Ondes électromagnétiques dans la matière

Chapitre C-XIII
Ondes électromagnétiques dans la
matière : propagation, réflexion et
transmission.
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RÉSUMÉ :
On commence par étudier la propagation d’une onde électromagnétique dans quelques
types de milieux : un métal réel ou idéalisé, un plasma peu dense, éventuellement plongé
dans un champ magnétique statique, et un diélectrique linéaire.
On établit le lien entre les discontinuités des champs et les charges ou courants surfa-
ciques. On en déduit les coefficients de réflexion et de transmission à la surface d’un métal
réel ou parfait ou sur un dioptre entre diélectriques, en incidence normale ou oblique. On
détaille très attentivement la notion de courant surfacique libre. On s’intéresse aussi aux
coefficients énergétiques, tout particulièrement dans le cas d’indices complexes.
En annexe, on traite de la répartition du courant dans un circuit filiforme, des guides
d’onde et des électroaimants.
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Table des matières
C-XIII Ondes électromagnétiques dans la matière : propagation, réflexion
et transmission. 1
1 Propagation d’ondes électromagnétiques dans la matière. . . . . . . . . 5
1.a Méthodologie utilisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.b Ondes dans un métal. Effet de peau. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.c Modèle du métal parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.d Ondes dans un plasma peu dense. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.e Ondes dans un plasma peu dense magnétisé. . . . . . . . . . . . . 14
1.f Ondes dans un diélectrique linéaire homogène isotrope. . . . . . . 18
2 Réflexion et transmission d’ondes sur un dioptre. . . . . . . . . . . . . 23
2.a Lois de Snell-Descartes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.b Réflexion totale. Onde évanescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.c Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.d Réflexion sur un métal parfait en incidence normale. . . . . . . . . 31
2.e Réflexion sur un métal réel en incidence oblique. . . . . . . . . . . 32
2.f Coefficients de réflexion et transmission entre diélectriques. . . . . 36
2.g Coefficients de réflexion et transmission énergétiques (milieux non
absorbants)................................. 41
2.h Coefficients de réflexion et transmission énergétiques (milieux ab-
sorbants). ................................. 42
3 Problématiques annexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.a Répartition du courant alternatif dans un circuit filiforme. . . . . 45
3.b Onde propagative dans un guide d’onde. . . . . . . . . . . . . . . 49
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3.c Application aux ferromagnétiques. Exemple de l’électro-aimant. . 51
4

1 Propagation d’ondes électromagnétiques dans la matière.
1.a Méthodologie utilisée.
La transformation de Fourier à quatre dimensions permet de considérer, en notation
complexe, toute fonction scalaire de la position −→ r=−−→ OM et du temps tcomme somme
d’ondes planes progressives sinusoïdales de la forme
a∗(−→ k , ω) exp[i(ω t −−→ k·−→ r)]
En étudiant un seul des termes, noté alors pour alléger a∗exp[i(ω t −−→ k·−→ r)], sans
préciser les valeurs de ωet −→ k, on les étudie tous ; a∗est l’amplitude complexe.
Par projection sur les trois axes, on peut en dire autant d’une fonction vectorielle et
l’on étudiera donc des ondes planes progressives en −→ a∗exp[i(ω t −−→ k·−→ r)]
En notant kx,kyet kzles composantes de −→ ket x,yet zles coordonnées de M, les
ondes sont en :
exp[i(ω t −kxx−kyy−kzz)]
Pour ce type de fonction la dérivée partielle par rapport au temps ∂
∂t est formellement
une multiplication par i ω ; formellement, on a une réécriture symbolisée par ∂
∂t →i ω ; de
même : ∂
∂x → −i kx
∂
∂y → −i ky
∂
∂z → −i kz
Il en résulte que le vecteur symbolique « nabla » peut se transcrire ainsi :
−→
∇=d
dx−→
ex+d
dy−→
ey+d
dz−→
ez→ −i kx−→ ex−i ky−→ ey−i kz−→ ez=−i−→ k
et que, pour des fonctions de type ondes planes progressives sinusoïdales, scalaires ou
vectorielles selon le cas, on pourra affirmer, en notations complexes :
−−→
grad f=−→ ∇f=−i−→ k f =−i f −→ k
div −→ V=−→ ∇ · −→ V=−i−→ k·−→ V
−→
rot −→ V=−→ ∇ ∧ −→ V=−i−→ k∧−→ V
Par exemple, si l’on note −→ E=−→ E∗
0exp[i(ω t −−→
k·−→ r)] et −→ B=−→ B∗
0exp[i(ω t −−→
k·−→ r)],
l’équation de Maxwell-Faraday, soit −→ rot −→ E=−∂B
∂t , se traduit par :
−i−→ k∧−→ E=−i ω B
et même, après simplification par l’exponentielle (et anecdotiquement ici par −i), par :
−→
k∧−→ E∗
0=ω B∗ 0
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