TD 4: Topologie dans les espaces vectoriels normés.

TD 4: Topologie dans les espaces vectoriels normés .
Exercice 1 soit Eun espace vectoriel sur R,N
1
et N
2
deux normes sur E.
1. On suppose que les deux boules fermées B
N
1
(0
E
,1) ,B
N
2
(0
E
,1) sont égales. Montrer
que ∀x∈E, N
1
(x) = N
2
(x) : indication :considérer le vecteur
1
N
1
(x)
xet montrer qu’il
appartient à B
N
1
(0
E
,1)
2. On suppose qu’il existe un réel λ, 0≤λ≤1, tel que ∀x∈E, N
2
(x)≤λN
1
(x).
Montrer que B
N
1
(0
E
,1) ⊂B
N
2
(0
E
,1).Montrer la réciproque
3. ici, E=R
2
.Montrer que l’application N
1
((x
1
, x
2
)) = 2x
2
1
+x
1
x
2
+x
2
2
définit bien une
norme sur R
2
et que B
N
1
(0
E
,1) ⊂B
N
2
(0
E
,1) avec N
2
((x
1
, x
2
)) = max(|x
1
|,|x
2
|).On
pourra déterminer le réel λde la question précédente.
4. Dessiner les deux boules B
N
1
(0
E
,1) et B
N
2
(0
E
,1).
Exercice 2 Démontrer que l’application (x, y)→N(x, y) = sup
t∈R
|x+ty|
1+t
2
est une norme sur R
2
et dessiner la boule unité associée
Exercice 3 On considère l’ application Ndéfinie sur M
3
(C)par N(M) = sup
1≤j≤3
3
i=1
|m
i,j
|
calculer N(
1 2 1
1 0 2
3−1 1
)
Montrer que Ndéfinit une norme sur M
3
(C)et que pour toutes matrices A, B on a N(AB)≤
N(A)N(B)
Exercice 4 Soit E=R
n
[X]. Pour P=
n
k=0
a
k
X
k
, on pose :
P
1
=
n
k=0
|a
k
|,
P
∞
= max{|a
0
|,...,|a
n
|},
P
∗
= max{|P(t)|tq 0≤t≤1}.
Montrer que ce sont des normes sur E, et qu’elles sont deux à deux non équivalentes. (On
considèrera les suites de polynômes P
n
(t) = (t−1)
n
et Q
n
(t) = 1+t+t
2
+. . .+t
n
pour lesquelles
on calculera la norme dans chaque cas )
Exercice 5 Pour A∈M
2
(R), on pose
A=tr(
t
A.A)
Montrer que c’est une norme sur M
2
(R)et que :
∀A, B ∈M
2
(R),AB ≤ A × B
Plus généralement, montrer que c’est une norme dans M
n
(R)
Exercice 6 Soit (u
n
)
n∈N
une suite de Cauchy de l’espace vectoriel normé E, et (v
n
)
n∈N
une suite
quelconque de EOn suppose que la suite u
n
−v
n
converge vers 0.Démontrer que la suite v
n
est
de Cauchy. lycée Dessaignes 2007-2008

Exercice 7 Soit f:C→Cune fonction lipchitzienne de rapport k < 1.On considère z
0
∈Cet
la suite (z
n
)
n∈N
telle que ∀n∈N, z
n+1
=f(z
n
).On rappelle que Cest complet, c’est à dire que
toute suite de Cauchy de Cest convergente dans C.
1. Montrer que
∀n, |z
n+1
−z
n
| ≤ k
n
|z
1
−z
0
|
En déduire en remarquant que |z
n+p
−z
n
| ≤ 
p−1
k=1
|z
n+k+1
−z
n+k
|,que la suite (z
n
)
n∈N
est
de Cauchy.
2. Montrer qu’il existe au moins un complexe ztel que f(z) = z
Exercice 8 Montrer que l’application : f→ f=|f(0)|+|f
′
(0)|+N
∞
(f
′′
)est une norme
sur C
2
([0,1],C). Pour fet gfixés dans C
2
([0,1],C)montrer que l’application Φ : t∈R→
f+tg ∈ Rest lipchitzienne.
Exercice 9 E=R[X]est muni des normes
N
∞
(P) = max(|a
n
|, n ∈N)
N(P) = sup(|P(x)|, x ∈[−1,1])
1. Vérifier qu’il s’agit de normes
2. Soit (P
n
=1
n+ 1 
n
k=0
X
k
)
n∈N
.Montrer que la suite P
n
converge vers 0pour N
∞
,mais pas
pour N
Exercice 10
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?
1. A={(x, y)∈R
2
tq xy = 1}.
2. B={(x, y)∈R
2
tq x
2
+xy +y
2
<1}.
3. C={z∈Ctq Re(z
2
)≤1}.
lycée Dessaignes 2007-2008