TD: Force de Coriolis - ENT ISEN

TD: Force de Coriolis
1 Position du probl`eme
On ´etudie les effets de la force de Coriolis. Soient Tle centre de la terre et Oun point situ´e, au niveau de
la mer, dans l’h´emisph`ere Nord, `a une latitude λ. On d´efinit le r´ef´erentiel Oxyz (x: parall`ele dirig´e vers l’Est;
y: m´eridien dirig´e vers le Nord; z: verticale ascendante). On d´esignera par Ω la vitesse de rotation de la Terre
(la p´eriode Tde rotation de la Terre sur elle-mˆeme autour de la ligne des pˆoles est de 1 jour).
Chute libre
On ´etudie le mouvement d’une particule de masse m.
1. On lance cette particule, `a partir du sol, dans le plan xOz, dans la direction Est, avec une vitesse v0faisant
un angle α0avec l’horizontale.
a. Montrer que, du fait de la rotation de la Terre, tout se passe comme si l’acc´el´eration de la pesanteur
avait subi une variation dgqu’on exprimera en fonction de Ω, λ,v0et α0(on n´egligera les termes en
Ω2).
b. En d´eduire la variation de la port´ee de la particule sur le sol horizontal, en fonction de Ω, λ,v0,α0
et g.
Application num´erique:
g= 10 m.s−2,v0= 141,4 m.s−1,λ= 45◦et α0a la valeur qui rend la port´ee maximale.
2. La particule tombe maintenant librement, `a partir d’un point Asitu´e `a une hauteur hau-dessus du point
O. Montrer que, dans l’h´emisph`ere Nord, au second ordre pr`es en Ω, la particule est d´evi´ee par rapport `a
la verticale d’une quantit´e y1vers le Sud et d’une quantit´e x1vers l’Est.
Exprimer les d´eviations x1et y1, `a l’arriv´ee au sol, en fonction de Ω, h,λet g.
Application num´erique:
Calculer les deux composantes x1et y1de la d´eviation pour h= 200 m en un lieu de latitude λ=45◦.
Aurait-on ´egalement une d´eviation vers l’Est dans l’h´emisph`ere Sud ?
M
T
ynord zzénith
xest M
T
ynord
zzénith
xest Pu
u
r
O
O1
Pendule de Foucault
Un pendule simple, de longueur `, est ´ecart´e de sa position verticale d’´equilibre O1O; la masse oscillante M
est abandonn´ee sans vitesse dans la position M1de coordonn´ees (0, y0, z0) par rapport au r´ef´erentiel terrestre
R: (O, x, y, z) o`u xest le parall`ele de latitude λdirig´e vers l’Est; yle m´eridien dirig´e vers le Nord et zla
verticale ascendante. On tiendra compte de la rotation uniforme de la Terre autour de la ligne des pˆoles avec
une vitesse angulaire: Ω = 7,3.10−5rad.s−1. On posera α= Ω.sin λet ω=pg/`. On fera l’approximation
αω.
1. Montrer que les ´equations du mouvement de M, pour des petites oscillations s’´ecrivent:
x=y0.cos(ω.t).sin(α.t)
y=y0.cos(ω.t).cos(α.t)
2. En d´eduire la dur´ee d’une r´evolution compl`ete du plan d’oscillation du pendule de Foucault en un lieu de
latitude 30◦.
3. Tracer la trajectoire de la masse oscillante en r´esolvant directement l’´equation diff´erentielle du mouvement.
Comparer avec la solution analytique obtenue en 1.
Solution
1. Dans l’h´emisph`ere Nord, la vitesse de rotation de la Terre se projette en
x
Ω = 
0
Ω.cos λ
Ω.sin λ
~ux,~uy,~uz
.
Tir vers l’Est:
Syst`eme: l’obus, r´ef´erentiel: li´e `a la Terre (non galil´een); bilan: le poids ~ Pet la force d’inertie de Coriolis
1

ISEN-Brest. Kany. TD: Force de Coriolis
~
Fic =−m.~aC.
L’acc´el´eration de Coriolis s’´ecrit: ~aC= 2.
x
Ω∧~v = 2.
0
Ω.cos λ
Ω.sin λ
∧
•
x
•
y
•
z
= 2.Ω.
cos λ.• z−sin λ.• y
sin λ.• x
−cos λ.• x
.
Le principe fondamental de la dynamique se projette en:
••
x=−2.Ω.(cos λ.• z−sin λ.• y)
••
y=−2.Ω.sin λ.• x
••
z=−g+ 2.Ω.cos λ.• x
Tout se passe donc comme si l’acc´el´eration de la pesanteur avait vari´e de dget que l’on ait: •• z=−(g+ dg)
avec dg=−2.Ω.cos λ.• x.
Si on avait n´eglig´e la force de Coriolis, on aurait • x=v0.cos α0=cte et une port´ee xI=v2
0.sin(2.α0)
g(cf
TD parabole de s´ecurit´e).
Si gvarie de dg, la port´ee xIqui varie de dxI=−v2
0.sin(2.α0)
g2.dg=v2
0.sin(2.α0)
g2×2.Ω.cos λ.v0.cos α0>0.
La port´ee augmente pour un tir vers l’Est (et diminue pour un tir vers l’Ouest car alors • x < 0)
2. Chute verticale.
Syst`eme: la masse m; r´ef´erentiel: li´e `a la Terre (non-galil´een); bilan: poids ~ P=m.~g, force d’inertie:
~
FCoriolis.
M´ethode de calcul par it´erations successives.
•Premier essai: ~v/RT errestre =−g.t.~ k.
Ce n’est qu’une approximation car ||~v|| 6=g.t `a cause de l’acc´el´eration de Coriolis.
~aCoriolis = 2.
x
ΩT∧~v/RT errestre = 2.
0
Ω.cos λ
Ω.sin λ
∧
0
0
−g.t
= −2.g.t.Ω.cos λ
0
0
On en d´eduit: ~a/RT errestre =~g −~aCoriolis =
0
0
−g
− −2.g.t.Ω.cos λ
0
0
En int´egrant cette expression, on obtient une expression de ~v/RT errestre plus pr´ecise:
~v/RT errestre =−g.t.~ k + g.t2.Ω.cos λ.~ı.
On pourrait r´einjecter cette expression de ~v/RT errestre pour calculer `a nouveau ~aCoriolis et recalculer ainsi
une expression de ~v/RT errestre encore plus pr´ecise, et ainsi de suite. . .
En se limitant `a l’expression de ~v/RT errestre corrig´ee au premier ordre, on a: x=1
3.g.t3.Ω.cos λ
z=h−1
2.g.t2
zs’annule donc pour h=1
2.g.t2d’o`u: x=1 3.g. 2.h g
3
2.Ω.cos λ=1
3.(2.h)3
2
g1
2
.Ω.cos λ > 0: il y a d´eviation
vers l’Est.
Remarque: dans l’h´emisph`ere sud: d´eviation vers l’Est ´egalement (car cos(−λ) = cos(+λ)); au pˆole: pas
de d´eviation (cos λ= 0).
Interpr´etation: dans le plan de l’´equateur
T
pole nord
v=R. v=(R+z).
déviation
Est
Ouest
Pendule de Foucault
Syst`eme: la masse m; r´ef´erentiel: terrestre (non-galil´een); bilan: poids ~ P=m.~g, force d’inertie: ~ FCoriolis,
tension du fil ~ T.
m.~a/RT errestre =m.~g +~ T−m.~aCoriolis avec ~ T=−T.−→ ur=−T. −−−→
O1M
`=−T. −−−→
O1O+−−−→ OM
`
m.~a/RT errestre =m.~g −T. −−−→
O1O
`−T. −−−→
OM
`−m.2.
x
ΩT∧~v/RT errestre
2

ISEN-Brest. Kany. TD: Force de Coriolis
m. 
••
x
••
y
••
z
=
0
0
−m.g
−T
`.
0
0
−`
−T
`.
x
y
z
−2.m. 
0
Ω.cos λ
Ω.sin λ
∧
•
x
•
y
•
z
dans (Oxyz).
m. 
••
x
••
y
••
z
=
0
0
T−m.g
−T
`.
x
y
z
−2.m. 
•
z.Ω.cos λ−• y.Ω.sin λ
•
x.Ω.sin λ
−• x.Ω.cos λ
.
En posant ω2=g
`:
••
x=−ω2.x −2.Ω.(• z. cos λ−• y. sin λ)
••
y=−ω2.y −2.Ω.• x. sin λ
••
z=−ω2.z + 2.Ω.• x. cos λ
Hypoth`ese: petites oscillations z'0 = cte ⇒•• z= 0 et • z= 0.
••
x' −ω2.x + 2.Ω.• y. sin λ(1)
••
y=−ω2.y −2.Ω.• x. sin λ(2)
On pose Z=x+i.y ⇒
•
Z=• x+i.• yet
••
Z=•• x+i.•• y.
D’apr`es (1)+i.(2):
••
Z=−ω2.Z −2.Ω.sin λ.i.
•
Z⇒
••
Z+ (2.Ω.sin λ).i.
•
Z+ω2.Z = 0.
On pose α= Ω.sin λet on cherche Zsous la forme: Z=Z0.er.t ⇒r2+ 2.α.i.r +ω2= 0
r=−2.α.i±i.√4.(α2+ω2)
2'−2.α.i±i.√4.ω2 2car α2ω2.
D’o`u: r=−(α±ω).i ⇒Z=Z1.e−i.(α+ω).t +Z2.e−i.(α−ω).t o`u Z1=x1+i.y1et Z2=x2+i.y2.
x=<(Z)⇒x=x1.cos((α+ω).t) + x2.cos((α−ω).t) + y1.sin(+(α+ω).t) + y2.sin(+(α−ω).t)
y==(Z)⇒y=y1.cos((α+ω).t) + y2.cos((α−ω).t) + x1.sin(−(α+ω).t) + x2.sin(−(α−ω).t)
Conditions initiales: `a t= 0:x= 0;• x= 0;y=y0et • y= 0; d’o`u:
x1+x2= 0
y1.(+(α+ω)) + y2.(+(α−ω)) 'y1.(ω) + y2.(−ω)=0
y1+y2=y0
x1.(−(α+ω)) + x2.(−(α−ω)) 'x1.(−ω) + x2.(ω)=0
⇒
x1=−x2
y1=y2
2.y1=y0
x1=x2
⇒x1=−x2=x2= 0
y1=y2=y0
2
⇒x=y0
2.[sin((α+ω).t) + sin((α−ω).t)] = y0.cos(ω.t).sin(α.t)
y=y0
2.[cos((α+ω).t) + cos((α−ω).t)] = y0.cos(ω.t).cos(α.t)o`u le terme y0.cos(ω.t)correspond
aux oscillations du pendule et le terme sin(α.t)/cos(α.t)`a la rotation du plan d’oscillations.
P´eriode de la rotation du plan d’oscillations: T=2π
|α|=2π Ω.|sin λ|.
Remarque: au pˆole: T= 24H; `a l’´equateur T=∞: il n’y a pas de rotation du plan d’oscillations;
dans l’h´emisph`ere sud: le sens de rotation du plan d’oscillations est oppos´e `a l’h´emisph`ere nord.
Interpr´etation: le plan d’oscillations du pendule est fixe dans le r´ef´erentiel g´eocentrique Rg´eo (centr´e sur T
et pointant vers trois ´etoiles fixes). Dans le r´ef´erentiel terrestre, il semble tourner dans le sens inverse de
la rotation de la Terre.
direction d'oscillations
fixe dans géocentrique
x=y0.cos(ω.t).sin(α.t)
y=y0.cos(ω.t).cos(α.t)avec α= Ω.sin λ. dans l’h´emisph`ere nord: sin λ > 0.
Vue de dessus: h´emisph`ere nord: α > 0h´emisph`ere sud: α < 0
y0
x: est
y: nord
t=0
y0
x: est
y: nord
t=0
`a t= 0 + δt x > 0
y < y0`a t= 0 + δt x < 0 y < y0
3

ISEN-Brest. Kany. TD: Force de Coriolis
2 Code avec Mathematica
Force de Coriolis
Tir vers l’Est
In[1]:= Needs["LinearAlgebra‘CrossProduct‘"] Needs["Calculus‘VectorAnalysis‘"]
In[3]:= V0=100 Sqrt[2]; alpha0=N[45 Degree]; g=10; Pesanteur={0,0,-g};
Omega=N[2 Pi / (24 * 3600)];lambda=N[45 Degree];
VecOmega={0,Omega Cos[lambda], Omega Sin[lambda]}; OM={x[t],y[t],z[t]};
Vitesse=D[OM,t]; Acceleration=D[Vitesse,t]; Coriolis=-2.0*Cross[VecOmega,Vitesse];
AccelerationTotale=Pesanteur+Coriolis;
In[11]:= Equ=Acceleration-AccelerationTotale;
Sol=NDSolve[{Equ[[1]]==0,Equ[[2]]==0,Equ[[3]]==0, x[0]==0,y[0]==0,z[0]==0,
x’[0]==V0 Cos[alpha0],y’[0]==0,z’[0]==V0 Sin[alpha0]},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,25},
AccuracyGoal->20]; X=x[t]/.Sol[[1]];Y=y[t]/.Sol[[1]];Z=z[t]/.Sol[[1]];
temps=t/.FindRoot[Z==0,{t,20},AccuracyGoal->12][[1]] ParametricPlot[{X,Y},{t,0,temps}]
PositionFinale1={X,Y}/.t->temps
Out[14]= 20.0206
Out[15]= -Graphics-
Out[16]= {2001.37, -2.06042}
In[17]:= Equ=Acceleration-Pesanteur;
Sol=NDSolve[{Equ[[1]]==0,Equ[[2]]==0,Equ[[3]]==0, x[0]==0,y[0]==0,z[0]==0,
x’[0]==V0 Cos[alpha0],y’[0]==0,z’[0]==V0 Sin[alpha0]},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,25},
AccuracyGoal->20]; X=x[t]/.Sol[[1]];Y=y[t]/.Sol[[1]];Z=z[t]/.Sol[[1]];
temps=t/.FindRoot[Z==0,{t,20},AccuracyGoal->12][[1]] PositionFinale2={X,Y}/.t->temps
Out[20]= 20.
Out[21]= {2000., 0.}
In[22]:= PositionFinale1-PositionFinale2
Out[22]= {1.36985, -2.06042}
Calcul approximatif de ∆x
In[23]:= N[2 V0^3 Omega Cos[alpha0] Sin[2 alpha0] Cos[lambda]/ g^2]
Out[23]= 2.05689
4

ISEN-Brest. Kany. TD: Force de Coriolis
Chute libre: d´eviation vers l’Est
In[24]:= h=200; Equ=Acceleration-AccelerationTotale;
Sol=NDSolve[{Equ[[1]]==0,Equ[[2]]==0,Equ[[3]]==0, x[0]==0,y[0]==0,z[0]==h,
x’[0]==0,y’[0]==0,z’[0]==0},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,25},AccuracyGoal->20];
X=x[t]/.Sol[[1]];Y=y[t]/.Sol[[1]];Z=z[t]/.Sol[[1]];
temps=t/.FindRoot[Z==0,{t,20},AccuracyGoal->12][[1]]; PositionFinale3={X,Y}/.t->temps
Out[29]= {0.0433631, -7.05133 10−6}
Calcul approximatif de ∆x,∆y
In[30]:= N[{g Omega Cos[lambda] (2 h/g)^(3/2)/3,
- Omega^2 Sin[lambda] Cos[lambda] (2 h)^2 / (6 g)}]
Out[30]= {0.0433631, -7.05133 10−6}
Pendule de Foucault
In[31]:= l=67; Tension=- g/l (OM+{0,0,-l}); Theta=N[10 Degree];
AccelerationTotale=Pesanteur+Tension+Coriolis; Equ=Acceleration-AccelerationTotale;
Sol=NDSolve[{Equ[[1]]==0,Equ[[2]]==0,Equ[[3]]==0, x[0]==0,y[0]==-l Sin[Theta],
z[0]==l (1-Cos[Theta]), x’[0]==0,y’[0]==0,z’[0]==0},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,60},
AccuracyGoal->20]; X=x[t]/.Sol[[1]];Y=y[t]/.Sol[[1]];Z=z[t]/.Sol[[1]];
ParametricPlot[{X,Y},{t,0,60},PlotRange->{{-.5,.5},{-12,12}}]
Out[37]= -Graphics-
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.optimize
import scipy.integrate
import numpy as np
global VecOmega
#Tir vers l’Est
5