Nombres complexes 1 Forme algébrique d`un nombre complexe

Chapitre 2 – Nombres complexes
1
BCPST 851
27 septembre 2011
Chapitre 2
Nombres complexes
On suppose donné un nombre i n’appartenant pas à R.
1
Forme algébrique d’un nombre complexe
Définition 1
On définit le corps des nombres complexes C = {x + iy, (x, y) ∈ R2 }.
On définit sur cet ensemble une addition et une multiplication étendant
celle de R en posant :
• (x + iy) + (x0 + iy0 ) = (x + x0 ) + (y + y0 )i
• (x + iy)(x0 + iy0 ) = (xx0 − yy0 ) + (xy0 + x0 y)i
On a donc en particulier i2 = −1.
Propriété 1
Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique a+ib avec a, b ∈ R.
Remarques
• On parle de la forme algébrique de z.
• Attention, il n’y a unicité que si l’on force a et b à être réels.
Propriété 2
• Dans C comme dans R, l’addition et la multiplication sont commutatives et associatives.
• De même, la multiplication dans C est distributive sur l’addition.
• Tout nombre complexe z , 0 a un unique inverse, noté 1z , tel que
z × 1z = 1.
• Soient z, z0 ∈ C. On a zz0 = 0 ⇔ (z = 0 ou z0 = 0).
Exercice 1
1. Mettre sous forme algébrique (2 − 3i)3 .
2. Mettre sous forme algébrique
3. Calculer i19 .
1
.
2+i
Chapitre 2 – Nombres complexes
2
Définition 2
Soit z = a + ib un nombre complexe sous forme algébrique (on a donc
a, b ∈ R).
On appelle :
• partie réelle de z le nombre réel <(z) = a ;
• partie imaginaire de z le nombre réel =(z) = b ;
• conjugué de z le nombre complexe z = a − ib ; √
• module de z le nombre réel positif ou nul |z| = a2 + b2 .
Remarques
• Un complexe z est réel ssi sa partie imaginaire est nulle.
• Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.
On note parfois iR l’ensemble des imaginiares purs : iR = {z ∈ C, <(z) = 0}.
Propriété 3
Conjugaison
Soient z, z1 , . . . , zn dans C et p ∈ Z.
• z1 + · · · + zn = z1 + · · · + zn
• z1 × · · · × zn = z1 × · · · × zn
• En particulier, z p = (z) p .
• z=z
Ç å
1
1
• Si z , 0,
=
z
z
Propriété 4
Module
Soient z, z1 , . . . , zn dans C et p ∈ Z.
• |z1 × · · · × zn | = |z1 | × · · · × |zn |
• En particulier, |z p | = |z| p .
• Si z , 0, alors 1z = |z|1 .
• |z| = 0 ⇔ z = 0
• z.z = |z|2
• |z1 + · · · + zn | 6 |z1 | + · · · + |zn | (inégalité triangulaire)
Propriété 5
Parties réelle et imaginaire
Soient z, z1 , . . . , zn ∈ C.
• <(z) = 21 (z + z)
• =(z) = 2i1 (z − z)
• <(z1 + · · · + zn ) = <(z1 ) + · · · + <(zn )
• =(z1 + · · · + zn ) = =(z1 ) + · · · + =(zn )
• |<(z)| 6 |z|
• |=(z)| 6 |z|
• Si λ est réel, <(λz) = λ<(z).
• Si λ est réel, =(λz) = λ=(z).
Remarque
Attention, la partie réelle d’un produit (ou d’un quotient) n’est pas égale au produit (ou au quotient)
des parties réelles. De même pour la partie imaginaire.
Chapitre 2 – Nombres complexes
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3
Exponentielle complexe
2.1. Forme trigonométrique
Définition 3
Soit z = a + ib, avec a et b dans R, un nombre complexe.
On définit l’exponentielle de z par
exp(z) = exp(a + ib) = ea (cos b + i sin b)
Remarques
• Cette définition étend la fonction exponentielle aux nombres complexes ; on notera souvent ez
pour exp(z).
π
π
• On remarque que 1 = e0 , i = ei 2 , −1 = eiπ et −i = e−i 2 .
Propriété 6
Soient z, z0 ∈ C et n ∈ Z. On a
0
0
• ez+z = ez ez
• (ez )n = enz
• en particulier, e1z = e−z
• ez = ez
Exercice 2
Calculer (1 + i)2011 .
Remarque
Ces propriétés étendent celles de l’exponentielle réelle. Attention cependant à la deuxième : si l’on
π
1
Ä
oublie que n doit être entier, on écrit facilement des absurdités du type i = ei 2 = e2iπ× 4 = e2iπ
1
14 = 1 . . .
Propriété 7
Soit θ ∈ R. On a
• eiθ = cos θ + i sin θ
• (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ) (Moivre)
iθ
−iθ
• cos θ = e +e
(Euler)
2
eiθ −e−iθ
• sin θ = 2i (Euler)
Exercice 3
Pour x ∈ R, exprimer :
1. cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos x et sin x ;
2. sin3 x en fonction de sin(3x) et de sin x.
Exercice 4
Pour n ∈ N et x ∈ R, calculer
n
P
k=0
cos(kx) et
n
P
k=0
sin(kx).
ä1
4
=
Chapitre 2 – Nombres complexes
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Théorème 8
Forme trigonométrique d’un complexe
• Tout nombre complexe z peut s’écrire sous la forme ρeiθ avec ρ > 0
et θ ∈ R.
• Si θ, θ0 ∈ R et si ρ > 0 et ρ0 > 0, alors
ρeiθ = ρ0 eiθ
0


ρ


= ρ0
⇔  et


θ = θ0 + 2kπ, avec k ∈ Z
Remarques
• On note usuellement θ ≡ θ0 [2π] ou θ ≡ θ0 mod 2π pour ∃k ∈ Z, θ = θ0 + 2kπ. De même, θ = θ0
mod π signifie ∃k ∈ Z, θ = θ0 + kπ.
• La condition ρ ∈ R+ assure l’unicité de ρ, qui est égal à |z|.
Définition 4
Si z = ρeiθ , avec ρ , 0, on dit que θ est un argument de z.
On note alors arg(z) ≡ θ[2π] ou arg(z) ≡ θ mod 2π.
Remarques
• 0 n’a pas d’argument.
• Parmi tous les arguments d’un complexe z , 0, un et un seul appartient à l’intervalle ] − π, π].
Cet argument est dit argument principal de z.
Propriété 9
Argument
Soient z, z0 ∈ C∗ et n ∈ Z.
• arg(zz0 ) ≡ arg(z) + arg(z0 ) mod 2π
n
• arg(z
Ä )ä ≡ n arg(z) mod 2π
1
• arg z ≡ − arg(z) mod 2π
Ä ä
• arg zz0 ≡ arg(z) − arg(z0 ) mod 2π
Remarque
Ces propriétés sont une simple traduction de celles déjà vues pour l’exponentielle complexe.
2.2. Plan complexe
−u ,→
−v ) s’identifie de manière naturelle à l’ensemble C :
Le plan muni d’un repère orthonormé (O,→
à un point M(x, y) on fait correspondre le complexe z = x + iy appelé affixe de M, et réciproquement.
Cette identification peut aussi se faire avec la forme trigonométrique de z en travaillant en coordonnées
polaires : à un complexe non nul z = ρeiθ correspond le point du plan de coordonnées polaires (ρ, θ)
(et donc de coordonnées cartésiennes (ρ cos θ, ρ sin θ)).
Il est bon d’avoir en tête une représentation géométrique d’un certain nombre de définitions et propriétés sur les complexes. Dans ce qui suit, on a, comme souvent, effacé la distinction entre complexe
z et point d’affixe z.
• R correspond à l’axe des abscisses.
• L’ensemble iR des imaginaires purs correspond à l’axe des ordonnées.
Chapitre 2 – Nombres complexes
5
• La partie réelle d’un complexe z est son projeté orthogonal sur l’axe des abscisses.
• La partie imaginaire d’un complexe z n’est pas son projeté orthogonal sur l’axe des ordonnées.
• |z − z0 | est la distance entre z et z0 .
• En particulier, |z| est la distance entre z et l’origine.
• Si a ∈ C et r ∈ R+ , l’ensemble {z ∈ C, |z − a| = r} est le cercle de rayon r et de centre a.
• Soient z et z0 deux complexes non nuls. arg(z0 ) ≡ arg(z)[2π] ssi z0 ∈ [Oz).
• Soient z et z0 deux complexes non nuls. arg(z0 ) ≡ arg(z)[π] ssi z0 ∈ (Oz).
• −z est le symétrique de z par rapport à l’origine.
• z est le symétrique de z par rapport à l’axe des abscisses.
• Si r ∈ R∗+ , la transformation z 7→ rz est une homothétie de rapport r et de centre O.
• Si θ ∈ R, la transformation z 7→ zeiθ est une rotation d’angle θ et de centre O.
Exercice 5
1. On considère deux complexes non nuls z1 = ρ1 eiθ1 et z2 = ρ2 eiθ2 . Donner une condition nécessaire et suffisante sur θ1 et θ2 pour que |z1 +z2 | = |z1 |+|z2 |. Comment cette condition s’interprètet-elle géométriquement ?
2. Même question en passant cette fois par la forme algébrique de z1 et z2 .
Un complexe peut aussi être vu naturellement comme un vecteur du plan. z correspondra au vecteur
−−→
−−→
OM, où M est le point d’affixe z. Réciproquement, à un vecteur AB de coordonnées (x, y), on fera
−−→
−→ = x + iy dit affixe vectorielle de AB. Dans les propriétés suivantes, on a
correspondre le complexe z−AB
noté zA l’affixe d’un point A.
−→ = z B − zA
• z−AB
−−→
−→ | = AB = |z B − zA |
• ||AB|| = |z−AB
!
Å
ã
−−→
zCD
−−→ −−→
(pour A , B et C , D)
• AB, CD = arg
−→
z−AB
!
−→
z−AB
−−→
−−→
∈ R (pour A , B et C , D).
• AB est colinéaire à CD ssi
−−→
zCD
!
−→
z−AB
−−→
−−→
• AB est orthogonal à CD ssi
est imaginaire pur (pour A , B et C , D).
−−→
zCD
2.3. Complexes de module 1
Définition 5
On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
U = {z ∈ C, |z| = 1}.
Propriété 10
U = {eiθ , θ ∈ R} = {cos θ + i sin θ, θ ∈ R}
= {a + ib tels que a, b ∈ R et a2 + b2 = 1}
Chapitre 2 – Nombres complexes
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Remarques
• La représentation naturelle d’un complexe de module 1 (à utiliser dans 99% des cas) est eiθ ,
θ ∈ R.
• Dans le plan complexe, U correspond au cercle unité (aussi appelé cercle trigonométrique).
Soit z ∈ C. Montrer que |z| = 1 ⇔ z = 1z .
Exercice 6
Théorème 11
Racines de l’unité
Pour tout n ∈ N∗ , l’équation zn = 1 a exactement n solutions dans C,
appelées racines n-èmes de l’unité. On a
n
{z ∈ C, zn = 1} = e
2ikπ
n
o
, k ∈ ~1, n
Remarques
• Les racines deuxièmes de l’unité sont 1 et −1, les racines quatrièmes 1, −1, i et −i.
2iπ
2iπ
2iπ
• Les racines troisièmes de l’unité sont e 3 , e− 3 et 1. On note souvent j pour e 3 et ces racines
s’écrivent alors j, j2 et 1(= j3 ).
2.4. Formules de trigonométrie
Propriété 12
Pour tous a, b ∈ R, on a :
• cos2 a + sin2 a = 1
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
• sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
• cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 = 2 cos2 a − 1
• sin(2a) = 2 sin a cos aÄ ä
Ä
ä
a−b
cos
• cos a + cos b = 2 cosÄ a+b
2ä
Ä 2ä
a−b
• sin a + sin b = 2 sin a+b
cos
2
2
1
2
• 1 + tan a =
, quand ces expressions ont un sens.
cos2 a
tan a + tan b
• tan(a + b) =
, quand ces expressions ont un sens.
1 − tan a tan b
Remarque
Il faut savoir que ces formules existent et, au choix, être capable de les retrouver rapidement ou les
connaître par cœur.
3
Complexes et équations
3.1. Équations du second degré à coefficients réels
Soient a, b, c ∈ R avec a , 0. On considère l’équation (E) d’inconnue z ∈ C :
(E) : az2 + bz + c = 0
On pose ∆ = b2 − 4ac (∆ est donc un réel que l’on appelle discriminant de (E)).
Chapitre 2 – Nombres complexes
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Théorème 13
• Si ∆ > 0, l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes
√
√
−b + ∆
−b − ∆
et
2a
2a
• Si ∆ = 0, l’équation (E) admet une unique solution réelle (dite
double)
−b
2a
• Si ∆ < 0, l’équation (E) admet deux racines complexes non réelles
distinctes
√
√
−b + i |∆|
−b − i |∆|
et
2a
2a
Remarque
Si ∆ < 0, les deux solutions complexes de (E) sont conjuguées.
Propriété 14
Somme et produit des racines d’un trinôme
Soient z1 et z2 les deux solutions (éventuellement confondues) de (E).
On a
c
b
et z1 z2 =
z1 + z2 = −
a
a
3.2. Équations du type zn = a
Si a est un complexe non nul, l’équation zn = a possède exactement n racines distinctes dans C.
Une méthode possible pour les déterminer est exposée dans l’exemple suivant.
√
Résolvons dans C l’équation (E) : z4 = −2 + 2i 3, d’inconnue z.
√
• On
On a | − 2 + 2i 3| =
√
√ commence par mettre le membre de droite sous forme trigonométrique.
4 + 12 = 4, on cherche donc θ ∈ R tel que cos θ + i sin θ = − 12 + i 23 . D’après les valeurs
√
2iπ
, on a donc −2 + 2i 3 = 4e 3 .
remarquables de sin et cos, on peut prendre θ = 2π
3
• On cherche z sous forme trigonométrique z = ρeiα . Comme les solutions sont clairement non
nulles, on a

ρ4 = 4
Ä
ä
(1)
2iπ
(E) ⇔ ρeiα = 4e 3 ⇔ 
2π
4α ≡ 3 [2π] (2)
√4
√
Comme ρ est forcément un réel positif, la seule solution de (1) est ρ = 4 = 2.
L’équation (2) s’écrit ∃k ∈ Z, 4α = 2iπ
+ 2kπ, ce qui équivaut à ∃k ∈ Z, α = 2π
+ k π2 . Cette
3
3
équation a quatre solutions dans [0, 2π[ qui sont π6 , 2π
, 7π et 5π
. Les autres solutions dans R sont
3 6
3
toutes égales à l’une de ces solutions modulo 2π et ne donnentndonc
nouvelles
√ iπpas√de 2iπ
√ 7iπ solutions
√ 5iπ o
6
3
pour (E). Finalement, l’ensemble des solutions de (E) est donc
2e , 2e , 2e 6 , 2e 3 .
Exemple 7
Remarque
Si, pour une raison quelconque, on peut facilement déterminer une solution particulière z0 de
l’équation (E) : zn = a, on peut facilement trouver les autres en résolvant l’équation (qui est alors
n
équivalente à (E)) zz0 = 1. Nous verrons un exemple en travaux dirigés (exercice 14).
Chapitre 2 – Nombres complexes
8
Travaux dirigés
Exercice 8
Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
z1 = (5 − 3i)3
z2 =
4 − 3i
4 + 3i
z3 =
1
(4 − i)(3 + 2i)
z4 =
(3 + i)(2 − 3i)
5 + 2i
Exercice 9
Soit θ ∈ [0, 2π[. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :
z1 = 1 + eiθ
z2 = 1 − eiθ
z3 =
1 − eiθ
1 + eiθ
z4 = (1 + i)3
z5 =
1 − 4i
1 + 5i
z6 =
1 + 4i
1 − 5i
z7 =
(1 + i)2
.
1−i
Exercice 10
1. Soit θ un réel. Résoudre les équations d’inconnue réelle x suivantes :
cos(x) = cos(θ) , sin(x) = sin(θ) et tan(x) = tan(θ).
2. Soit n ∈ N∗ . Résoudre dans ]0, π[ l’équation cos(nx) = 0.
3. Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
√
π
2 cos(2x + ) = 3;
3
1
sin(x) 6 − ;
2
2 cos2 (x) + 3 cos x + 1 = 0;
cos(2x) > 0;
sin2 x + 3 cos x − 1 < 0;
π
π
sin2 (2x + ) = cos2 (x + ).
6
3
Exercice 11
π
tan(x + ) > −1;
4
√
cos(2x) − 3 sin(2x) = 1;
tan(x) 6 1;
Identité du parallélogramme
Montrer que :
∀(z, z0 ) ∈ C2 , |z + z0 |2 + |z − z0 |2 = 2(|z|2 + |z0 |2 ).
Interpréter géométriquement le résultat.
Exercice 12
1. Linéariser les expressions suivantes :
cos6 x; cos2 x sin4 x; sin5 x; cos3 (2x) sin3 x;
cos(2x) cos3 x.
2. Soit α un réel.
(a) Calculer cos(5α) et sin(5α) en fonction de cos(α) et sin(α).
π
(b) En déduire la valeur de cos 10
.
Chapitre 2 – Nombres complexes
Exercice 13
1.
n
X
Calculer pour tout entier naturel n et pour tous réels a et b les sommes suivantes.
!
(−1)k
k=0
n
X
9
n
cos(ka + b)
k
!
n
2.
k
sin(ka)
k
k=0
Exercice 14
Déterminer les nombres complexes z tels que :
1. z2 − 3z + 4 = 0
5. z3 = −(2 + i)3
2. z4 + z2 − 6 = 0
6. |z| = |z − 6 + 5i|
3. zz̄ + z + z̄ = 4
7. |z̄ + i| = 2
4. z4 − i = 0
8. z(2z̄ + 1) = 1
Exercice 15
9. |z2 | = |z|
z + 4i
∈R
10.
5z − 3
Ç
å
z−1
11. <
=0
z+1
2iπ
Soit n ∈ N∗ . On pose u = e n . Montrer que
n Ä
X
∀z ∈ C,
z + uk
än
= n(zn + 1)
k=1
Soient a, b et c trois nombres complexes de module 1 tels que a + b + c = 1. Le
but est de montrer que l’un au moins des trois nombres vaut 1.
Exercice 16
1. Montrer que
1
a
+ 1b +
1
c
= 1.
2. En déduire que ab + bc + ac = abc.
3. Montrer que (1 − a)(1 − b)(1 − c) = 0 et conclure.
Exercice 17
On note E = {z ∈ C, =(z) > 0} et F = {z ∈ C, |z| < 1}.
1. Montrer que : ∀z ∈ C, z ∈ E ⇒
z−i
z+i
∈ F.
2. On définit alors l’application :
f : E →
F
z−i
z 7→
z+i
(a) Montrer que tout nombre complexe Z de F admet un antécédent par f dans E.
(b) En déduire que f est bijective et déterminer f −1 .
3. On pose E1 = {z ∈ E; <(z) = 0} et E2 = {z ∈ E; |z| = 1} et on munit le plan d’un repère
orthonormé direct.
(a) Déterminer l’ensemble f (E1 ) et le représenter graphiquement.
(b) Déterminer l’ensemble f (E2 ) et le représenter graphiquement.