TD: Force de Coriolis
1 Position du probl`eme
On ´etudie les effets de la force de Coriolis. Soient Tle centre de la terre et Oun point situ´e, au niveau de
la mer, dans l’h´emisph`ere Nord, `a une latitude λ. On d´efinit le r´ef´erentiel Oxyz (x: parall`ele dirig´e vers l’Est;
y: m´eridien dirig´e vers le Nord; z: verticale ascendante). On d´esignera par Ω la vitesse de rotation de la Terre
(la p´eriode Tde rotation de la Terre sur elle-mˆeme autour de la ligne des pˆoles est de 1 jour).
Chute libre
On ´etudie le mouvement d’une particule de masse m.
1. On lance cette particule, `a partir du sol, dans le plan xOz, dans la direction Est, avec une vitesse v0faisant
un angle α0avec l’horizontale.
a. Montrer que, du fait de la rotation de la Terre, tout se passe comme si l’acc´el´eration de la pesanteur
avait subi une variation dgqu’on exprimera en fonction de Ω, λ,v0et α0(on n´egligera les termes en
Ω2).
b. En d´eduire la variation de la port´ee de la particule sur le sol horizontal, en fonction de Ω, λ,v0,α0
et g.
Application num´erique:
g= 10 m.s−2,v0= 141,4 m.s−1,λ= 45◦et α0a la valeur qui rend la port´ee maximale.
2. La particule tombe maintenant librement, `a partir d’un point Asitu´e `a une hauteur hau-dessus du point
O. Montrer que, dans l’h´emisph`ere Nord, au second ordre pr`es en Ω, la particule est d´evi´ee par rapport `a
la verticale d’une quantit´e y1vers le Sud et d’une quantit´e x1vers l’Est.
Exprimer les d´eviations x1et y1, `a l’arriv´ee au sol, en fonction de Ω, h,λet g.
Application num´erique:
Calculer les deux composantes x1et y1de la d´eviation pour h= 200 m en un lieu de latitude λ=45◦.
Aurait-on ´egalement une d´eviation vers l’Est dans l’h´emisph`ere Sud ?
M
T
ynord zzénith
xest M
T
ynord
zzénith
xest Pu
u
r
O
O1
Pendule de Foucault
Un pendule simple, de longueur `, est ´ecart´e de sa position verticale d’´equilibre O1O; la masse oscillante M
est abandonn´ee sans vitesse dans la position M1de coordonn´ees (0, y0, z0) par rapport au r´ef´erentiel terrestre
R: (O, x, y, z) o`u xest le parall`ele de latitude λdirig´e vers l’Est; yle m´eridien dirig´e vers le Nord et zla
verticale ascendante. On tiendra compte de la rotation uniforme de la Terre autour de la ligne des pˆoles avec
une vitesse angulaire: Ω = 7,3.10−5rad.s−1. On posera α= Ω.sin λet ω=pg/`. On fera l’approximation
αω.
1. Montrer que les ´equations du mouvement de M, pour des petites oscillations s’´ecrivent:
x=y0.cos(ω.t).sin(α.t)
y=y0.cos(ω.t).cos(α.t)
2. En d´eduire la dur´ee d’une r´evolution compl`ete du plan d’oscillation du pendule de Foucault en un lieu de
latitude 30◦.
3. Tracer la trajectoire de la masse oscillante en r´esolvant directement l’´equation diff´erentielle du mouvement.
Comparer avec la solution analytique obtenue en 1.
Solution
1. Dans l’h´emisph`ere Nord, la vitesse de rotation de la Terre se projette en
x
Ω =
0
Ω.cos λ
Ω.sin λ
~ux,~uy,~uz
.
Tir vers l’Est:
Syst`eme: l’obus, r´ef´erentiel: li´e `a la Terre (non galil´een); bilan: le poids ~
Pet la force d’inertie de Coriolis
1