Les Déterminants Généralisés de Cauchy

Advances in Dynamical Systems and Applications.
ISSN 0973-5321 Volume 1 Number 1 (2006), pp. 59–77
c
°Research India Publications
http://www.ripublication.com/adsa.htm
Les D´ eterminants G´ en´ eralis´ es de Cauchy
Thomas Ernst
Department of Mathematics, Uppsala University,
P.O. Box 480, SE-751 06 Uppsala, Sweden
E-mail: [email protected]
Abstract
L’objet de cet article est de pr´ esenter une expression nouvelle du d´ eterminant
g´ en´ eralis´ e de Cauchy, donc de la fonction de Schur. Nous obtenons aussi une rela-
tion d’´ equivalence de la quantit´ e de tous les d´ eterminants g´ en´ eralis´ es de Cauchy.
The purpose of this paper is to present a new expression for the generalized
Cauchy determinant, and thus for the Schur function. We also obtain an equiva-
lence relation on the set of all generalized Cauchy determinants.
AMS subject classification: 15A15, 20C30.
Les mots cl´ es: Les d´ eterminants g´ en´ eralis´ es de Cauchy, la fonction de Schur, re-
lation d’´ equivalence, les polynˆ omes anti-sym´ etriques.
1. Introduction
Cet article est organis´ e comme suit: Dans le chapitre pr´ esent nous offrons l’histoire
g´ en´ erale. Dans le deuxi` eme chapitre nous donnons les d´ efinitions importantes qui sont
employ´ ees dans les chapitres suivants. Nous d´ emontrons dans le trois` eime chapitre
un d´ eterminant g´ en´ eralis´ e de Cauchy [2] (abr´ eg´ e d` es maintenant comme DGC) avec
λ1= 2 sous forme des polynˆ omes sym´ etriques ´ el´ ementaires en. Nous d´ emontrons dans
le quatri` eme chapitre une expression d’un DGC arbitraire, et enfin dans le cinqui` eme
chapitre nous discutons la relation entre les r´ esultats nouveaux et les travaux pr´ ec´ edents.
L’origine des d´ eterminants provient de Leibniz (1646–1716), et leurs caract` eres
´
etaient d´ evelopp´ es, entre autres, par Vandermonde (1735–96), Lagrange (1736–1813),
Laplace (1749–1827), Cauchy (1789–1857), tandis que les matrices g´ en´ erales n’´ etaient
pas introduites qu’apr` es la mort de Cauchy, par Cayley (1821–95). Gauss (1777–1855)
´
etait la premi` ere personne qui ait introduit le nom d´ eterminant en science dans son
Received March 27, 2006; Accepted August 8, 2006

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ouvrage classique, Recherches arithm´ etiques, 1807. Les propositions de Lagrange et
Gauss ´ etaient d´ evelopp´ ees par Binet (1786–1856), mais la g´ en´ eralisation de ces propo-
sitions provient de Cauchy, pr´ esent´ ee pour une publication en 1812 et publi´ ee dans
le Journal de l’´ Ecole polytechnique [2] 1815. La primi` ere r´ ef´ erence aux fonctions de
Schur se trouve dans cet article de Cauchy.
Cauchy fut n´ e` a Paris en l’ann´ ee de la R´ evolution franc¸aise, et son p` ere, qui craignait
pour sa vie, s’´ etablit ` a Arcueil avec sa famille. Mais bientˆ ot il revenait ` a Paris. Laplace
et Lagrange ´ etaient des amis de la famille. Cauchy fut tr` es renomm´ e pour ses nombreux
travaux de math´ ematiques importants, par example son œuvre en 4 volumes, Exercises
d’analyse et de physique math´ ematique 1840–47. Plusieurs termes en math´ ematique
portent le nom de Cauchy.
Apr` es Cauchy, Jacobi (1804–51) fondait une th´ eorie des d´ eterminants dans son trait´ e
de 1841. A K¨ onigsberg, o` u Jacobi demeurait pendant 1826–43, il avait un ´ el` eve italien,
Trudi, qui d´ evelopait les th´ eories de Jacobi et donnait une preuve compl` ete d’identit´ e
de Jacobi–Trudi [30]. Von N¨ agelsbach et Kostka d´ eveloppaient encore les th´ eories de
Jacobi et Trudi. Brioschi (1825–97), aussi un Italien, ´ ecrivait un livre scolaire sur la
th´ eorie des d´ eterminants, qui fut traduit en allemand et en franc¸ais.
Le DGC est intimement li´ e aux groupes sym´ etriques et ` a la partition comme c’est
pr´ esent´ e dans [17].
Une partition [17] de η∈Nest une suite d´ ecroissante finie
λ= (λ1, λ2, . . . , λn)(1.1)
d’entiers non nuls
λ1≥λ2≥. . . , ≥λn≥0,
o` u le poids de λ
η=
l(λ)
X
j=1
λj,(1.2)
et l(λ), le nombre des parts >0de λ, s’appelle le longeur de λ.
Nous trouverons bon de ne pas distinguer entre deux suites qui sont seulement
diff´ erentes par une suite de z´ eros au bout.
D´ efinition 1.1. Soit ²= (²1, . . . , ²n)∈Znun vecteur des exposants, nous d´ efinissons
|²|=¯¯¯¯¯¯¯¯
x²n
1
.
.
.x²n
n
.
.
.....
.
.
x²1
1
.
.
.x²1
n
¯¯¯¯¯¯¯¯
.(1.3)
Il y a beaucoup de d´ efinitions de DGC, et dans nos calculs nous emploieront la
d´ efinition par Heineman [11, p. 465], qui est comme suit. Cette notation est une certaine
variation minimale de la notation aλ+δpar Macdonald [17].

Les d´ eterminants g´ en´ eralis´ es de Cauchy 61
D´ efinition 1.2. ´ Etant donn´ ees les partitions λ:λ1≥λ2≥ · · · ≥ λn= 0 de ηet
δ: (n−1, n −2, . . . , 1,0) de µn
2¶, le DGC est d´
efini par
|λ+δ|.(1.4)
La fonctions de Schur sλ, d´ efinie par
sλ=|λ+δ|
|δ|,(1.5)
est un quotient de deux polynˆ omes anti-sym´ etriques homog` enes, et un polynˆ ome
sym´ etriques homog` ene [17].
Les fonctions de Schur sont aussi trait´ ees, mais d’un autre point de vue, dans [19,
p. 331].
Les fonctions de Schur ont beaucoup d’applications et nous donnons un resum´ e bref.
Les fonctions de Schur sont particulierement applicables aux discussions sur l’effet
Hall quantiques [25,28]; aux caract` eres de repr´ esentations irr´ eductibles de U(n)[34, p.
213], [28]; aux caract` eres de Gl(n, C), qui peuvent ˆ etre exprim´ es sous forme des fonc-
tions de Schur [24], [1, p. 237], [33, ch. VII.6]; aux caract` eres de Sp(2n+ 1,C)[18];
aux caract` eres de Sp(2n, R)[10]; et aux caract` eres d’alg` ebre simples de Lie sl(n, C)et
su(n), qui ont les mˆ eme repr´ esentations [7].
Les fonctions de Schur ont ´ et´ e r´ esemment employ´ ees dans le calcul q[14,23]. Les
d´ eterminants de Cauchy ont aussi ´ et´ e appliqu´ es dans l’analyse num´ erique [3,13]. De
plus, DGC se trouve dans la th´ eorie de Sato, ou les variables sont des op´ erateurs partiels
diff´ erentiels [4,21].
Une formule pour la fonction de Schur est donn´ ee par la formule des caract` eres de
Frobenius [26].
Th´ eor` eme 1.3. Soit l’ordre du centralisateur d’une permutation quelconque ∈µ[8]
donn´ ee par
cµ=
η
Y
j=1
µj!jµj.(1.6)
Soit
Sµ=
η
Y
j=1 Ãn
X
k=1
xj
k!µj
.(1.7)
Soit S∗
ηl’ensemble de toutes les classes de conjugaison de Sη. Donc pour chaque λ,
sλ=X
µ∈S∗
η¡χλ(µ)c−1
µSµ¢.(1.8)

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2. Les Pr´ eliminaires
Dans ce chapitre nous donnons quelques d´ efinitions importantes. Dans tout l’article,b
avec un indice inf´ erieur signifie que ce indice inf´ erieur est supprim´ e.
D´ efinition 2.1. La notation suivante sera employ´ ee.
k= (k1, . . . , kN),1≤kj≤n, 1≤j≤N. (2.1)
Nous faisons la convention que les produits vides sont interpr´ et´ es comme 1, et les
sommes vides sont interpr´ et´ es comme 0. Le nombre de variables est d´ esign´ e par n,
commes dans (1.3). Cependant, le ndans la D´ efinition 2.2 soit interpr´ et´ e commes le
nombre temporaire des variables. Un exemple est (4.10), o` u le nombre temporaire des
variables est n+σ−1−m, ce qui est ´ evident du contexte.
Nous emploieront la notation suivante pour un d´ eterminant de Cauchy, o` u les vari-
ables avec indice dans kmanquent.
D´ efinition 2.2.
|b δk|=Y
1≤j<i≤n,
i,j6={k}
(xi−xj).(2.2)
D´ efinition 2.3. Le nombre des exposants manquant dans un DGC est s=λ1. Soit C
d´ esigner l’op´ erateur compl´ ementaire dans
{1, . . . , n +s−2}.
Donc les exposants manquant dans un DGC sont les exposants
l=l(λ) = (l1,· · · , ls) = (λ+δ)C,0< l1< . . . < ls< n +s−1.(2.3)
Inversement, donn´ ee une suite des exposants manquant, λ(l)est d´ efini comme l’inverse
de l(λ).
Pour connaˆ ıtre les exposants manquants nous emploierons ` a la fois λet lpour char-
act´ eriser |λ+δ|. Le lest utilisable quand λ+δcontient beaucoup d’exposants man-
quants.
Donn´ el, nous pouvons d´ efinir un DGC comme dans la D´ efinition 1.2. Nous em-
ploierons λ(l)comme plus haut. D´ esignons
|\²l1,...,ls|=|λ(l) + δ|.(2.4)
Le th´ eor` eme fondamental suivant [11, p. 466] a ´ et´ e connu il y a plusieurs ann´ ees.
Th´ eor` eme 2.4. Soit λla partition de n−l1o` u
λ1=· · · =λn−l1= 1, λn−l1+1 = 0, l1< n.

Les d´ eterminants g´ en´ eralis´ es de Cauchy 63
Donc
|c²l1|=|δ|en−l1(x1, . . . , xn).(2.5)
Maintenant, nous d´ efinirons quelques nombres qui seront employ´ es enti` erement
dans cet article:
D´ efinition 2.5. Admettons que λet les DGC correspondants sont donn´ es. Mettons
N=ls−1−s+ 2, u =λ1−2.(2.6)
Soit {bj,N,u}N
j=1 des nombres naturels, donn´
es r´ ecursif par
bj,N,u = min(λn−j+ 1 −λn−j+1, u + 1 −
j−1
X
k=1
(bk,N,u −1)), j = 1, . . . , N −1,(2.7)
bN,N,u = min(λn−N+ 1 −λn−N+1, u + 2 −
N−1
X
k=1
(bk,N,u −1)).(2.8)
La cause du u+2 dans la formule seconde est que le dernier facteur dans le Th´ eor` eme
3.5 contient un carr´ e.
Donc les bj,N,u satisfont
bN,N,u −2 +
N−1
X
j=1
(bj,N,u −1) = u. (2.9)
Ces nombres satisfont aussi les in´ egalit´ es
bj,N,u ≥1,1≤j≤N−1; bN,N,u ≥2.(2.10)
De fait, la valeur maximale de bj,N,u est ´ egale aux bonds dans les degr´ es (pour j=
1, . . . , N) du DGC, comme l’´ equation suivante montre:
max (bj,N,u) = λn−j+ 1 −λn−j+1, j = 1, . . . , N. (2.11)
Pour u= 0 nous obtenons
bj,N,0= 1, j = 1, . . . , N −1, bN,N,0= 2.(2.12)
Plus tard, nous donnerons quelques exemples de la mani` ere de calculer le bj,N,u.
Les nombres suivants seront employ´ es pour connaˆ ıtre le signe des permutations.
Puisque ces nombres se trouvent seulement comme un signe de plus ou un signe de
moins, c’est suffisant de les calculer mod 2.
D´ efinition 2.6. Soit I(π)Nle nombre des inversions mod 2de la permutation [9] π=
(k1, . . . , kN).