t0=T(20)=T(1) = 1
t1=T(21)=T(2) = 4T(1) + 2 = 4 ·1+2 =6.
Nous obtenons donc c1+c2=1
4c1+2c2=6.
En soustrayant deux fois la première équation à la seconde, nous obtenons 2c1=4ce qui implique
c1=2et du coup c2=≠1. Nous avons donc ti=2·4i≠2i. Puisque nous considérons seulement
les nqui sont des puissances de 2et par définition de ti, nous avons T(n)=tlog n. Ainsi
T(n)=2·4log n≠2log n
=2·22logn≠2log n
=2·2log n2≠2log n
=2n2≠n.
Nous concluons donc que T(n)=2n2≠net que T(n)œ(n2|nest une puissance de 2).
En considérant que T(n)=4T(Ân/2Ê)+n(pour être bien définie sur tout n), nous pouvons enlever
la condition du . Montrons par induction sur n,queT(n)est non décroissante, autrement dit,
que pour tout nØkØ1, nous avons T(n)ØT(k). Remarquons d’abord que T(n)ØT(n)pour
tout n. Le cas où n=1est donc complété. De plus, nous avons
T(n+ 1) = 4T(Â(n+ 1)/2Ê)+n+1 (par définition)
Ø4T(Ân/2Ê)+n+1 (par hypothèse d’induction)
=T(n)+1 (par définition)
ØT(n)
ØT(k)(par hypothèse d’induction).
De plus, n2est non décroissante et est 2-harmonieuse car (2n)2=4n2œO(n2). Nous concluons
donc que T(n)œ(n2).
4.
Nous avons une récurrence linéaire non homogène. Nous nous rappelons que le polynôme caracté-
ristique associé à la récurrence a0tn+...+aktn≠k=bnq(n)est
(a0xk+...+ak)(x≠b)d+1
où dest le degré de q(n). Dans notre cas, le polynôme caractéristique est donc p(x)=(x≠2)(x≠3)2
et ses racines sont 2et 3(multiplicité 2). Nous avons donc tn=c12n+c23n+c3n3n. Calculons les
trois premières valeurs de tn:
t0=t0
t1= (1 + 5) ·31≠2t0= 18 + 2t0
t2= (2 + 5) ·32≠2t1= 99 + 4t0
4