L2-M31 Analyse Université d`Évry TD 1

L2-M31 Analyse Universit´e d’´ Evry
TD 1 - Bornes sup et inf
Exercice 1. Pour chaque question, repondre par ”vrai” ou ”faux” et justifier la reponse.
Dans la suite Aest une partie de R.
1) Toute partie non vide major´e de Qadmet un maximum,
Faux. On peut prendre comme contre-exemple A={x∈Q|x < 0}.Aadmet alors
pour borne sup´erieure 0 qui n’appartient pas `a A.
2) Toute partie non vide major´e de Radmet un maximum,
Faux. On peut encore prendre comme contre-exemple A={x∈Q|x < 0}.Aadmet
alors pour borne sup´erieure 0 qui n’appartient pas `a A.
3) L’ensemble Qv´erifie l’axiome de la borne sup´erieure,
Faux. On peut prendre comme contre-exemple A={x∈Q|x < √2}.
On raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe x∈Q, borne sup´erieure de A.
Comme Qest dense dans R, on sait qu’il existe ˜x∈Qtel que √2<˜x < x. Alors, ˜x
majore Aet est strictement inf´erieur `a x, ce qui contredit le fait que xsoit une borne
sup´erieure de A.
Remarque : Aadmet pour borne sup´erieure dans Rle r´eel √2 qui n’appartient pas `a
Q.
4) Toute partie non vide major´e de Radmet une borne sup´erieure,
Vrai. C’est l’axiome de la borne sup´erieure.
5) Si une partie de Radmet un maximum, sa borne sup´erieure est ´egale `a ce maximum,
Vrai. Notons Acette partie. Le maximum de Aest un majorant de Aqui appartient
`a A. La borne sup´erieure est le plus petit des majorants de A.
Nous avons donc par d´efinition de la borne sup´erieure sup A≤max A.
D’autre part, nous avons max A∈Aet sup Aest un majorant de A. Donc, en
particulier, max A≤sup A.
Nous avons donc sup A= max A.
6) Aest minor´ee si et seulement si ∀x∈A, ∃m∈R, m ≤x,
Faux. On peut prendre comme contre-exemple A=] − ∞,0]. Pour tout x∈A, on a
bien l’existence de m∈Rtel que m≤x. Mais An’est pas minor´ee.
Aest minor´ee ssi ∃m∈R,∀x∈A, m ≤x.
7) Si ∃M∈R,∀x∈A, x ≤Malors Aest born´ee,
Faux. On peut prendre comme contre-exemple A=] − ∞,0].
Par contre, si ∃M∈R,∀x∈A, |x| ≤ Malors Aest born´ee.

2
8) La somme de deux nombres rationnels est un rationnel,
Vrai.
Soit (x1, x2)∈Q. Il existe (p1, q1) et (p2, q2) des ´el´ements de Z×N∗tels que x1=p1
q1
et x2=p2
q2. Alors x1+x2=p1q2+p2q1 q1q2∈Q.
Autre justification : Qest un corps. C’est donc un groupe pour l’addition.
9) La somme de deux nombres irrationnels est un irrationnel,
Faux. On peut prendre comme contre exemple x1=√2 et x2= 1 −√2. x1+x2=
1∈Q.
10) Le produit de deux nombres rationnels est un rationnel,
Vrai. x1x2=p1p2
q1q2∈Q.
Autre justification : Qest un corps. Q(priv´e de 0) est donc un groupe pour la
multiplication.
11) Le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel,
Faux. On peut prendre x1=x2=√2. On a alors x1x2= 2 ∈Q.
12) Soit x∈R∗. Si x∈R\Qalors x−1∈R\Q,
Vrai. Raisonnons par contrapos´ee. Soit x−1∈Q.∃(p, q)∈Z∗×N∗tels que x−1=p
q.
Alors x=q
p∈Q.
13) Pour n∈N∗on pose In=1−1
n,1. Il existe x∈Rv´erifiant ∀n∈N∗, x ∈In.
Nous raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe x∈Rtel que x∈Inpour
tout n∈N. Nous savons alors que x < 1 (puisque en particulier xest dans I1=]0,1[).
On note alors ε= 1 −x.
Comme 1 −1/n −→
n→+∞1, il existe N∈N(suffisamment grand) tel que pour tout
n≥N, on a 1 −1/n > 1−ε/2> x. En particulier, x /∈IN, ce qui est absurde.
14) Soit x∈R+v´erifiant ∀ > 0, x < . Alors x= 0.
Comme x∈R+,x≥0. Supposons que x > 0. Alors, en notant ε=x
2, on a 0 < ε < x,
ce qui est absurde. Donc x= 0.
15) Si B⊂A, alors sup B≤sup A.
Vrai. Comme B⊂A, un majorant de Aest aussi un majorant de B. Ainsi, sup A
majore B. Comme sup Best le plus petit des majorants de B, on a sup B≤sup A.
Exercice 2. Que valent le minimum, le maximum (s’ils existent), la borne sup´erieure
et la borne inf´erieure dans Rdes ensembles suivants ?
A=(−1)n
n:n∈N∗, B ={log n:n∈N∗}, C ={1−2x:x∈[3,5[},

3
D=(−1)n+1
n:n∈N∗, E =n−1
n
n+1
n
;n∈N∗, F =n
nm + 1 ; (n, m)∈N×N.
min max inf sup
A -1 1
2−11 2
B 0 /0 +∞
C / −5−9−5
D / 3
2−13 2
E 0 / 0 1
F 0 / 0 +∞
Exercice 3. a) Caract´eriser les ´el´ements des intervalles [1,7] et ] −5; 4[ `a l’aide d’une
in´egalit´e utilisant une valeur absolue.
On utilise la formule g´en´erale [a, b] = [a+b
2−b−a 2,a+b 2+b−a 2] = {x∈R|
x−a+b
2
<|a−b|
2}.
[1,7] = {x∈R||x−4| ≤ 3}
[−5,4] = x∈R||x+1
2| ≤ 9 2
b) En interpr´etant la valeur absolue comme une distance r´esoudre, sans passer par un
tableau de signe, les in´equations
|x−5| ≤ 9,|x+ 5|>3,|6−x|<1,|2x+ 3|>2,|x2−6x+ 8| ≤ 2.
|x−5| ≤ 9 ssi x∈[−4,14],
|x+ 5|>3 ssi x∈R\[−8,−2],
|6−x|<1 ssi x∈]5,7[.
|2x+ 3|>2 ssi x∈R\[−5
2,−1 2].
|x2−6x+ 8| ≤ 2 ssi −10 ≤x2−6x≤6. Or x2−6x≥ −9>−10 pour tout x∈R. De
plus, x2−6x+6 ≤0 ssi x∈[6−2√3
2,[6+2√3 2]. Ainsi |x2−6x+8| ≤ 2 ssi x∈[6−2√3 2,6+2√3 2].
c) En utilisant l’in´egalit´e triangulaire, d´emontrer les in´egalit´es
x+2
x+ 3
≤7,∀x∈[1,2],
On a 
x+2
x+ 3
≤ |x|+|2
x|+|3|. Or, pour tout x∈[1,2], on a |x| ≤ 2 et |2 x| ≤ 2.
Ainsi, 
x+2
x+ 3
≤7.
|x+ sin x−x2| ≤ 3,∀x∈[−1,1],
On a |x+ sin x−x2| ≤ |x|+|sin x|+|x2|. Or, pour tout x∈[−1,1], on a |x| ≤ 1,
|sin x| ≤ 1 et |x2| ≤ 1. Ainsi, |x+ sin x−x2| ≤ 3.
n
X
k=1
(−1)kk(sin k+ cos k)
≤n(n+ 1),∀n∈N.
On a

4
n
X
k=1
(−1)kk(sin k+ cos k)
≤
n
X
k=1 
(−1)kk(sin k+ cos k)
≤
n
X
k=1 
(−1)k |k||(sin k+ cos k)| ≤ 2
n
X
k=1
k=n(n+ 1).