Optique ondulatoire - Jean

Optique J.J. Herstain
1
Optique
OptiqueOptique
Optique
Par Jean-Jacques Herstain 20/01/2011
Les formules encadrées avec ** sont à parfaitement connaître
Les formules encadrées avec * sont à savoir retrouver très rapidement (moins de 30 secondes)
Les formules encadrées sans * sont à savoir retrouver
B
BB
B Optique Ondula
Optique OndulaOptique Ondula
Optique Ondulat
tt
toire
oireoire
oire
1
1 N No ot ti io on ns s d de e p ph ho ot to om mé ét tr ri ie e
1.1 Amplitude complexe d’une vibration lumineuse
La source S émet une onde électromagnétique sinusoïdale de
pulsation ω, polarisée rectilignement.
Le champ électrique au point Μ :
(
)
cos
o
e e t
ω ϕ
= −
Ou en notation complexe :
(
)
(
)
exp exp
o
e e j t j
ω ϕ
= −
(
)
exp
o
e e j t
ω
=
avec
(
)
exp
o o
e e j
ϕ
= −
ou encore
(
)
exp
e A j t z
ω = avec
(
)
exp
o
A e j
ϕ
= −
A
est appelé amplitude complexe de la vibration.
1.2 Flux lumineux
La puissance transportée par l’onde à travers une surface S est égale au flux du vecteur de
Poynting
o
E B
µ
π
∧
=
.
Pour une onde plane la puissance moyenne transportée est donc proportionnelle au carré du
module du champ électrique.
Par définition le flux lumineux à travers une surface est proportionnel à cette puissance
moyenne. Il est donc proportionnel au carré du module de l’amplitude complexe.
On pourra écrire
*
k A A
φ
= ⋅
*
A
étant le complexe conjugué de l’amplitude complexe.
L’unité de flux lumineux est le lumen : lm
1.3 Éclairement
Si une surface
dS reçoit un flux lumineux
d
φ
on définit l’éclairement de cette surface :
d
E
dS
φ
=
L’éclairement étant proportionnel au flux, on a
*
1
E k A A
= ⋅
L’unité d’éclairement lumineux est le lux ( lx homogène à une puissance sur une surface)
Sol éclairé par le soleil à midi : 100 000 lx. Éclairage intérieur : 1000 lx
Éclairage du sol par la pleine lune à minuit : 20 lx

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2
1.4 Intensité lumineuse
Si une source émet un flux lumineux
d
φ
à travers un angle solide
d
Ω
on définit l’intensité
lumineuse :
I
d
d
φ
=
Ω
Un angle solide dΩ est défini par
2
u dS
d
r
⋅
Ω =
L’intensité étant proportionnelle au flux, on a
*
2
I
k A A
= ⋅
L’unité d’intensité lumineuse est la candela ( cd homogène à une puissance sur un angle
solide)
C’est l’unité de base de la photométrie. C’était jadis l’intensité émise par une surface de un
soixantième de cm² de platine en fusion (1769°C) ; historiquement c’était l’intensité
lumineuse produite par une bougie.
Aujourd’hui, la candela correspond à une puissance de 1/683 W/sr à la radiation de sensibilité
maximale de l'œil (standard), à 540 THz, soit 555 nm dans le vert.
Remarque : L’éclairement et l’intensité sont proportionnels.
2
2 I In nt te er rf fé ér re en nc ce es s d dé él lo oc ca al li is sé ée es s
Hypothèse : Deux ondes produites par deux sources
ponctuelles monochromatiques, de même fréquence, de
même polarisation sont détectées en provenance de
deux directions voisines.
2.1 Surfaces d’interférence
2.1.1 Formule fondamentale des interférences
Deux sources S
1
et S
2
émettent des ondes monochromatiques de pulsation ω polarisées
rectilignement.
Si les deux directions S
1
M et S
2
M sont voisines, les champs électriques des deux ondes sont
quasiment colinéaires et leurs valeurs algébriques peuvent s’ajouter.
(
)
( )
1 2 1 2 exp
e e e A A j t z
ω = + = + (exact si la polarisation est orthogonale au plan de
figure, approché si la polarisation est dans le plan de figure)
comme par ailleurs
(
)
exp
e A j t z
ω =
il en résulte que l’amplitude complexe du champ résultant est égale à la somme des
amplitudes complexes de chaque vibration :
1 2
A A A
= +
**
ou encore
(
)
(
)
1 1 2 2
exp exp
A a j a j
ϕ ϕ
= − + −
a
1
et a
2
étant les amplitudes des ondes
parvenant au point M et ϕ
1
et ϕ
2
leurs phases respectives.
On obtient alors l’éclairement d’une surface au voisinage de M :
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 1 1 2 2
exp exp exp exp E K a j a j a j a j ϕ ϕ ϕ ϕ = − + − ⋅ +
( )
(
)
( )
(
)
{
}
2 2
1 2 1 2 2 1 1 2
exp exp E K a a a a j j ϕ ϕ ϕ ϕ = + + − + −
soit encore
(
)
2 2
1 2 1 2 2 1
2 cos E Ka Ka Ka a
ϕ ϕ
= + + −

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3
avec
2
1 1
E Ka
= et
2
2 2
E Ka
= E
1
étant l’éclairement que l’on obtiendrait en M avec
la seule source S
1
et E
2
avec la seule source S
2
.
Finalement :
(
)
1 2 1 2 2 1
2 cos E E E E E
ϕ ϕ
= + + −
**
Puisque éclairement et intensité sont proportionnels on obtient de même :
(
)
1 2 1 2 2 1
I I I 2 I I cos
ϕ ϕ
= + + −
*
I
1
étant l’intensité que l’on obtiendrait en M avec la seule source S
1
et I
2
avec la source S
2
.
2.1.2 Ordre d’interférence
A partir de la formule fondamentale des interférences
(
)
1 2 1 2 2 1
I I I 2 I I cos
ϕ ϕ
= + + −
On peut chercher l’ensemble des points M d’une région de l’espace qui reçoivent la même
intensité lumineuse.
Si on considère que dans cette région I
1
et I
2
restent constants, la condition pour que I soit
constant est
2 1
constante
ϕ ϕ
− =
.
La phase au point M de l’onde provenant de S
1
est
( )
1 1 1
2
S
S M
π
ϕ ϕ λ = +
1
S
ϕ
étant la phase de l’onde émise par la source S
1
et
(
)
1
S M
le chemin optique entre S
1
et M.
λ étant la longueur d’onde dans le vide des ondes émises par les deux sources.
De même, la phase au point M de l’onde provenant de S
2
est
( )
2 2 2
2
S
S M
π
ϕ ϕ λ = +
.
Si on suppose les deux sources en phase :
2 1
S S
ϕ ϕ
=
Il s’ensuit :
( ) ( )
2 1 2 1
2
S M S M
π
ϕ ϕ λ − = −
**
qui devient, si le milieu est le vide :
[ ]
2 1 2 1
2
S M S M
π
ϕ ϕ λ − = −
Les points qui reçoivent la même intensité lumineuse satisfont à la condition
2 1
constante
S M S M
− =
.
Ce sont donc des hyperboloïdes de révolution de foyers S
1
et S
2
.
Ces surfaces d’égale intensité sont appelées surfaces d’interférence .
Ce phénomène est observable en tout point éclairé par les deux sources, on dit que les
interférences sont délocalisées .
Pour préciser l’intensité lumineuse en tout point d’une surface d’interférence, on définit
l’ordre d’interférence :
2 1
2
p
ϕ ϕ
π
−
=
**
(
)
(
)
2 1
S M S M
p
λ λ
−
∆
= =
** ∆
∆∆
∆ est appelé différence de marche

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4
• si
2 1
2
k k p k
ϕ ϕ π
− = ∈ ⇒=
Z
(
)
2
1 2Max
I I I
= +
Si p est entier , l’intensité est maximum.
• si
( )
2 1
1
2 1
2
k k p k ϕ ϕ π
− = + ∈ ⇒= +
Z
(
)
2
min 1 2
I I I
= −
Si p est entier plus un demi, l’intensité est minimum
Quand p varie d’une unité, on passe sur une surface d’interférence de même intensité.
Le contraste du phénomène est défini par
Max min
Max min
I I
I I
C
−
=+**
C varie entre 0 (si I
1
=0 ou I
2
=0) et 1 (si I
1
= I
2
)
2.1.3 Observation dans un plan parallèle à l’axe des sources
Les traces des hyperboloïdes dans le plan d’observation sont des hyperboles assimilables à
des segments de droites au voisinage de l’axe médiateur des sources.
d est la distance entre les deux sources.
D est la distance entre l’axe des sources et le plan d’observation.
λ est la longueur d’onde.

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5
En raisonnant dans le plan formé par l’axe médiateur des sources et l’axe des sources :
2
2
1
2
d
S M D x = + −
en développant au second ordre :
2
1
12
12
d
x
S M D D
−
+ ≃
de même :
2
2
2
2
d
S M D x = + +
2
2
12
12
d
x
S M D D
+
+ ≃
2 2
2 1
1 1
2 2
1 1
2 2
d d
x x
S M S M D D D
+ −
− + − − ≃
2 1 2
xd xd
S M S M D
D D
− = ≃
d’où
xd
p
D
λ
=*
Une autre méthode permet d’atteindre ce résultat :
Ω étant le milieu des sources, H est le symétrique de S
1
par rapport ΩΜ (médiane quasiment
confondue avec la bissectrice).
S
1
M=HM, donc
2 1 2
S M S M S H
− =
θ étant l’angle (suppose petit) entre ΩΟ et ΩΜ
2 1
xd
S M S M d
D
θ −≃ ≃
La distance entre deux franges brillantes est appelée interfrange. On l’obtient en écrivant
qu’on passe d’une frange à la suivante en faisant varier l’ordre d’interférence de 1.
1
p
∆ =
xd
p
D
λ
∆
∆ =
D
i x
d
λ
= ∆ = *
Si les deux sources ont la même luminosité I
o
, la formule fondamentale des interférences
donne :
o
2
I 2I 1 cos
xd
D
πλ
= +
ou encore
2
o
I 4I cos
xd
D
πλ
=
ou
2
o
I 4I cos
x
i
π
=
Le contraste est alors égal à 1 car I
min
=0
Remarque : Il y a toujours un maximum sur l’axe