MPSI - Lyc´ee Chrestien de Troyes
Chapitre 1
Le corps des nombres r´eels
1 Le corps des nombres r´eels : rappels et compl´ements
1.1 Structure alg´ebrique et repr´esentation
D´efinition On rappelle que Rd´esigne l’ensemble des nombres r´eels sur lequel on d´efinit l’addition et la multiplication usuelles
par les lois + et ×telles que :
•(R,+) est un groupe commutatif , c’est `a dire :
la loi + est une loi de composition interne :∀a, b ∈R, a +b∈R
cette loi est associative :∀a, b, c ∈R, a + (b+c)=(a+b) + c
cette loi poss`ede un ´el´ement neutre 0 : ∀a∈R, a + 0 = 0 + a=a
tout ´el´ement admet un sym´etrique par cette loi : ∀a∈R,∃a0∈R, a +a0=a0+a= 0
cette loi est commutative :∀a, b ∈R, a +b=b+a
•la loi ×lui conf`ere une structure d’anneau, c’est `a dire :
la loi ×est encore une loi de composition interne :∀a, b ∈R, a ×b∈R
cette loi est encore associative :∀a, b, c ∈R, a ×(b×c)=(a×b)×c
cette loi poss`ede encore un ´el´ement neutre 1 : ∀a∈R, a ×1=1×a=a
cette loi est distributive :∀a, b, c ∈R, a ×(b+c) = a×b+a×cet (a+b)×c=a×c+b×c
•de plus, cette loi ×v´erifie les deux propri´et´es suivantes de sorte que Rest en fait un corps commutatif :
(tout ´el´ement non nul admet aussi un sym´etrique par cette loi: ∀a∈R∗,∃a0∈R, a ×a0=a0×a= 1
cette loi est aussi commutative:∀a, b ∈R, a ×b=b×a
Enfin, on munit Rd’une relation d’ordre total ≤d´efinie par :
a≥b⇔a−b≥0
et telle que :
la relation ≤est r´eflexive :∀a∈R, a ≤a
elle est antisym´etrique :∀a, b ∈R,(a≤bet b≤a)⇒a=b
elle est transitive :∀a, b, c ∈R,(a≤bet b≤c)⇒a≤c
et pour laquelle l’ordre est total :∀a, b ∈R, a ≤bou b≤a
De plus, cette relation est compatible avec les lois du corps : ∀a, b, c ∈R,
a≤b, c ≤d⇒a+c≤b+d, et 0 ≤a≤b, 0≤c≤d⇒a×c≤b×d
On r´esume alors ces propri´et´es en disant que (R,+,×,≤) est un corps commutatif totalement ordonn´e et on pourra toujours le
repr´esenter de la fa¸con suivante :
Remarques
1. Pour simplifier les ´ecritures, le produit de nombres r´eels aet bsera not´e a·bou encore ab.
2. Le sym´etrique d’un r´eel apar la loi + est appel´e l’oppos´e et il sera not´e −a. Le sym´etrique d’un r´eel non nul apar la loi ×est
appel´e l’inverse et il sera not´e 1
a.
Soient a, b ∈R. Alors :
ab = 0 ⇔a= 0 ou b= 0
On dit encore que Rest int`egre.
Corollaire 1 (int´egrit´e de R).
IOn proc`ede par double inclusion : on ´etablit le sens direct en discutant les cas a= 0 et a6= 0.
1.2 La notation valeur absolue
D´efinition Soit x∈R. On rappelle que la valeur absolue de xd´esigne le nombre r´eel not´e |x|et d´efini par :
|x|=(x, si x≥0
−x, sinon
De plus, on note x+=(x, , si x≥0
0 , sinon et x−=(−x, , si x≤0
0 , sinon de sorte qu’on peut r´e´ecrire : |x|=x++x−.
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