Bézout et nombres premiers

Universit´e d’Orl´eans 2010-2011
M2 enseignement semaine 16
Isabelle Van den Boom.
Le¸cons 13 et 14 - ´ Egalit´e de Bezout. Nombres premiers
Exercice 1 Montrer que toute fraction p
q, p, q ∈N∗est ´egale `a une fraction p0 q0irr´eductible
c’est `a dire telle que pgcd(p0, q0) = 1.
Exercice 2 Montrer que deux entiers naturels non nuls cons´ecutifs sont toujours premiers
entre eux.
Exercice 3 Montrer que √2 est irrationnel.
Exercice 4 Montrer que 1008 est divisible par 36. Est-ce que 1 000 008 est divisible
par 36 ? et plus g´en´eralement 10n+ 8, l’est-il ?
Exercice 5 D´emontrer l’unicit´e de la d´ecomposition en facteurs premiers, `a l’ordre des
facteurs pr`es,des entiers naturels. (admise en terminale)
Exercice 6 Un entier naturel n < 100 poss`ede exactement 5 diviseurs positifs. Quel
peut ˆetre ce nombre ?
Exercice 7 R´esoudre en discutant selon a, b et cl’´equation diophantienne : ax +by =c
d’inconnues enti`eres xet y.
Exercice 8 D´emontrer le th´eor`eme de Bezout `a l’aide de la d´efinition de pgcd avec les
id´eaux.
Exercice 9 Petit th´eor`eme de Fermat
Soit pun nombre premier. Montrer que si aest un entier non multiple de palors
ap−1−1 est divisible par p.
Exercice 10 Montrer que pest un nombre premier si et seulement si Z/pZest un corps.
Exercice 11 Th´eor`eme de Wilson
Montrer que pest un nombre premier si et seulement si (p−1)! ≡ −1 (mod p).
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