FicheBAC S01 - Logamaths.fr
Fiche BAC 01 Terminale S
Raisonnement par récurrence
Suites numériques
Exercice n°1. [RÉSOLU]
{
u=−
un+=
√
un+, n≥
Méthode de recherche - TICE
!
" #un$
% #un$&'(
" #un$
% #un$
)Méthode calculatoire
*+ $
% +n,
−⩽un⩽
% +#un $
% +#un-$
% #un$
./0 Méthode de la fonction associée 12#un$
On utilisera cette méthode à partir du moment où la fonction f est définie dans l'énoncé.
x∈[–;]
f(x)=
√
x+
$
% +f
[–;]
$
% +
x∈[–;]
f(x)∈[ –;]
$
% +n,
−⩽un⩽
% +#un $
% +#un-$
3-+
-% #un$
1°) Calculatrice ou tableur : [Méthode de recherche - TICE]
,
),+,2
u=−
,
# ,!2un minorant$"
24,0 il semble que 4 soit un minorant de la suite 1$
" $543'5 +6 7/89:;$&<=*-';<>>>$- $ )-?@
),!0 il semble que la suite#un
soit croissante 1$ )n :
un⩽un+
$
;,+0 la suite n'est pas stationnaire 1$" A
2, 2$
!B0 il semble que toutes les valeurs soient
comprises entre – 1et 2 1$ )n :
−⩽un⩽
.
),!0 il semble que la suite#un
soit convergente et tend vers 2 lorsque n tend vers l'infini 1$
n→+∞
un=
*2 2C $
2°) Par le calcul : [Méthode calculatoire]
[Cette méthode s'applique facilement, dans certains cas, en utilisant les propriétés des inégalités
vues en 3ème et en Seconde, mais devient plus difficile, voire impossible à appliquer dans d'autres
cas avec des quotients ou des expressions plus compliquées de unD.]
a) Calcul des premiers termes :
u=−
u=
√
−+=
,
u=
√
+=
√
.
u=
√
√
.+
,$$$
b) Montrons que : Pour tout entier n,
−⩽un⩽
.
)+n,Pn -+
−⩽un⩽
$
;+)n : Pn $
Initialisation
)nE
u=−
−⩽u⩽
%P0 $
Hérédité
5
n∈ℕ
5+Pn$#8<$
;+Pn+$
%CC<,+
−⩽un⩽
#83
F!G ,
−+⩽un+⩽+
*+
⩽un+⩽
$
,01
[
,+∞
[
,
√
⩽
√
un+⩽
√
$%
⩽un+⩽
$
F 4H,
−<⩽un+⩽
,
−⩽un+⩽
$
*+ +PnD$%$
Conclusion$)n :
−⩽un⩽
$
c) Montrons que la suite #unest strictement croissante.C'est-à-dire :
Pour tout entier n,
un<un+
.
)+n,Pn -+
un<un+
$
;+)n : Pn $
Initialisation
)nE
u=−
u=
u<u
$%P0 $
Hérédité
5
n∈ℕ
" $543'5 +6 7/89:;$&<=*-';<>>>$- $ )-?@
5+Pn$#8<$
;+Pn+$
%CC<,+
un<un+
#83
F!GG ,
un+<un++
,01strictement
[
,+∞
[
,
√
un+<
√
un++
$%
un+<un+
$
*+ +PnD$%$
Conclusion$)n :$
un<un+
$
%,#un $
d) Montrons que la suite #unest convergente.
%C+,#un !$%,C
- ,#un-
n→+∞
un⩽
$
e) Détermination de la limite de la suite #un$
&#un2CC
{
u=−
un+=
√
un+, n≥
%C+,+#un-$
n→+∞
un=l
$;#unD- A
$%
n→+∞
un+=l
$)+,lG
l=
√
l+
−⩽l⩽
{
l=
√
l+
−⩽l⩽
,,
{
l−l−=
−⩽l⩽
$
*+ G ,$$$
l=−
l=
,2, $%4
A $)+,
l=
$
Conclusion&#un-
n→+∞
un=
$
3°) Méthode de la fonction associée
[Cette méthode utilise un outil puissant qu'est la dérivée et s'applique « tout le temps » !
C'est mieux ! Non ?]
a) Sens de variation de f :
;+f C4B$
"C,f C4B
f(x)=
√
x+
$
)f,
f ' (x)=
√
x+
$:+
x∈
[
–I ;
]
f ' (x)>
%,f C4B$
" $543'5 +6 7/89:;$&<=*-';<>>>$- $ )-.?@
x 4 2
f(x)
b) Montrons que la fonction f est « stable » sur 4B
*C'2',
x∈[–;]
f(x)∈[ –;]
$
,Cf #4Ef #E,
01CB$F
[
;
]
⊂
[
−;
]
,
x∈[–;]
f(x)∈[ –;]
$
c) Montrons que pour tout entier n,
−⩽un⩽
)+n,Pn -+
−⩽un⩽
$
;+)n : Pn $
Initialisation
)nE
u=−
−⩽u⩽
%P0 $
Hérédité
5
n∈ℕ
5+Pn$#8<$
;+Pn+$
%CC<,+
−⩽un⩽
#83
,la fonction associée f
[
−,
]
#
-,
f(−)⩽ f(un)⩽ f()
$%
⩽un+⩽
F 4H,
−<⩽un+⩽
,
−⩽un+⩽
$
Remarque : ici, on n'a rien calculé !
*+ +PnD$%$
Conclusion$)n :
−⩽un⩽
$
d) Montrons que la suite #unest strictement croissante.C'est-à-dire :
Pour tout entier n,
un<un+
.
)+n,Pn -+
un<un+
$
;+)n : Pn $
Initialisation
)nE
u=−
u=
u<u
$%P0 $
Hérédité
5
n∈ℕ
5+Pn$#8<$
;+Pn+$
%CC<,+
un<un+
#83
%,C+
−⩽un<un+<
$
,la fonction associée fstrictement
[
−,
]
#
-,
f(−)⩽ f(un)< f(un+)< f()
$
%
f(un)< f(un+)
$*+
un+<un+
$
Remarque : ici, on n'a rien calculé !
*+ +PnD$%$
Conclusion$)n :$
un<un+
$
%,#un $
" $543'5 +6 7/89:;$&<=*-';<>>>$- $ )-?@
e) Montrons que la suite #unest convergente.
%C+,#un !$%,C
- ,#un-
n→+∞
un⩽
$
Représentation graphique$
% ,la courbe*fet
Δ
C+0 y = x1
+C0 la première bissectrice1$
uCG$ -uEf #u$
;,uCG, CG$)
,< +u$)2
Δ
$F u$
g) Détermination de la limite de la suite #un$
&#un2C
{
u=−
un+=f(un), n≥
%C+,+#un-$
n→+∞
un=l
$;#unD- A
$%
n→+∞
un+=l
$
&4B,lG
l=f(l)
−⩽l⩽
$
{
l=
√
l+
−⩽l⩽
,,
{
l−l−=
−⩽l⩽
*+ G ,$$$
l=−
l=
,2, $%4
A $)+,
l=
$
Conclusion&#un-
n→+∞
un=
$
" $543'5 +6 7/89:;$&<=*-';<>>>$- $ )-J?@
6
7
8
9
1
/
9
100%
