Année universitaire 2016/2017 Licence 2, S4, mathématiques

Année universitaire 2016/2017
Licence 2, S4, mathématiques
Structures algébriques 1 – Feuille 7
Exercice 1 (Théorème de Cauchy – cas abélien)
Dans cet exercice et l’exercice 5, on donne une preuve du théorème de Cauchy : si G est un
groupe fini d’ordre divisible par p premier alors G contient un élément d’ordre p.
Dans cet exercice on suppose que G est abélien d’ordre n multiple d’un nombre premier p.
(1) Pourquoi le théorème de Cauchy est-il évident si n = p ? Dans la suite on suppose p < n et
l’on suppose par l’absurde qu’aucun élément de G n’est d’ordre p.
(2) Justifier qu’aucun élément de G n’est d’ordre divisible par p. On note dans la suite g1 ,...,gn
les éléments de G, et m1 ,...,mn leurs ordres respectifs.
(3) Posons m = ppcm (mi )i . Justifier que l’application f : (Z/mZ)n → G définie par f (a1 , . . . , an ) =
g1a1 · · · gnan est un morphisme de groupes.
(4) En appliquant le théorème de factorisation, déduire une contradiction.
Exercice 2
Soit G un groupe.
(1) Montrer que l’application G × G → G définie par (g, x) 7→ gxg −1 définit une action de G sur
lui-même (on l’appelle action par conjugaison ; une orbite pour cette action est une classe
de conjugaison de G).
On suppose qu’il existe une classe de conjugaison C de G telle que C a exactement 2 éléments.
(2) Justifier que |G| ≥ 3. Le groupe G est-il abélien ?
(3) On note Sym(C) le groupe des permutations de l’ensemble C. Quel est l’ordre de Sym(C) ?
On note dans la suite ϕ : G → Sym(C) le morphisme de groupes défini par
g 7→ (x 7→ gxg −1 ) .
(4) Justifier que ker ϕ 6= {1} et que ker ϕ 6= G.
(5) En déduire que le groupe G n’est pas simple.
Exercice 3
(1) Soit G un groupe fini. Notons g1 , . . . , gk un ensemble de représentants pour les classes de
conjugaison (cf exercice 2) de G de cardinal > 1. En notant Z(gi ) le stabilisateur de gi pour
l’action de G par conjugaison (c’est le centralisateur de gi ), montrer que
(?)
|G| = |Z(G)| +
k
X
(G : Z(gi )) .
i=1
On appelle p-groupe un groupe fini dont l’ordre est une puissance d’un nombre premier p.
(2) Soit G un p-groupe. En utilisant (?) montrer que le centre Z(G) de G est non trivial.
(3) Soit G un groupe. Rappeler pourquoi l’ensemble quotient G/Z(G) peut être muni d’une
structure de groupe, puis montrer que si G/Z(G) est un groupe cyclique alors G est abélien.
(4) Soit p un nombre premier. Montrer que tout groupe d’ordre p2 est abélien.
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Exercice 4
(1) Soit n ≥ 1 un entier. Montrer que le groupe G = GL(Rn ) agit sur Rn via l’application
(M, v) 7→ M (v), M ∈ G, v ∈ Rn .
(2) Combien y a-t-il d’orbites pour cette action ?
(3) Soit M ∈ G dont la matrice relativement à la base canonique de Rn est triangulaire
supérieure avec des coefficients diagonaux tous distincts de 0 et 1. Quels sont les vecteurs
v ∈ Rn tels que M ∈ Stab(v) ?
(4) Soit v ∈ Rn \ {0} et soit M ∈ G. Traduire en termes des sous-espaces propres de M le fait
que M ∈ Stab(v).
Exercice 5 (Théorème de Cauchy – cas non abélien)
On reprend les notations de l’exercice 1 à cela près que l’on suppose maintenant G non abélien.
On va démontrer le théorème de Cauchy par récurrence sur n ≥ p. L’étape d’initialisation est
évidente (pourquoi ?). On fait l’hypothèse de récurrence (forte) et l’on se donne un groupe G non
abélien d’ordre n divisible par un nombre premier p < n.
(1) Justifier qu’il suffit de travailler sous l’hypothèse : tout sous-groupe propre H de G est
d’indice divisible par p.
(2) En reprenant les notations de Ex. 3(1), justifier que p | (G : Z(gi )) pour tout i ∈ {1, . . . , k},
puis conclure en utilisant l’équation (?) de l’exercice 3.
Exercice 6
On note O2 (R) le groupe des isométries de l’espace euclidien R2 .
(1) Montrer que O2 (R) agit sur le cercle unité C de R2 centré en l’origine. Quelles sont les
orbites pour cette action ?
(2) Étant donné un point x ∈ C, décrire Stab(x).
(3) Soit n ≥ 1 un entier. On inscrit dans C un polygône régulier Pn à n sommets. Quel est le
stabilisateur de Pn dans l’action de O2 (R) sur l’ensemble des parties de C ?
(4) Reprendre la question précédente en remplaçant O2 (R) par le sous-groupe SO2 (R) constitué
des rotations du plan euclidien.
Exercice 7
(1) Montrer que tous les 5-cycles sont dans la même orbite pour l’action par conjugaison de S5
sur lui-même. Comment généraliser ce fait aux k-cyles de Sn où les entiers 1 ≤ k ≤ n sont
fixés ?
(2) Montrer que A5 agit transitivement par conjugaison sur l’ensemble de ses 3-cycles.
(3) Combien y a-t-il d’orbites dans l’action par conjugaison de A5 sur l’ensemble de ses 5-cycles ?
Exercice 8 (Lemme de Burnside)
Soit G un groupe fini agissant sur un ensemble fini X. Si g ∈ G, on note χ(g) le nombre de x ∈ X
tels que g · x = x.
(1) Montrer la formule de Burnside :
X
|G| × |{Orbites de G sur X}| =
χ(g) .
g∈G
(2) On suppose que l’action de G sur X est transitive et que |X| ≥ 2. On note G0 l’ensemble
des g ∈ G tels que χ(g) = 0. Montrer que |G0 |/|G| ≥ 1/|X|. [On pourra appliquer le lemme
de Burnside à l’action de G sur X et, pour un x ∈ X fixé, à l’action de Stab(x) sur X \ {x}.]
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