Nombres complexes - Exo7

Exo7
Nombres complexes
1 Forme cartésienne, forme polaire
Exercice 1
Mettre sous la forme a+ib (a,b∈R) les nombres :
3+6i
3−4i;1+i 2−i2
+3+6i
3−4i;2+5i 1−i+2−5i 1+i.
Indication HCorrection HVidéo [000001]
Exercice 2
Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants :
1. Nombre de module 2 et d’argument π/3.
2. Nombre de module 3 et d’argument −π/8.
Indication HCorrection HVidéo [000003]
Exercice 3
Calculer le module et l’argument de u=√6−i√2
2et v=1−i. En déduire le module et l’argument de w=u v.
Indication HCorrection HVidéo [000011]
Exercice 4
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes :
eeiαet eiθ+e2iθ.
Indication HCorrection HVidéo [000013]
2 Racines carrées, équation du second degré
Exercice 5
Calculer les racines carrées de 1,i,3+4i,8−6i,et 7 +24i.
Indication HCorrection HVidéo [000027]
Exercice 6
1. Calculer les racines carrées de 1+i
√2. En déduire les valeurs de cos(π/8)et sin(π/8).
2. Calculer les valeurs de cos(π/12)et sin(π/12).
1

Indication HCorrection HVidéo [000029]
Exercice 7
Résoudre dans Cles équations suivantes :
z2+z+1=0 ; z2−(1+2i)z+i−1=0 ; z2−√3z−i=0 ;
z2−(5−14i)z−2(5i+12) = 0 ; z2−(3+4i)z−1+5i=0 ; 4z2−2z+1=0 ;
z4+10z2+169 =0 ; z4+2z2+4=0.
Indication HCorrection HVidéo [000031]
3 Racine n-ième
Exercice 8
Calculer la somme Sn=1+z+z2+···+zn.
Indication HCorrection HVidéo [000047]
Exercice 9
1. Résoudre z3=1 et montrer que les racines s’écrivent 1, j,j2. Calculer 1 +j+j2et en déduire les
racines de 1 +z+z2=0.
2. Résoudre zn=1 et montrer que les racines s’écrivent 1,ε,...,εn−1. En déduire les racines de 1 +z+
z2+···+zn−1=0. Calculer, pour p∈N, 1 +εp+ε2p+···+ε(n−1)p.
Correction HVidéo [000048]
Exercice 10
Trouver les racines cubiques de 2−2iet de 11+2i.
Correction HVidéo [000043]
Exercice 11
1. Soient z1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le même cube.
Exprimer z2et z3en fonction de z1.
2. Donner, sous forme polaire, les solutions dans Cde :
z6+ (7−i)z3−8−8i=0.
(Indication : poser Z=z3; calculer (9+i)2)
Correction HVidéo [000056]
4 Géométrie
Exercice 12
Déterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que :
1. 
z−3
z−5
=1,
2. 
z−3
z−5
=√2
2.
2

Indication HCorrection HVidéo [000060]
Exercice 13
Montrer que pour u,v∈C, on a |u+v|2+|u−v|2=2(|u|2+|v|2).Donner une interprétation géométrique.
Indication HCorrection HVidéo [000069]
Exercice 14
Soit (A0,A1,A2,A3,A4)un pentagone régulier. On note Oson centre et on choisit un repère orthonormé (O,−→ u,−→ v)
avec −→ u=−−→ OA0, qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexes C.
A0
A3
A4
A1
A2
O1
i
1. Donner les affixes ω0,...,ω4des points A0,...,A4. Montrer que ωk=ω1kpour k∈ {0,1,2,3,4}. Mon-
trer que 1 +ω1+ω2
1+ω3
1+ω4
1=0.
2. En déduire que cos(2π
5)est l’une des solutions de l’équation 4z2+2z−1=0. En déduire la valeur de
cos(2π
5).
3. On considère le point Bd’affixe −1. Calculer la longueur BA2en fonction de sin π
10 puis de √5 (on
remarquera que sin π
10 =cos 2π 5).
4. On considère le point Id’affixe i
2, le cercle Cde centre Ide rayon 1 2et enfin le point Jd’intersection
de Cavec la demi-droite [BI). Calculer la longueur BI puis la longueur BJ.
5. Application : Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
Correction HVidéo [000077]
5 Trigonométrie
Exercice 15
Soit zun nombre complexe de module ρ, d’argument θ, et soit zson conjugué. Calculer (z+z)(z2+z2).. . (zn+
zn)en fonction de ρet θ.
Indication HCorrection HVidéo [000020]
Exercice 16
En utilisant les nombres complexes, calculer cos5θet sin5θen fonction de cosθet sinθ.
Indication HCorrection HVidéo [000080]
3

6 Divers
Exercice 17
Soit Z[i] = {a+ib ;a,b∈Z}.
1. Montrer que si αet βsont dans Z[i]alors α+βet αβ le sont aussi.
2. Trouver les élements inversibles de Z[i], c’est-à-dire les éléments α∈Z[i]tels qu’il existe β∈Z[i]avec
αβ =1.
3. Vérifier que quel que soit ω∈Cil existe α∈Z[i]tel que |ω−α|<1.
4. Montrer qu’il existe sur Z[i]une division euclidienne, c’est-à-dire que, quels que soient αet βdans Z[i]
il existe qet rdans Z[i]vérifiant :
α=βq+ravec |r|<|β|.
(Indication : on pourra considérer le complexe α
β)
Correction HVidéo [000096]
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Indication pour l’exercice 1 N
Pour se “débarrasser” d’un dénominateur écrivez z1
z2=z1 z2·¯z2 ¯z2=z1¯z2
|z2|2.
Indication pour l’exercice 2 N
Il faut bien connaître ses formules trigonométriques. En particulier si l’on connait cos(2θ)ou sin(2θ)on sait
calculer cosθet sinθ.
Indication pour l’exercice 3 N
Passez à la forme trigonométrique. Souvenez-vous des formules sur les produits de puissances :
eiaeib =ei(a+b)et eia/eib =ei(a−b).
Indication pour l’exercice 4 N
Pour calculer un somme du type eiu +eiv il est souvent utile de factoriser par eiu+v
2.
Indication pour l’exercice 5 N
Pour z=a+ib on cherche ω=α+iβtel que (α+iβ)2=a+ib. Développez et indentifiez. Utilisez aussi que
|ω|2=|z|.
Indication pour l’exercice 6 N
Il s’agit de calculer les racines carrées de 1+i
√2=eiπ
4de deux façons différentes.
Indication pour l’exercice 7 N
Pour les équation du type az4+bz2+c=0, poser Z=z2.
Indication pour l’exercice 8 N
Calculer (1−z)Sn.
Indication pour l’exercice 12 N
Le premier ensemble est une droite le second est un cercle.
Indication pour l’exercice 13 N
Pour l’interprétation géométrique cherchez le parallélogramme.
Indication pour l’exercice 15 N
Utiliser la formule d’Euler pour faire apparaître des cosinus.
Indication pour l’exercice 16 N
Appliquer deux fois la formule de Moivre en remarquant ei5θ= (eiθ)5.
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