TD 4: Topologie dans les espaces vectoriels normés.
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TD 4: Topologie dans les espaces vectoriels normés.
Exercice 1 soit E un espace vectoriel sur R ,N1 et N2 deux normes sur E.
1. On suppose que les deux boules fermées BN1 (0E , 1) , BN2 (0E , 1) sont égales. Montrer
que ∀x ∈ E, N1 (x) = N2 (x) : indication : considérer le vecteur N11(x) x et montrer qu’il
appartient à BN1 (0E , 1)
2. On suppose qu’il existe un réel λ,
0 ≤ λ ≤ 1 , tel que ∀x ∈ E, N2 (x) ≤ λN1 (x) .
Montrer que BN1 (0E , 1) ⊂ BN2 (0E , 1). Montrer la réciproque
3. ici, E = R2 . Montrer que l’application N1 ((x1 , x2 )) = 2 x21 + x1 x2 + x22 définit bien une
norme sur R2 et que BN1 (0E , 1) ⊂ BN2 (0E , 1) avec N2 ((x1 , x2 )) = max(|x1 | , |x2 |) .On
pourra déterminer le réel λ de la question précédente.
4. Dessiner les deux boules BN1 (0E , 1) et BN2 (0E , 1).
Exercice 2 Démontrer que l’application (x, y) → N (x, y) = supt∈R
et dessiner la boule unité associée
|x+ty|
1+t2
est une norme sur R2
3
N
définie
sur
M
Exercice 3 On considère
l’
application
3 (C) par N (M) = sup1≤j≤3
i=1 |mi,j |
1 2
1
2 )
calculer N( 1 0
3 −1 1
Montrer que N définit une norme sur M3 (C) et que pour toutes matrices A, B on a N (AB) ≤
N (A)N(B)
n
Exercice 4 Soit E = Rn [X]. Pour P =
ak X k , on pose :
k=0
P 1 =
n
|ak |,
k=0
P ∞ = max{|a0 |, . . . , |an |},
P ∗ = max{|P (t)| tq 0 ≤ t ≤ 1}.
Montrer que ce sont des normes sur E, et qu’elles sont deux à deux non équivalentes. (On
considèrera les suites de polynômes Pn (t) = (t−1)n et Qn (t) = 1+t+t2 +. . .+tn pour lesquelles
on calculera la norme dans chaque cas )
Exercice 5 Pour A ∈ M2 (R), on pose
A = tr(t A.A)
Montrer que c’est une norme sur M2 (R) et que :
∀ A, B ∈ M2 (R), AB ≤ A × B
Plus généralement, montrer que c’est une norme dans Mn (R)
Exercice 6 Soit (un )n∈N une suite de Cauchy de l’espace vectoriel normé E, et (vn )n∈N une suite
quelconque de E On suppose que la suite un − vn converge vers 0. Démontrer que la suite vn est
de Cauchy.
lycée Dessaignes 2007-2008
Exercice 7 Soit f : C → C une fonction lipchitzienne de rapport k < 1. On considère z0 ∈ C et
la suite (zn )n∈N telle que ∀n ∈ N, zn+1 = f(zn ). On rappelle que C est complet, c’est à dire que
toute suite de Cauchy de C est convergente dans C.
1. Montrer que
∀n, |zn+1 − zn | ≤ k n |z1 − z0 |
p−1
En déduire en remarquant que |zn+p − zn | ≤ k=1
|zn+k+1 − zn+k | , que la suite (zn )n∈N est
de Cauchy.
2. Montrer qu’il existe au moins un complexe z tel que f(z) = z
Exercice 8 Montrer que l’application : f → f = |f(0)| + |f ′ (0)| + N∞ (f ′′ ) est une norme
sur C2 ([0, 1], C). Pour f et g fixés dans C2 ([0, 1], C) montrer que l’application Φ : t ∈ R →
f + tg ∈ R est lipchitzienne.
Exercice 9 E = R[X] est muni des normes
N∞ (P ) = max(|an | , n ∈ N)
N(P ) = sup(|P (x)| , x ∈ [−1, 1])
1. Vérifier qu’il s’agit de normes
2. Soit (Pn =
pour N
1 n
X k )n∈N .Montrer que la suite Pn converge vers 0 pour N∞,mais pas
n + 1 k=0
Exercice 10
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?
1. A = {(x, y) ∈ R2 tq xy = 1}.
2. B = {(x, y) ∈ R2 tq x2 + xy + y 2 < 1}.
3. C = {z ∈ C tq Re(z 2 ) ≤ 1}.
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