Groupes symétriques.

1 GROUPES CYCLIQUES.
R´ esum´ e de cours : Groupes cycliques.
Groupes sym´ etriques.
MPSI-Maths.
Mr Mamouni :[email protected]g
Source disponible sur :
c
http://www.chez.com/myismail
1 Groupes cycliques.
Ordre d’un groupe.
D´efinition 1. Si Gest un groupe, son cardinal est appell´e alors l’ordre
de Get not´e o(G).
Vocabulaire.
Tout groupe fini est dit d’ordre fini.
Groupe engendr´e par un ´el´ement.
D´efinition 2. Soit (G, .)un groupe et a∈G, on appelle sous groupe
engendr´e par ale sous-groupe de G, not´e < a > form´e par les puis-
sances de a.
Autrement dit : < a >={antel que : n∈Z}.
Remarque.
Soit (G, .) un groupe et a∈G, alors < a > est le plus petit sous-groupe de
Gcontenant a.
Autrement dit : Si Hest un sous-groupe de G,a∈H=⇒< a >⊂H.
Ordre d’un ´el´ement d’un groupe.
D´efinition 3. Soit (G, .)un groupe et a∈G. L’ordre du sous-groupe
engendr´e par aest aussi appel´e l’ordre de a, et not´e o(a).
Autrement dit : o(< a >) = o(a).
Remarque.
Soit (G, .) un groupe et a∈G, alors o(a) = 1 ⇐⇒ a=e, o`u el’´el´ement
neutre de G.
Vocabulaire.
Un ´el´ement d’un groupe est dit d’ordre fini, lorsqu’il engendre un groupe
fini.
Th´eor´eme 1. Soit (G, .)un groupe et a∈G, alors :
aest d’ordre fini ⇐⇒ ∃n∈N∗tel que : an=e.
Th´eor´eme 2. Soit (G, .)un groupe et a∈G, alors :
aest d’ordre fini ⇐⇒ ∃n∈N∗tel que : an=e.
Th´eor´eme 3. Soit (G, .)un groupe et a∈G, n ∈N, alors :
o(a) = n⇐⇒ i)an=e
ii)∀k∈N, ak=e=⇒ndivise k
.
Groupes monog`enes.
D´efinition 4. Un groupe Gest dit monog`ene s’il est engendr´e par l’un
de ses ´el´ements.
Autrement dit : ∃a∈Gtel que : G=< a >.
D´efinition 5. Un groupe Gest dit cyclique s’il est monog`ene et fini.
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2 GROUPES SYM ´ ETRIQUES.
2 Groupes sym´etriques.
Permutaion :
D´efinition 6. On appelle permutation de [|1, n|]toute bijection :
σ: [|1, n|]→[|1, n|]. L’ensemble de ces permutaions se note Sn, muni
de la loi oest un groupe non ab´elien de cardinal n!, appell´e groupe
sym´etrique d’ordre n.
Support :
D´efinition 7. Soit σ∈ Sn, on appelle support de σ, l’ensemble
supp(σ) = {k∈[|1, n|]tel que : σ(k)6=k}.
Transposition :
D´efinition 8. On appelle transposition toute permutation dont le sup-
port est form´e par deux ´el´ements. Dans ce cas si supp(σ) = {i, j}alors
σ(i) = j, σ(j) = i, on note alors σ= (i j)et on a : σ2=id[|1,n|].
p-cycles :
D´efinition 9. On dit que σest un p-cycle si ∃(i1, i2,...,ip)∈
[|1, n|]ptel que : supp(σ) = {i1, i2,...,ip}avec σ(ik) = ik+1 ∀1≤k≤
p−1et σ(ip) = i1.
Notation :
Dans ce cas on ´ecrit σ= (i1i2,...ip) et on a : σp=id[|1,n|].
Remarque.
– Notez bien que les transpostions sont des 2-cycles.
– (i1i2,...ip) = (i1i2)(i2i3)...(ip−1ip). C’est `a dire que tout p-
cycle peut s’´ecrire comme produit de p−1 transposions.
Th´eor´eme 4. Toute permutation peut s’´ecrire comme produit de p-
cycles. On dit que Snest engendr´e par les p-cycles.
Corollaire 1. Toute permutation peut s’´ecrire comme produit de trans-
position. On dit que Snest engendr´e par les transpositions.
Inversion :
D´efinition 10. On appelle inversion de σ, tout couple (i, j)∈
[|1, n|]2tel que : i < j et σ(i)> σ(j).
Signature :
D´efinition 11. On appelle signature de σ, not´e ε(σ) = ±1, d´efinie par
ε(σ) = (−1)Nombre d’inversions de σ.
Remarque.
La signature d´efinit un morphisme de group entre (Sn, o) et ({−1,1}×),
c’est `a dire que ∀(σ, τ )∈ S2
non a : ε(στ) = ε(σ)ε(τ).
Th´eor´eme 5. la signature d’une transposition est toujours -1.
Th´eor´eme 6. la signature d’un p-cycle est toujours (−1)p.
Th´eor´eme 7. On appelle permutation paire toute permutation de si-
gnature 1.
Groupe altern´e :
D´efinition 12. L’ensemble des pemutations paires se note An, c’est un
sous-groupe de Sn, de cardinal n!
2, on l’appelle groupe altern´e d’ordre
n.
Th´eor´eme 8. Toute permutation paire peut s’´ecrire comme produit de
3-cycles. On dit que Anest engendr´e par les 3-cycles.
Fin.
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