LA FORMULE DE CAUCHY SUR LA LONGUEUR D`UNE COURBE

Canad. Math. Bull. Vol. 40 (1), 1997 pp. 3–9
LA FORMULE DE CAUCHY
SUR LA LONGUEUR D’UNE COURBE
S. AYARI AND S. DUBUC
R´ ESUM´ E. Pour toute courbe rectifiable du plan, nous d´ emontrons la formule de
Cauchyrelative ` asalongueur.Laformuleestdonn´ eesousdeuxformes:commeint´ egrale
de la variation totale des projections de la courbe dans les diverses directions et comme
int´ egrale double du nombre de rencontres de la courbe avec une droite quelconque du
plan.
ABSTRACT. We give a general proof of the Cauchy formula about the length of
a plane curve. The formula is given in two ways: as the integral of the variation
of orthogonal projections of the curve, and as a double integral of the number of
intersections of the curve with an arbitrary line of the plane.
1. Introduction. Cauchy a pr´ esent´ e une formule pour calculer la longueur d’une
courbe. Il a utilis´ e dans cette formule le concept de projection absolue. Soit la droite D
issue de l’origine et formant un angle avec l’axe des x, la projection absolue d’une
courbe Csur Dest la quantit´ e
A()= N(r)dr
o` uN(r) est le nombre de points de la courbe Cdont la projection orthogonale est le
point (rcos rsin )deD. Voici la formule:
L(C)=1
4
2
0A( )d
Cauchy a donn´ e cette formule dans un m´ emoire lithographi´ e en 1832, puis il a ´ enonc´ e
de nouveau cette formule en 1841 [5]. Il a esquiss´ elad´ emonstration par cinq lignes en
1850 [6]. Ce qui semble implicite ` a son argumentation est que la courbe est ` a tangentes
continues. ` A divers endroits de la litt´ erature math´ ematique, cette formule de Cauchy est
cit´ ee etutilis´ ee,(parexempleparSantal´ o[15],doCarmo[9]ouValentine[18]),maisdans
la litt´ erature, on retrouve tr` es rarement une d´ emonstration convaincante de celle-ci en
dehors du cas d’une ligne polygonale ou d’une courbe convexe. ` A notre connaissance,
les seuls endroits qui donnent satisfaction sont les suivants: le volume de g´ eom´ etrie
int´ egrale de Blaschke [3], un article de Sherman de 1942 [16] et le volume r´ ecent de
Tricot [17]. Notre objectif est de d´ emontrer la formule de Cauchy sous l’hypoth` ese la
plus g´ en´ erale possible, que la courbe soit de longueur finie. Nous voulons un expos´ e
simple et complet.
Rec¸u par les ´ editeurs le 29 septembre 1995; revised 5 juillet 1996.
Classification (AMS) par sujet : 28A75, 28A45.
Mots cl´ es: longueur, variation born´ ee, g´ eom´ etrie int´ egrale.
cSoci´
et´ emath
´
ematique du Canada 1997.
3

4S. AYARI AND S. DUBUC
2. Longueur d’une courbe et variation d’une fonction. Dans cette section, nous
reprenons les d´ efinitions de Jordan sur la longueur d’une courbe et la variation d’une
fonction, puis nous mettons en ´ evidence deux th´ eor` emes, l’un de Jordan et l’autre de
Lebesgue. Nous aurons besoin de ces r´ esultats par la suite.
Soit Cune courbe param´ etrique continue dont les ´ equations sont
x=f(t)y=g(t)a t b
o` ufet gsont continues. Soit P=t0t1t
mune partition de [a b], avec t0=a,
tm=bet ti1tii=1 m. Consid´ erons la ligne polygonale inscrite dans la courbe
Cd´ efinie par les msommets f(ti)g(ti) , i=01 m.
La longueur de la ligne polygonale est le nombre
L(C P)= m
i=1 f(ti)f(ti1)2+g(ti)g(ti1)2
`
A la suite de Jordan, la longueur L de la courbe Cse d´ efinit comme
L=L(C)=sup
PL(CP)
o
`
u le supremum est pris sur toutes les partitions Pde [a b].
On dit que Cest rectifiable si L.
Soient fune fonction quelconque d´ efinie sur [a b]. ` A chaque partition de [a b],
P=t0t1t
m, on associe la somme
V(f P)= m
i=1 f(ti)f(ti1)
La variation totale de la fonction fsur [a b]estd
´
efinie par
V(f)=sup
PV(f P)
Si V(f), on dira que la fonction fest ` a variation born´ ee sur [a b].
REMARQUE. La notion de variation est intimement li´ ee ` a la notion de longueur. En
effet si fest d´ efinie sur [a b], si Cest la courbe suivante, confin´ ee ` a l’axe des x,
x=f(t)y=0 a t b
alors pour toute partition P, on a que V(f P)=L(CP) et la variation de fse confond
avec la longueur de cette courbe C.
On d´ efinit le diam` etre d’une partition P comme le nombre
P=max
i(t
it i1
)
TH
´
EOR` EME 1(JORDAN [11], P. 100). Soit C une courbe continue rectifiable de
longueur L. Alors pour tout 0, il existe 0tel que si P est une partition
quelconque de diam` etre P ,alors
L(C)L(C P)L(C)

FORMULE DE CAUCHY SUR LA LONGUEUR 5
D´ EMONSTRATION. On suppose que la courbe Ca pour ´ equations x=f(t), y=
g(t), a t b. Soit un nombre 0. Choisissons d’abord une partition Q=
u0=a u1u
n=bde [a b] telle que
L(C)2L(C Q)(1)
Maintenant nous choisissons . Vu la continuit´ e uniforme de fet de g,ilexisteun 0
tel que s t [a b] le segment d’extr´ emit´ es f(s)g(s) et f(t)g(t)a une longueur
(4n)d
`
es que s t .
Soit P=t0=a t1t
m=b, une partition de diam`
etre P. Consid´ erons
maintenant la partition P Q form´ ee de deux listes de points uiet tjque l’on fusionne
et que l’on r´ eordonne par ordre croissant. On sait que lorsque l’on raffine une ligne
polygonale, on ne diminue pas sa longeur:
L(C Q)L(C P Q)(2)
Nous majorons maintenant L(C P Q) en fonction de L(P)` a la suite de trois remarques.
Tous les cˆ ot´ es de la ligne polygonalede f(t)g(t) : t P Q ont une longueur
(4n).
Le nombre de cˆ ot´ es de cette ligne polygonalequi ont pour extr´ emit´ es un despoints
f(u)g(u) : u Q ne d´ epasse par 2n.
Tous les autres cˆ ot´ es sont des cˆ ot´ es de la ligne polygonale f(t)g(t) : t P .
De ceci, vient l’in´ egalit´ e
L(C P Q)L(C P)+ 2(3)
En reliant les in´ egalit´ es (1), (2) et (3), on obtient l’in´ egalit´ echerch
´
ee:
L(C)L(C P)
Une d´ emonstration diff´ erente du th´ eor` eme 1 est donn´ ee par Tricot [17], pp. 56–57.
Le th´ eor` eme de Jordan admet le corollaire suivant.
TH´ EOR` EME 2(LEBESGUE,PP. 57–58 DE [12]). Si f est une fonction continue ` avaria-
tion born´ ee sur [a b]dont la variation est V(f), alors pour tout 0, il existe 0,tel
que pour toute partition P dont le diam` etre est inf´ erieur ` a on a
V(f)V(f P)V(f)
REMARQUES. On retrouve le th´ eor` eme 2 ` a la p. 259 du volume 1 des Oeuvres scien-
tifiques de Lebesgue[12]. La d´ emonstration de ce th´ eor` eme de Lebesgue est demand´ ee
commeprobl` eme dansle volumede Rudin [14] (probl` eme21,p.191).Comme Lebesgue
le remarque (p. 68 [13]), l’hypoth` ese de continuit´ e pour la fonction fdu th´ eor` eme est
capitale.

6S. AYARI AND S. DUBUC
3. Longueur d’une courbe et variation de ses projections. Soit Cune courbe
d’´ equations x=f(t), y=g(t), a t b. Nous supposons que fet gsont ` a variation
born´ ee.Posons f(t)=cos f(t)+sin g(t) comme unefonction dela variable tdans[a b]
de param` etre [0 2 ]. Nous pr´ esentons une premi` ere fac¸on d’exprimer la formule de
Cauchy en reliant la longueur de C` a la variation de ses projections f.
TH´ EOR` EME 3. Soient C une courbe d’´ equations x =f(t)y=g(t)a t bet
f(t)=cos f(t)+sin g(t).Alors
L(C)=1
4
2
0V(f)d(4)
D´ EMONSTRATION. On traite d’abord du cas o` u la courbe Cest une ligne polygonale
de nsegments f(tk)g(tk):0 k n . Consid´ erons la suite des nvecteurs du plan
f(tk)f(tk1)g(tk)g(tk1) , k=1 2 n. Ces vecteurs admettent la forme polaire
(kcos kksin k), k=12 n.kest la longueur du k` eme segment de C.Apr
`
es
calcul, on obtient que
V(fcos + gsin )= n
k=1 kcos( k)
Si l’on int` egre par rapport ` acette identit´ e, on obtient la formule cherch´ ee:
L(C)=1
4
2
0V(fcos + gsin )d
Traitons maintenant du cas o` uCest une courbe rectifiable quelconque. Prenons une
suite Pnde partitions de [a b] dont les diam` etres tendent vers 0 lorsque n.` Al’aide
de l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwartz,on montre queV(fcos +gsin Pn)L(C Pn). La
suite de fonctions en , V(f Pn), est uniform´ ement born´ ee par la longueur de C.Parle
th´ eor` eme de convergenceborn´ ee de Lebesgue et par le th´ eor` eme 2, on obtient que
lim
n
2
0V(f Pn)d=2 0V(f)d
D’autre part, nous avons vu dans la premi` ere partie de la d´ emonstration que
L(C Pn)=1
4
2
0V(f P
n
)d
D’o` u
lim
nL(C Pn)=1
4
2
0V(f)d
Le th´ eor` eme 1 permet de d´ egager la conclusion.
4. FormuledeBanachsurlavariationtotaled’unefonction. Banacha trouv´ eune
expressionint´ egraleremarquablepourlavariationtotaled’unefonction.Nouspr´ esentons
cette formule.
TH´ EOR` EME 4(BANACH [1]). Soit f une fonction continue sur [a b],ond
´
esigne par
N(y)le nombre de racines ` al’
´
equation f(x)=y. Alors la fonction N est mesurable. De
plus V(f)= N(y)dy

FORMULE DE CAUCHY SUR LA LONGUEUR 7
D´ EMONSTRATION. Soit la partition Pm=xi=a+i(b a) 2m:i=01 2
m,et
soitfmla fonction lin´ eaire parmorceauxquicorrespond ` alalignepolygonale xif(xi) :
i=01 2
m,ond´
esignepar Nm(y) le nombre de racines ` al’´ equation fm(x)=y.Ilest
relativement ais´ edev´ erifier que
Nm(y)dy =V(f Pm)(5)
Pour y arriver, on peut proc´ eder comme suit. On pose yi=f(xi), i=01 2
m,eton
introduit 2rfonctions L1(y)L
2r(y).
Li(y)= 1siy(y
i1
y
i
)
0 sinon
On observe que si yn’est pas un des nombres yi,
Nm(y)= 2
r
i=1 Li(y)
Cette identit´ e permet de justifier l’´ equation 5.
La suite Nm(y) est une suite monotone qui converge vers N(y). En faisant tendre m
vers l’infini, en faisant appel au th´ eor` eme de Beppo-Levi sur l’int´ egration d’une suite
monotone de fonctions ainsi qu’au th´ eor` eme 2, on ´ etablit la validit´ edelaformulede
Banach: V(f)= N(y)dy
REMARQUE.Lad
´
emonstration du th´ eor` eme de Banach est demand´ ee comme
probl` eme dans le volume de Rudin [14] (probl` eme 22, p. 191). La d´ emonstration de
Banach a ´ et´ e reprise par Cesari [7].
5. Formule de Cauchy sur la longueur d’une courbe. On soupc¸onne ais´ ement ce
que le th´ eor` eme de Banach peut apporter au th´ eor` eme 3. On obtient alors ce que l’on
appelle la formule de Cauchy ou ` a la suite de l’article de Crofton [8], la formule de
Cauchy-Crofton.
TH´ EOR` EME 5. Soit C une courbeparam´ etrique rectifiable, si N(r)est le nombre de
rencontres de C avec la droite x cos + ysin = r alors la longueur de C se calcule par
des int´ egrales it´ er´ ees bien d´ efinies:
L(C)=1
4
2
0N(r)drd(6)
D´ EMONSTRATION.Cest une courbe d’´ equations x=f(t), y=g(t), a t b o` ufet
gsont continues et ` a variation born´ ee. Il est entendu que N(r) est la cardinalit´ ede t
[a b]:f(t)cos +g(t)sin =r.D’apr
`
es la formule de Banach, V(f)= N(r)dr.
Le th´ eor` eme 3 permet donc d’exprimer la longueur de Csous forme d’une int´ egrale
double
L(C)=1
4
2
0N(r)drd