L2-M31 Analyse Université d`Évry TD 1

L2-M31 Analyse
Université d’Évry
TD 1 - Bornes sup et inf
Exercice 1. Pour chaque question, repondre par ”vrai” ou ”faux” et justifier la reponse.
Dans la suite A est une partie de R.
1) Toute partie non vide majoré de Q admet un maximum,
Faux. On peut prendre comme contre-exemple A = {x ∈ Q|x < 0}. A admet alors
pour borne supérieure 0 qui n’appartient pas à A.
2) Toute partie non vide majoré de R admet un maximum,
Faux. On peut encore prendre comme contre-exemple A = {x ∈ Q|x < 0}. A admet
alors pour borne supérieure 0 qui n’appartient pas à A.
3) L’ensemble Q vérifie l’axiome de la borne supérieure,
√
Faux. On peut prendre comme contre-exemple A = {x ∈ Q|x < 2}.
On raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe x ∈ Q, borne
supérieure de A.
√
Comme Q est dense dans R, on sait qu’il existe x̃ ∈ Q tel que 2 < x̃ < x. Alors, x̃
majore A et est strictement inférieur à x, ce qui contredit le fait que x soit une borne
supérieure de A.
√
Remarque : A admet pour borne supérieure dans R le réel 2 qui n’appartient pas à
Q.
4) Toute partie non vide majoré de R admet une borne supérieure,
Vrai. C’est l’axiome de la borne supérieure.
5) Si une partie de R admet un maximum, sa borne supérieure est égale à ce maximum,
Vrai. Notons A cette partie. Le maximum de A est un majorant de A qui appartient
à A. La borne supérieure est le plus petit des majorants de A.
Nous avons donc par définition de la borne supérieure sup A ≤ max A.
D’autre part, nous avons max A ∈ A et sup A est un majorant de A. Donc, en
particulier, max A ≤ sup A.
Nous avons donc sup A = max A.
6) A est minorée si et seulement si ∀x ∈ A, ∃m ∈ R, m ≤ x,
Faux. On peut prendre comme contre-exemple A =] − ∞, 0]. Pour tout x ∈ A, on a
bien l’existence de m ∈ R tel que m ≤ x. Mais A n’est pas minorée.
A est minorée ssi ∃m ∈ R, ∀x ∈ A, m ≤ x.
7) Si ∃M ∈ R, ∀x ∈ A, x ≤ M alors A est bornée,
Faux. On peut prendre comme contre-exemple A =] − ∞, 0].
Par contre, si ∃M ∈ R, ∀x ∈ A, |x| ≤ M alors A est bornée.
2
8) La somme de deux nombres rationnels est un rationnel,
Vrai.
Soit (x1 , x2 ) ∈ Q. Il existe (p1 , q1 ) et (p2 , q2 ) des éléments de Z × N∗ tels que x1 =
2 q1
∈ Q.
et x2 = pq22 . Alors x1 + x2 = p1 qq21+p
q2
Autre justification : Q est un corps. C’est donc un groupe pour l’addition.
9) La somme de deux nombres irrationnels est un irrationnel,
p1
q1
√
√
Faux. On peut prendre comme contre exemple x1 = 2 et x2 = 1 − 2. x1 + x2 =
1 ∈ Q.
10) Le produit de deux nombres rationnels est un rationnel,
Vrai. x1 x2 = pq11 pq22 ∈ Q.
Autre justification : Q est un corps. Q (privé de 0) est donc un groupe pour la
multiplication.
11) Le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel,
√
Faux. On peut prendre x1 = x2 = 2. On a alors x1 x2 = 2 ∈ Q.
12) Soit x ∈ R∗ . Si x ∈ R \ Q alors x−1 ∈ R \ Q,
Vrai. Raisonnons par contraposée. Soit x−1 ∈ Q. ∃(p, q) ∈ Z∗ × N∗ tels que x−1 = pq .
Alors x = pq ∈ Q.
13) Pour n ∈ N∗ on pose In = 1 − n1 , 1 . Il existe x ∈ R vérifiant ∀n ∈ N∗ , x ∈ In .
Nous raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe x ∈ R tel que x ∈ In pour
tout n ∈ N. Nous savons alors que x < 1 (puisque en particulier x est dans I1 =]0, 1[).
On note alors ε = 1 − x.
Comme 1 − 1/n −→ 1, il existe N ∈ N (suffisamment grand) tel que pour tout
n→+∞
n ≥ N , on a 1 − 1/n > 1 − ε/2 > x. En particulier, x ∈
/ IN , ce qui est absurde.
14) Soit x ∈ R+ vérifiant ∀ > 0, x < . Alors x = 0.
Comme x ∈ R+ , x ≥ 0. Supposons que x > 0. Alors, en notant ε = x2 , on a 0 < ε < x,
ce qui est absurde. Donc x = 0.
15) Si B ⊂ A, alors sup B ≤ sup A.
Vrai. Comme B ⊂ A, un majorant de A est aussi un majorant de B. Ainsi, sup A
majore B. Comme sup B est le plus petit des majorants de B, on a sup B ≤ sup A.
Exercice 2. Que valent le minimum, le maximum (s’ils existent), la borne supérieure
et la borne inférieure dans R des ensembles suivants ?
A=
(−1)n
∗
:n∈N ,
n
B = {log n : n ∈ N∗ } ,
C = {1 − 2x : x ∈ [3, 5[},
3
D=
1
∗
(−1) + : n ∈ N ,
n
n
E=
n−
n+
1
n
1
n
; n∈N
min max inf
A
B
C
D
E
F
-1
0
/
/
0
0
1
2
/
−5
3
2
/
/
∗
,
F =
n
; (n, m) ∈ N × N .
nm + 1
sup
1
−1
2
0 +∞
−9 −5
3
−1
2
0
1
0 +∞
Exercice 3. a) Caractériser les éléments des intervalles [1, 7] et ] − 5; 4[ à l’aide d’une
inégalité utilisant une valeur absolue.
b−a a+b b−a
x − a+b < |a−b| }.
On utilise la formule générale [a, b] = [ a+b
−
,
+
]
=
{x
∈
R|
2
2
2
2
2
2
[1, 7] = {x∈ R||x − 4| ≤ 3} [−5, 4] = x ∈ R||x + 12 | ≤ 92
b) En interprétant la valeur absolue comme une distance résoudre, sans passer par un
tableau de signe, les inéquations
|x − 5| ≤ 9,
|x + 5| > 3,
|6 − x| < 1,
|2x + 3| > 2,
|x2 − 6x + 8| ≤ 2.
|x − 5| ≤ 9 ssi x ∈ [−4, 14],
|x + 5| > 3 ssi x ∈ R \ [−8, −2],
|6 − x| < 1 ssi x ∈]5, 7[.
|2x + 3| > 2 ssi x ∈ R \ [− 25 , − 12 ].
|x2 − 6x + 8| ≤ 2 ssi −10 ≤ x2√− 6x ≤√6. Or x2 − 6x ≥ −9 > −10 pour tout √
x ∈ R.√De
6−2 3 6+2 3
6−2 3 6+2 3
2
2
plus, x − 6x + 6 ≤ 0 ssi x ∈ [ 2 , [ 2 ]. Ainsi |x − 6x + 8| ≤ 2 ssi x ∈ [ 2 , 2 ].
c) En utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer les inégalités
x + 2 + 3 ≤ 7, ∀x ∈ [1, 2],
x
On a x + x2 +3 ≤ |x| + | x2 | + |3|. Or, pour tout x ∈ [1, 2], on a |x| ≤ 2 et | x2 | ≤ 2.
Ainsi, x + x2 + 3 ≤ 7.
|x + sin x − x2 | ≤ 3, ∀x ∈ [−1, 1],
On a |x + sin x − x2 | ≤ |x| + | sin x| + |x2 |. Or, pour tout x ∈ [−1, 1], on a |x| ≤ 1,
| sin x| ≤ 1 et |x2 | ≤ 1. Ainsi, |x + sin x − x2 | ≤ 3.
n
X
k
(−1)
k(sin
k
+
cos
k)
≤ n(n + 1), ∀n ∈ N.
k=1
On a
4
n
n
X
X
k
(−1)k k(sin k + cos k)
(−1) k(sin k + cos k) ≤
k=1
k=1
n
n
X
X
k
≤
(−1) |k| |(sin k + cos k)| ≤ 2
k = n(n + 1).
k=1
k=1