Nombres complexes 1 Forme algébrique d`un nombre complexe

Chapitre 2–Nombres complexes 1
BCPST 851 27 septembre 2011
Chapitre 2
Nombres complexes
On suppose donné un nombre in’appartenant pas à R.
1 Forme algébrique d’un nombre complexe
D´ efinition 1
On définit le corps des nombres complexes C={x+iy,(x,y)∈R2}.
On définit sur cet ensemble une addition et une multiplication étendant
celle de Ren posant :
•(x+iy)+(x0+iy0)=(x+x0)+(y+y0)i
•(x+iy)(x0+iy0)=(xx0−yy0)+(xy0+x0y)i
On a donc en particulier i2=−1.
Propri´ et´ e1
Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique a+ib avec a,b∈R.
Remarques
•On parle de la forme algébrique de z.
•Attention, il n’y a unicité que si l’on force aet bà être réels.
Propri´ et´ e2
•Dans Ccomme dans R, l’addition et la multiplication sont com-
mutatives et associatives.
•De même, la multiplication dans Cest distributive sur l’addition.
•Tout nombre complexe z ,0a un unique inverse, noté 1
z, tel que
z×1
z=1.
•Soient z,z0∈C. On a zz0=0⇔(z=0 ou z0=0).
Exercice 1
1. Mettre sous forme algébrique (2 −3i)3.
2. Mettre sous forme algébrique 1
2+i.
3. Calculer i19.

Chapitre 2–Nombres complexes 2
D´ efinition 2
Soit z =a+ib un nombre complexe sous forme algébrique (on a donc
a,b∈R).
On appelle :
•partie réelle de z le nombre réel <(z)=a ;
•partie imaginaire de z le nombre réel =(z)=b ;
•conjugué de z le nombre complexe z =a−ib ;
•module de z le nombre réel positif ou nul |z|=√a2+b2.
Remarques
•Un complexe zest réel ssi sa partie imaginaire est nulle.
•Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.
On note parfois iRl’ensemble des imaginiares purs : iR={z∈C,<(z)=0}.
Propri´ et´ e3
Conjugaison
Soient z,z1,...,zndans Cet p ∈Z.
•z1+··· +zn=z1+··· +zn
•z1× ··· × zn=z1× ··· × zn
•En particulier, zp=(z)p.
•z=z
•Si z ,0,Ç1
zå=1 z
Propri´ et´ e4
Module
Soient z,z1,...,zndans Cet p ∈Z.
• |z1× ··· × zn|=|z1|×···×|zn|
•En particulier, |zp|=|z|p.
•Si z ,0, alors 
1
z=1 |z|.
• |z|=0⇔z=0
•z.z=|z|2
• |z1+··· +zn|6|z1|+··· +|zn|(inégalité triangulaire)
Propri´ et´ e5
Parties réelle et imaginaire
Soient z,z1,...,zn∈C.
• <(z)=1
2(z+z)
• =(z)=1
2i(z−z)
• <(z1+··· +zn)=<(z1)+··· +<(zn)
• =(z1+··· +zn)==(z1)+··· +=(zn)
• |<(z)|6|z|
• |=(z)|6|z|
•Si λest réel, <(λz)=λ<(z).
•Si λest réel, =(λz)=λ=(z).
Remarque
Attention, la partie réelle d’un produit (ou d’un quotient) n’est pas égale au produit (ou au quotient)
des parties réelles. De même pour la partie imaginaire.

Chapitre 2–Nombres complexes 3
2 Exponentielle complexe
2.1. Forme trigonométrique
D´ efinition 3
Soit z =a+ib, avec a et b dans R, un nombre complexe.
On définit l’exponentielle de z par
exp(z)=exp(a+ib)=ea(cos b+isin b)
Remarques
•Cette définition étend la fonction exponentielle aux nombres complexes ; on notera souvent ez
pour exp(z).
•On remarque que 1 =e0,i=eiπ
2,−1=eiπet −i=e−iπ 2.
Propri´ et´ e6
Soient z,z0∈Cet n ∈Z. On a
•ez+z0=ezez0
•(ez)n=enz
•en particulier, 1
ez=e−z
•ez=ez
Exercice 2Calculer (1 +i)2011.
Remarque
Ces propriétés étendent celles de l’exponentielle réelle. Attention cependant à la deuxième : si l’on
oublie que ndoit être entier, on écrit facilement des absurdités du type i=eiπ
2=e2iπ×1 4=Äe2iπä1
4=
11
4=1. . .
Propri´ et´ e7
Soit θ∈R. On a
•eiθ=cos θ+isin θ
•(cos θ+isin θ)n=cos(nθ)+isin(nθ)(Moivre)
•cos θ=eiθ+e−iθ
2(Euler)
•sin θ=eiθ−e−iθ
2i(Euler)
Exercice 3Pour x∈R, exprimer :
1. cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos xet sin x;
2. sin3xen fonction de sin(3x) et de sin x.
Exercice 4Pour n∈Net x∈R, calculer n
P
k=0
cos(kx) et n
P
k=0
sin(kx).

Chapitre 2–Nombres complexes 4
Th´ eor` eme 8
Forme trigonométrique d’un complexe
•Tout nombre complexe z peut s’écrire sous la forme ρeiθavec ρ>0
et θ∈R.
•Si θ, θ0∈Ret si ρ > 0et ρ0>0, alors
ρeiθ=ρ0eiθ0⇔
ρ=ρ0
et
θ=θ0+2kπ, avec k ∈Z
Remarques
•On note usuellement θ≡θ0[2π] ou θ≡θ0mod 2πpour ∃k∈Z, θ =θ0+2kπ. De même, θ=θ0
mod πsignifie ∃k∈Z, θ =θ0+kπ.
•La condition ρ∈R+assure l’unicité de ρ, qui est égal à |z|.
D´ efinition 4
Si z =ρeiθ, avec ρ,0, on dit que θest un argument de z.
On note alors arg(z)≡θ[2π]ou arg(z)≡θmod 2π.
Remarques
•0 n’a pas d’argument.
•Parmi tous les arguments d’un complexe z,0, un et un seul appartient à l’intervalle ] −π, π].
Cet argument est dit argument principal de z.
Propri´ et´ e9
Argument
Soient z,z0∈C∗et n ∈Z.
•arg(zz0)≡arg(z)+arg(z0) mod 2π
•arg(zn)≡narg(z) mod 2π
•arg Ä1
zä≡ −arg(z) mod 2π
•arg Äz
z0ä≡arg(z)−arg(z0) mod 2π
Remarque
Ces propriétés sont une simple traduction de celles déjà vues pour l’exponentielle complexe.
2.2. Plan complexe
Le plan muni d’un repère orthonormé (O,−→ u,−→ v) s’identifie de manière naturelle à l’ensemble C:
à un point M(x,y) on fait correspondre le complexe z=x+iy appelé affixe de M, et réciproquement.
Cette identification peut aussi se faire avec la forme trigonométrique de zen travaillant en coordonnées
polaires : à un complexe non nul z=ρeiθcorrespond le point du plan de coordonnées polaires (ρ, θ)
(et donc de coordonnées cartésiennes (ρcos θ, ρ sin θ)).
Il est bon d’avoir en tête une représentation géométrique d’un certain nombre de définitions et pro-
priétés sur les complexes. Dans ce qui suit, on a, comme souvent, effacé la distinction entre complexe
zet point d’affixe z.
•Rcorrespond à l’axe des abscisses.
•L’ensemble iRdes imaginaires purs correspond à l’axe des ordonnées.

Chapitre 2–Nombres complexes 5
•La partie réelle d’un complexe zest son projeté orthogonal sur l’axe des abscisses.
•La partie imaginaire d’un complexe zn’est pas son projeté orthogonal sur l’axe des ordon-
nées.
• |z−z0|est la distance entre zet z0.
•En particulier, |z|est la distance entre zet l’origine.
•Si a∈Cet r∈R+, l’ensemble {z∈C,|z−a|=r}est le cercle de rayon ret de centre a.
•Soient zet z0deux complexes non nuls. arg(z0)≡arg(z)[2π] ssi z0∈[Oz).
•Soient zet z0deux complexes non nuls. arg(z0)≡arg(z)[π] ssi z0∈(Oz).
• −zest le symétrique de zpar rapport à l’origine.
•zest le symétrique de zpar rapport à l’axe des abscisses.
•Si r∈R∗
+, la transformation z7→ rz est une homothétie de rapport ret de centre O.
•Si θ∈R, la transformation z7→ zeiθest une rotation d’angle θet de centre O.
Exercice 5
1. On considère deux complexes non nuls z1=ρ1eiθ1et z2=ρ2eiθ2. Donner une condition néces-
saire et suffisante sur θ1et θ2pour que |z1+z2|=|z1|+|z2|. Comment cette condition s’interprète-
t-elle géométriquement ?
2. Même question en passant cette fois par la forme algébrique de z1et z2.
Un complexe peut aussi être vu naturellement comme un vecteur du plan. zcorrespondra au vecteur
−−→
OM, où Mest le point d’affixe z. Réciproquement, à un vecteur −−→ AB de coordonnées (x,y), on fera
correspondre le complexe z−−→
AB =x+iy dit affixe vectorielle de −−→
AB. Dans les propriétés suivantes, on a
noté zAl’affixe d’un point A.
•z−−→
AB =zB−zA
• ||−−→ AB|| =|z−−→
AB|=AB =|zB−zA|
•Å−−→ AB,−−→ CDã=arg z−−→
CD
z−−→
AB !(pour A,Bet C,D)
•−−→ AB est colinéaire à −−→ CD ssi z−−→
AB
z−−→
CD !∈R(pour A,Bet C,D).
•−−→ AB est orthogonal à −−→ CD ssi z−−→
AB
z−−→
CD !est imaginaire pur (pour A,Bet C,D).
2.3. Complexes de module 1
D´ efinition 5
On note Ul’ensemble des nombres complexes de module 1.
U={z∈C,|z|=1}.
Propri´ et´ e10
U={eiθ, θ ∈R}={cos θ+isin θ, θ ∈R}
={a+ib tels que a,b∈Ret a2+b2=1}