
x21"x42x3+2x1
x4+x2
2x3+x2+2x
2x32x
x21
x2+1
0
Nous avons donc p(x)=(x1)(x+ 1)(x22x+ 1) = (x1)(x+ 1)(x1)(x1) et ainsi ses
racines sont 1(multiplicité 3) et 1. Nous avons donc
tn=c1+c2n+c3n2+c4(1)n
pour certaines constantes c1,c
2,c
3et c4. Sachant que tn=npour 0ÆnÆ3, nous obtenons
c1++c4=0
c1+c2+c3c4=1
c1+2c2+4c3+c4=2
c1+3c2+9c3c4=3
ce qui est équivalent à la forme matricielle suivante
Q
c
c
c
a
100 1
1111
124 1
1391
R
d
d
d
b
Q
c
c
c
a
c1
c2
c3
c4
R
d
d
d
b
=Q
c
c
c
a
0
1
2
3
R
d
d
d
b
.
2
Nous obtenons donc
Q
c
c
c
a
100 1
1111
124 1
1391
R
d
d
d
b
Q
c
c
c
a
c1
c2
c3
c4
R
d
d
d
b
=Q
c
c
c
a
0
1
2
3
R
d
d
d
b
Q
c
c
c
a
100 1
0112
024 0
0392
R
d
d
d
b
Q
c
c
c
a
c1
c2
c3
c4
R
d
d
d
b
=Q
c
c
c
a
0
1
2
3
R
d
d
d
b
L2=L2L1
L3=L3L1
L4=L4L1
Q
c
c
c
a
100 1
0112
002 2
006 4
R
d
d
d
b
Q
c
c
c
a
c1
c2
c3
c4
R
d
d
d
b
=Q
c
c
c
a
0
1
0
0
R
d
d
d
b
L3=L32L2
L4=L43L2
Q
c
c
c
a
100 1
0112
001 1
006 4
R
d
d
d
b
Q
c
c
c
a
c1
c2
c3
c4
R
d
d
d
b
=Q
c
c
c
a
0
1
0
0
R
d
d
d
b
L2=L2/2
Q
c
c
c
a
100 1
0112
001 1
000 1
R
d
d
d
b
Q
c
c
c
a
c1
c2
c3
c4
R
d
d
d
b
=Q
c
c
c
a
0
1
0
0
R
d
d
d
b
L4=L46L3
L4=L4/2
Q
c
c
c
a
100 1
0103
001 1
000 1
R
d
d
d
b
Q
c
c
c
a
c1
c2
c3
c4
R
d
d
d
b
=Q
c
c
c
a
0
1
0
0
R
d
d
d
b
L2=L2L3
Q
c
c
c
a
1000
0100
0010
0001
R
d
d
d
b
Q
c
c
c
a
c1
c2
c3
c4
R
d
d
d
b
=Q
c
c
c
a
0
1
0
0
R
d
d
d
b
L1=L1L4
L2=L2+3L4
L3=L3L4
et ainsi c1=c3=c4=0et c2=1. Nous concluons donc que tn=net qu’ainsi tnœ(n).
3.
Posons ti=T(2i), nous avons donc
ti=4T(2i1)+2
i=4ti1+2
i.
Ainsi, ti4ti1=2
i. Nous avons donc une récurrence linéaire non homogène. Nous nous rappelons
que le polynôme caractéristique associé à la récurrence a0tn+...+aktnk=bnq(n)est
(a0xk+...+ak)(xb)d+1
dest le degré de q(n). Dans notre cas, le polynôme caractéristique est donc p(x)=(x4)(x2)
et ses racines sont 4et 2. Nous avons donc ti=c14i+c22i.Deplus,
3
t0=T(20)=T(1) = 1
t1=T(21)=T(2) = 4T(1) + 2 = 4 ·1+2 =6.
Nous obtenons donc c1+c2=1
4c1+2c2=6.
En soustrayant deux fois la première équation à la seconde, nous obtenons 2c1=4ce qui implique
c1=2et du coup c2=1. Nous avons donc ti=2·4i2i. Puisque nous considérons seulement
les nqui sont des puissances de 2et par définition de ti, nous avons T(n)=tlog n. Ainsi
T(n)=2·4log n2log n
=2·22logn2log n
=2·2log n22log n
=2n2n.
Nous concluons donc que T(n)=2n2net que T(n)œ(n2|nest une puissance de 2).
En considérant que T(n)=4T(Ân/2Ê)+n(pour être bien définie sur tout n), nous pouvons enlever
la condition du . Montrons par induction sur n,queT(n)est non décroissante, autrement dit,
que pour tout nØkØ1, nous avons T(n)ØT(k). Remarquons d’abord que T(n)ØT(n)pour
tout n. Le cas où n=1est donc complété. De plus, nous avons
T(n+ 1) = 4T(Â(n+ 1)/2Ê)+n+1 (par définition)
Ø4T(Ân/2Ê)+n+1 (par hypothèse d’induction)
=T(n)+1 (par définition)
ØT(n)
ØT(k)(par hypothèse d’induction).
De plus, n2est non décroissante et est 2-harmonieuse car (2n)2=4n2œO(n2). Nous concluons
donc que T(n)œ(n2).
4.
Nous avons une récurrence linéaire non homogène. Nous nous rappelons que le polynôme caracté-
ristique associé à la récurrence a0tn+...+aktnk=bnq(n)est
(a0xk+...+ak)(xb)d+1
dest le degré de q(n). Dans notre cas, le polynôme caractéristique est donc p(x)=(x2)(x3)2
et ses racines sont 2et 3(multiplicité 2). Nous avons donc tn=c12n+c23n+c3n3n. Calculons les
trois premières valeurs de tn:
t0=t0
t1= (1 + 5) ·312t0= 18 + 2t0
t2= (2 + 5) ·322t1= 99 + 4t0
4
Nous obtenons donc c1+c2=t0
2c1+3c2+3c3= 18 + 2t0
4c1+9c2+ 18c3= 99 + 2t0
ce qui est équivalent à la forme matricielle suivante
Q
c
a
11 0
23 3
4 9 18
R
d
bQ
c
a
c1
c2
c3
R
d
b=Q
c
a
t0
18 + 2t0
99 + 4t0
R
d
b.
Nous obtenons donc
Q
c
a
11 0
23 3
4 9 18
R
d
bQ
c
a
c1
c2
c3
R
d
b=Q
c
a
t0
18 + 2t0
99 + 4t0
R
d
b
Q
c
a
11 0
01 3
0 5 18
R
d
bQ
c
a
c1
c2
c3
R
d
b=Q
c
a
t0
18
99
R
d
b
L2=L22L1
L3=L34L1
Q
c
a
110
013
003
R
d
bQ
c
a
c1
c2
c3
R
d
b=Q
c
a
t0
18
9
R
d
bL3=L35L2
Q
c
a
110
013
001
R
d
bQ
c
a
c1
c2
c3
R
d
b=Q
c
a
t0
18
3
R
d
bL3=L3/3
Q
c
a
110
010
001
R
d
bQ
c
a
c1
c2
c3
R
d
b=Q
c
a
t0
9
3
R
d
bL2=L23L3
Q
c
a
100
010
001
R
d
bQ
c
a
c1
c2
c3
R
d
b=Q
c
a
t09
9
3
R
d
bL1=L1L2
et ainsi c1=t09,c
2=9et c3=3. Nous concluons donc que
tn=(t09)2n+9·3n+3n3n.
Ainsi, tnœ(n3n)puisque
lim
næŒ
(t09)2n+9·3n+3n3n
n3n=(t09) lim
næŒ
2n
n3n+9 lim
næŒ
3n
n3n+3 lim
næŒ
n3n
n3n
=(t09) lim
næŒ
2n
n3n+9 lim
næŒ
1
n+3 lim
næŒ 1
=(t09) 3lim
næŒ
1
n·lim
næŒ 32
34n4+9 lim
næŒ
1
n+3 lim
næŒ 1
=(t09)(0 ·0) + 9 ·0+3·1
=3.
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