les nombres réels - IMJ-PRG

Table des mati`eres
4 Propri´et´es de R1
4.1 L’ensemble des r´eels est un corps ordonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.1.1 Propri´et´es d’ordre de R............................. 1
4.1.2 Valeurabsolue .................................. 1
4.1.3 Intervalles..................................... 2
4.1.4 Voisinages..................................... 2
4.2 Majorant, minorant, borne sup´erieure et borne inf´erieure . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.2.1 D´efinitions .................................... 3
4.2.2 Compl´etude de R................................. 3
4.2.3 Propri´et´e archim´edienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.3 Les nombres rationnels dans R............................. 4
4.3.1 R6=Q....................................... 4
4.3.2 Densit´e de Qdans R............................... 5
4.4 D´eveloppement d´ecimal d’un nombre r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1

Chapitre 4
Propri´et´es de R
Dans ce chapitre, nous allons analyser les propri´et´es fondamentales de l’ensemble des nombres
r´eels que nous noterons R. Bien que les nombres r´eels puissent ˆetre formellement construits `a
partir des nombres naturels (ou les nombres rationnels), nous avons d´ecid´e de pr´esenter un autre
point de vue.
Nous donnons une liste des propri´et´es fondamentales associ´ees aux nombres r´eels et nous montrons
comment celles-ci en impliquent d’autres.
4.1 L’ensemble des r´eels est un corps ordonn´e
L’ensemble des r´eels Rest muni de deux op´erations binaires, l’addition (+) et la multiplica-
tion (·). Ces op´erations ont les propri´et´es habituelles qui font de Run corps commutatif :
commutativit´e, associativit´e, existence de l’´el´ement neutre, existence d’inverse et distributivit´e.
4.1.1 Propri´et´es d’ordre de R
Remarque 4.1. Une notion fondamentale sur les r´eels est celle d’ordre ; pour ˆetre utile la relation
d’ordre doit ˆetre compatible avec les op´erations alg´ebriques, plus pr´ecis´ement elle doit v´erifier les
r`egles suivantes :
(A) Pour tous x,y,zr´eels, x≤y⇒x+z≤y+z(compatibilit´e avec l’addition) ;
(M) Pour tous x,yr´eels, pour tout ar´eel positif x≤y⇒ax ≤ay (compatibilit´e avec la
multiplication).
On peut aussi en d´eduire :
1. 0 < x ≤y⇒0<1
y≤1 x;
2. x≤y⇒ −x≥ −yet ∀x, x2≥0.
Un corps satisfaisant ces r`egles est appel´e un corps ordonn´e.
L’ordre est total : pour tous r´eels xet y, ou bien x≤y, ou bien y≤x.
4.1.2 Valeur absolue
La relation d’ordre permet aussi de d´efinir la distance entre deux r´eels et donc de dire si deux
r´eels sont proches :
1

CHAPITRE 4. PROPRI ´ ET ´ ES DE R2
D´efinition 4.2. La valeur absolue d’un nombre r´eel xest max{x, −x}et se note |x|. La distance
entre deux r´eels xet yest |x−y|.
La valeur absolue d’un nombre est donc toujours positive. Rappelons les propri´et´es fondamentales
de la valeur absolue :
(a) |xy|=|x||y|.
(b) Si z≥0, alors |x| ≤ zsi, et seulement si, −z≤x≤z.
(c) (in´egalit´e triangulaire) |x+y|≤|x|+|y|.
Si on d´esigne par d(x, y) la distance entre deux nombres r´eels xet y, on peut aussi exprimer
l’in´egalit´e (c) sous la forme plus g´eom´etrique d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z). La notion de distance
permet de formaliser l’id´ee de tendre vers un point .
4.1.3 Intervalles
La relation d’ordre sur Rd´etermine une famille naturelle de sous-ensembles appel´es intervalles.
On peut faire la distinction entre les intervalles born´es et les intervalles infinis. Si α,βsont deux
nombres r´eels tels que α < β, on note :
•l’intervalle born´e ouvert par : ]α, β[:= {x∈R|α<x<β};
•l’intervalle born´e ferm´e par : [α, β] := {x∈R|α≤x≤β};
•les intervalles born´es mixtes par : [α, β[:= {x∈R|α≤x<β}, ]α, β] := {x∈R|α < x ≤β}.
Les intervalles infinis sont mixtes ou ouverts :
•ouverts : ]α, +∞[:= {x∈R|α < x}, ] − ∞, β[:= {x∈R|x<β};
•mixtes : [α, +∞[:= {x∈R|α≤x}, ] − ∞, β] := {x∈R|x≤β}.
Notez que pour α=βles d´efinitions ci-dessus ont un sens et donnent :
[α, α] = {α},]α, α]=[α, α[=]α, α[ = ∅et ]− ∞,∞[ = R.
Remarque 4.3. Les intervalles peuvent aussi s’´ecrire en termes de valeur absolue. Ainsi un
ensemble du type {x∈R||x−α| ≤ β}(respectivement {x∈R||x−α|< β}) est l’intervalle
ferm´e [α−β, α +β] (respectivement ouvert ]α−β, α +β[).
R´eciproquement un intervalle [α, β] peut aussi s’´ecrire
[α, β] = {x∈R||x−α+β
2| ≤ β−α 2}.
4.1.4 Voisinages
Un voisinage d’un point est intuitivement une zone de l’espace qui entoure ce point.
Plus pr´ecis´ement, en topologie, un voisinage d’un point est un sous-ensemble qui contient un
ouvert contenant ce point. Pour ˆetre en mesure de simplifier les preuves sur les limites du chapitre
prochain, on admet les g´en´eralisations suivantes : les voisinages `a l’infini et les voisinages `a gauche
et `a droite.
D´efinition 4.4. Soit x∈R. Un voisinage de xest un sous-ensemble V⊂Rqui contient
]x−ε, x +ε[ avec ε > 0 ; autrement dit Vest un voisinage de xsi, et seulement si, il existe ε > 0
tel que ]x−ε, x +ε[⊂V. En particulier, si ε > 0, on dit que ]x−ε, x +ε[ est un voisinage ouvert
de x.
On d´efinit les voisinages `a l’infini par :
•Vest un voisinage de +∞si, et seulement si, il existe β∈Rtel que ]β, +∞[⊂V;

CHAPITRE 4. PROPRI ´ ET ´ ES DE R3
•Vest un voisinage de −∞ si, et seulement si, il existe α∈Rtel que ]− ∞, α[⊂V.
On d´efinit les voisinages `a gauche et `a droite par :
•Vest un voisinage `a gauche de xsi, et seulement si, il existe ε > 0 tel que ]x−ε, x]⊂V;
•Vest un voisinage `a droite de xsi, et seulement si, il existe ε > 0 tel que [x, x +ε[⊂V.
Exemples 4.5. (a) L’intervalle [0,1[ est un voisinage de 1
2et un voisinage `a droite de 0 ; en
revanche ce n’est pas un voisinage `a gauche de 1.
(b) L’ensemble ]−∞, π]∪{5}est un voisinage de −∞, un voisinage de 2 et un voisinage `a gauche
de π; en revanche ce n’est pas un voisinage de 5.
Habituellement on utilise l’expression la proposition Pest vraie au voisinage de α, pour dire
que il existe un voisinage Vde αtel que la proposition P(y) est vraie pour tout y∈V.
Exemple 4.6. La fonction f(x) = x2(1 −x2) est positive au voisinage de 0 et n´egative au
voisinage de +∞et −∞.
4.2 Majorant, minorant, borne sup´erieure et borne inf´erieure
4.2.1 D´efinitions
Consid´erons maintenant un sous-ensemble Edes nombres r´eels ; il est souvent int´eressant de
connaˆıtre un nombre r´eel qui est plus grand que tous les ´el´ements de E; on peut aussi chercher
un tel nombre le plus petit possible. C’est le but des d´efinitions suivantes :
D´efinition 4.7. Soit E⊂Run sous-ensemble des nombres r´eels. Un ´el´ement m∈Rest un
majorant de Esi pour tout xdans Eon a x≤m. Le plus petit des majorants de E(s’il existe)
s’appelle la borne sup´erieure de E(dans R).
Si la borne sup´erieure de Eappartient `a E, elle s’appelle le maximum de E(le plus grand ´el´ement
de E).
On peut bien sˆur d´efinir de la mˆeme fa¸con un minorant et la borne inf´erieure comme le plus
grand des minorants et le minimum si elle appartient `a l’ensemble.
La borne sup´erieure (resp. inf´erieure) de Fest not´ee sup F(resp. inf F). Le minimum (resp.
maximum) de Fest not´e max F(resp. min F).
Exemple 4.8. Soit E⊂Rl’intervalle [0,1[. On peut v´erifier que 0 est la borne inf´erieure de E
(et son minimum) et que 1 est sa borne sup´erieure bien que En’ait pas de maximum.
Une autre fa¸con d’exprimer la d´efinition pr´ec´edente est la suivante : un r´eel mest la borne
sup´erieure d’un ensemble E⊂Rsi, et seulement si,
(a) ∀x∈E,x≤m;
(b) ∀ε > 0, ∃x∈E,m−ε≤x.
4.2.2 Compl´etude de R
Les propri´et´es d’ordre que nous avons annonc´ees jusqu’ici sont satisfaites par les nombres ration-
nels donc pas uniquement par les r´eels. Il faut imposer une propri´et´e qui exprime la compl´etude
de Rpour le distinguer de l’ensemble des nombres rationnels (nous verrons que Qne satisfait pas
cette propri´et´e, Remarque 4.12).

CHAPITRE 4. PROPRI ´ ET ´ ES DE R4
(C) Propri´et´e de la borne sup´erieure.
Tout sous-ensemble de Rnon vide et major´e admet une borne sup´erieure. Tout sous-
ensemble de Rnon vide et minor´e admet une borne inf´erieure.
Cette propri´et´e a de nombreuses cons´equences. En particulier, on peut en d´eduire le Th´eor`eme
de Cauchy qui dit qu’une suite est convergente si, et seulement si, elle est de Cauchy (ceci est la
formulation habituelle pour dire que Rest complet).
4.2.3 Propri´et´e archim´edienne
L’intuition suivante une quantit´e, aussi petite soit-elle, ajout´ee suffisamment de fois `a elle-mˆeme
d´epasse n’importe quelle quantit´e donn´ee est justifi´ee dans R(et aussi dans Q) :
Proposition 4.9 (Propri´et´e archim´edienne). Pour tout nombre r´eel yet pour tout nombre
r´eel xstrictement positif il existe un entier n≥1tel que nx =x+. . . +x>y .
Il suffit de montrer que l’ensemble Nn’est pas major´e, puisqu’alors il existe n∈N, tel que n > y
x.
En raison de la familiarit´e avec l’ensemble Ret l’image habituelle de la droite r´eelle, il peut
sembler ´evident que l’ensemble des nombres naturels n’est pas born´e dans R. Comment pouvons-
nous prouver ce fait ´evident ? Nous devons utiliser la propri´et´e de la borne sup´erieure ainsi
que le principe de r´ecurrence de N(c’est `a dire, si n∈N, alors n+ 1 ∈N).
S’il y avait un majorant xde N, il existerait une borne sup´erieure u∈R, par la propri´et´e de la
borne sup´erieure. En soustrayant 1 `a u, nous obtenons u−1 qui est inf´erieur `a la borne sup´erieure,
donc u−1 n’est pas un majorant de Net il existe m∈Navec u−1< m. Ajoutant 1, nous avons
u < m + 1, et puisque m+ 1 ∈N, cette in´egalit´e contredit le fait que uest une borne sup´erieure
de N.
Remarques 4.10. On peut d´efinir axiomatiquement les nombres r´eels comme les ´el´ements d’un
corps avec un ordre total qui satisfait les propri´et´es (A),(M) et (C) et qui contient les nombres
naturels.
Si on veut ´eviter de supposer que les r´eels contiennent les nombres naturels, on peut remplacer
cette hypoth`ese par la propri´et´e archim´edienne.
Ainsi, les nombres r´eels forment un corps totalement ordonn´e, archim´edien et poss´edant la pro-
pri´et´e de la borne sup´erieure (complet). Ces propri´et´es caract´erisent le corps ordonn´e (R,+,·,≤)
`a isomorphisme pr`es.
4.3 Les nombres rationnels dans R
4.3.1 R6=Q
Si on d´esigne par Nl’ensemble des entiers naturels, par Zles nombres entiers, par Ql’ensemble
des rationnels, on a les inclusions suivantes :
N⊂Z⊂Q⊂R.
Il est clair que les deux premi`eres inclusions sont strictes, puisque −1∈Zmais −16∈ Net 1
2∈Q
mais 1
26∈ Z.
On veut ´etudier maintenant l’inclusion Q⊂R. Pour montrer que cette inclusion est stricte, nous
allons d’abord d´emontrer qu’il n’existe pas de nombre rationnel rtel que r2= 2. Apr`es, nous
montrerons qu’il existe un nombre r´eel positif xtel que x2= 2 que nous d´esignons par √2.