CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS La

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CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS
Centre de préparation au Diplôme d’État d’Audioprothésiste
Épreuve de mathématiques
4 juin 2013.
Durée 1 heure.
La calculatrice n’est pas autorisée.
Le sujet comporte deux pages, les cinq exercices sont indépendants.
En annexe, pages 3 et 4 : un formulaire.
Barème indicatif :
Exercice 1 : 4 pts ; exercice 2 : 4 pts ; exercice 3 : 2 pts ; exercice 4 : 7 pts ; exercice 5 : 3 pts.
Exercice 1.
On considère la fonction de la variable réelle x définie par
1. Étudier la fonction sur son ensemble de définition.
Pour ce faire, après avoir déterminé l’ensemble de définition de la fonction, on calculera les
limites aux bornes de l’ensemble, on déterminera les variations de la fonction. Les résultats de
l’étude seront résumés dans le tableau de variation. On donnera également l’allure de la
courbe en faisant apparaitre les maxima ou minima éventuels, et les asymptotes.
2. Soit 
, où  est un paramètre réel, 
a) Exprimer  en fonction de 
b) En déduire la valeur de  lorsque  est au voisinage de l’infini.
Exercice 2.
Résoudre dans  le système d’inéquations : 
Exercice 3 .
1. Résoudre dans , l’ensemble des nombres complexes, l’équation d’inconnue
z
:
2. Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

2
Exercice 4.
Les fonctions qui suivent sont des fonctions de la variable réelle ,
 est un paramètre réel non nul.
Partie A.
Déterminer la période de la fonction 
.
Soit  la période obtenue.
Partie B.
On considère la fonction
m
f définie sur par :
Selon  :
1. Déterminer les limites de  aux bornes de .
2. Étudier les variations de la fonction sur.
3. En déduire le tableau de variation de  sur .
Partie C.
Soit la fonction  définie sur par :
On appellera
m
C
sa courbe représentative dans le plan P, rapporté au repère
→→
j,iO,
.
1. La fonction est-elle périodique ? Si oui, quelle est la valeur de la période ?
2. La fonction est-elle paire ? impaire ? Si c’est le cas, en déduire l’intervalle d’étude de la
fonction.
Selon :
3. Déterminer les limites de 
′
4. Construire le tableau de variation de  sur l’intervalle 
5. Donner l’allure de la courbe
m
C
sur l’intervalle .
Exercice 5.
Soit la fonction de la variable réelle de période ,définie de la façon suivante :
1. Construire le tableau de variations de  sur puis la représentation graphique de la fonction
sur cet intervalle.
2. En déduire la représentation graphique de la fonction sur l’intervalle puis l’expression de la
fonction sur cet intervalle.
3. En déduire la représentation graphique de la fonction sur l’intervalle  puis l’expression de la
fonction sur cet intervalle.

3
Formulaire de mathématiques
Trigonométrie :
Soit
x
un arc, l’image de
x
est le point
M
.
x
, mesure de
(
)
MOIO
r
r
,
≤≤= ≤≤= 1sin1- sin
1cos1- cos
xxy
xxx
M
M
.
Zkkx
x
x
tgx ∈+≠
= ,
2
,
cos
sin
π
π
.
Zkkx
x
x
ctgx ∈≠
= , ,
sin
cos
π
.
Formules fondamentales :
tgx
ctgx
xtg
x
xx
1
1
1
cos
1cossin
2
2
22
=
+
=
=+
Formules d’addition :
(
)
( )
( )
( ) yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
sincoscossinsin
sincoscossinsin
sinsincoscoscos
sinsincoscoscos
−=− +=+ +=− −=+
Formules de duplication :
xtg
tgx
xtg
xxx
xxxxx
2
2222
1
2
2
cossin22sin
1cos2sin21sincos2cos
−
=
=−=−=−=
Si
2
x
tgt =
−
=
+
−
=
+
=
2
2
2
2
1
2
1
1
cos
1
2
sin
t
t
tga
t
t
a
t
t
a
.
Formules de transformation en produit d’une somme ou d’une différence de sinus ou de cosinus :
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
qpqp
qp
qpqp
qp
qpqp
qp
qpqp
qp
−+
=−
−+
=+
−+
−=−
−+
=+
Formules de transformation en somme ou différence d’un produit de sinus ou de cosinus :
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
−−+−=
−++=
−++=
coscos
2
1
sinsin
sinsin
2
1
cossin
coscos
2
1
coscos

4
Dérivées usuelles :
fonctions
Fonctions dérivées intervalles
Znx
n
∈
1−n
nx
∗
ℜ .
ℜ∈ α
α
x
1− α
α x
∗+
ℜ .
Cce
cx
∈
cx
ce
ℜ .
xLn
x
1
∗
ℜ .
x
cos
.
xsin−
ℜ .
xsin
x
cos
. ℜ .
tgx
xtg
x
2
2
1
cos
1+=
+−ℜ π
π
k
2
ctgx
xctg
x
2
2
1
sin
1−=−
{
}
π k−ℜ
Primitives usuelles :
fonctions
Fonctions primitives intervalles
{
}
1 −−∈ Znx
n
1
1
+
+
n
x
n
ℜ .
ℜ∈ α
α
x
1 − α
α x
∗+
ℜ .
∗
∈Cce
cx
c
e
cx
ℜ .
ℜ∈
−a ax
1
.
axLn −
.
{
}
a−ℜ
x
cos
.
xsin
ℜ .
xsin
x
cos
−
. ℜ .
tgx .
xLn cos−
.
+−ℜ π
π
k
2
.
ctgx
xLn sin−
.
{
}
π k−ℜ

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS
Centre de préparation au diplôme d’état d’audioprothésiste
Epreuve de BIOLOGIE
durée (2 heures)
04 JUIN 2013
(La calculatrice n’est pas autorisée) Page 1/3
Question 1 : (6 points)
Réflexe myotatique et message nerveux
Lors d’un réflexe myotatique, un choc sur le tendon d’un muscle provoque sa contraction.
Afin d’étudier le cheminement et la nature des messages nerveux, l’expérience suivante est réalisée.
On étire de plus en plus fortement un fuseau neuromusculaire (1 à 3), et on enregistre les effets au niveau du
neurone sensitif correspondant (enregistrement A) et du motoneurone (enregistrement B).
Les électroneurogrammes montrent la différence de potentiel entre les milieux extracellulaire et le
cytoplasme de chaque neurone. A chaque enregistrement correspond une électroneurographie de l’état de
la synapse.
A partir des seuls documents, retrouvez des caractéristiques d’un message nerveux et dites sous qu’elle
forme il est codé au niveau des neurones et de la synapse.
Question 2 : (points) Evolution de phénotypes immunitaires
On cherche à comprendre la cause de l'évolution de la séropositivité pour le VIH de deux enfants : E1 né de la
mère M1 et E2 né de la mère M2.
Par la mise en relation des informations apportées par les documents 1 à 3 et vos connaissances,
expliquez l'origine et les évolutions différentes de la séropositivité chez ces deux enfants.