Dérivation des fonctions d`une variable réelle `a valeurs réelles ou

D´erivation des fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles ou complexes 1
DERIVATION DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE A VALEURS REELLES OU
COMPLEXES
Dans tout le chapitre, Id´esigne un intervalle de Rnon vide et non r´eduit `a un point.
Proposition 1
Toute fonction d´erivable sur Iest continue sur I.
Proposition 2
Soit fune fonction d´erivable sur I`a valeurs r´eelles. Soit aun point de I. Alors le graphe de fposs`ede
une tangente en (a, f(a)) d’´equation cart´esienne :
y=f0(a)(x−a) + f(a).
Proposition 3
Soient fet gdeux fonctions d´erivables sur I`a valeurs dans K.
(i) Pour tout (λ, µ)∈K2,λf +µg est d´erivable sur Iet
(λf +µg)0=λf 0+µg0.
(ii) fg est d´erivable sur Iet
(fg)0=f0g+f g0.
(iii) On suppose de plus que gne s’annule pas sur I, alors f
gest d´erivable sur Iet
f
g0
=f0g−fg0
g2.
Proposition 4
Soit f∈ F(I, K) d´erivable sur I. Soit Jun intervalle de R, non vide et non r´eduit `a un point. Soit
ϕ∈ F(J, R), d´erivable sur Jtelle que ϕ(J)⊂I.
Alors f◦ϕest d´erivable sur Jet
(f◦ϕ)0= (f0◦ϕ).ϕ0.
Proposition 5
Soit ϕ∈ F(I, C) d´erivable sur I. Alors exp ◦ϕest d´erivable sur Iet
(exp ◦ϕ)0=ϕ0exp ◦ϕ.
Proposition 6
Soit f∈ F(I, R). On suppose que fest strictement monotone sur I, d´erivable sur Iet que f0ne
s’annule pas sur I. Alors J=f(I) est un intervalle, fest bijective de Isur J,f−1est d´erivable sur
Jet
(f−1)0=1
f0◦(f−1).
Proposition 7 (Formule de Leibniz)
Soient fet gde classe Cnsur I. Alors fg est de classe Cnsur Iet
(fg)(n)=
n
X
k=0 n
kf(k)g(n−k).

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Proposition 8
Soit f∈ F(I, R). Soit a`a l’int´erieur de I.
Si fadmet un extremum local en aet si fest d´erivable en a, alors f0(a) = 0.
Th´eor`eme 1 (de Rolle)
Soit (a, b)∈R2tel que a<b. Soit fune fonction continue sur [a, b] `a valeurs r´eelles et d´erivable sur
]a, b[.
f(a) = f(b) =⇒ ∃c∈]a, b[ tel que f0(c)=0.
Th´eor`eme 2 (des accroissements finis)
Soit (a, b)∈R2tel que a<b. Soit fune fonction continue sur [a, b] `a valeurs r´eelles et d´erivable sur
]a, b[.
∃c∈]a, b[ tel que f(b)−f(a) = f0(c)(b−a).
Th´eor`eme 3 (In´egalit´e des accroissements finis)
Soit fune fonction d´erivable sur I`a valeurs r´eelles. On suppose que f0est born´ee sur I: i.e. il existe
M∈Rtel que pour tout tdans I,|f0(t)| ≤ M. Alors fest M-lipschitzienne sur I, i.e. pour tout
(a, b)∈I2,|f(b)−f(a)| ≤ M|b−a|.
Th´eor`eme 4 (Th´eor`eme de la limite de la d´eriv´ee)
Soit a∈I. Soit fune fonction continue sur Iet d´erivable sur I\ {a}`a valeurs r´eelles. On suppose
que f0tend vers l(fini ou infini) en a, alors f(x)−f(a)
x−atend vers llorsque xtend vers a.
Si lest fini, fest d´erivable en aet f0(a) = l.
Si lest infini, fn’est pas d´erivable en aet le graphe de fpr´esente une tangente verticale au point
(a, f(a)).