Le corps des nombres r´eels
Chapitre 1
Dans ce premier chapitre, nous pr´esentons le corps des nombres r´eels et les premi`eres pro-
pri´et´es associ´ees. L’´etude de cet ensemble est fondamental car il repr´esente le corps de base
sur lequel nous travaillerons avant d’introduire les nombres complexes.
1 Le corps des nombres r´eels : rappels et compl´ements 2
1.1 Structure alg´ebrique et repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 La notation valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 La notation partie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Parties major´ees, minor´ees ou born´ees de R4
2.1 efinitions et axiomes de R............................ 4
2.2 Sous-ensemble et sur-ensemble de R....................... 5
Pr´esentation du langage Python et premi`eres fonctions
Liste non exhaustive des capacit´es attendues
Connaˆıtre les propri´et´es alg´ebriques du corps des nombres r´eels ·Travailler sur des ´egalit´es ou in´egalit´es sur les nombres r´eels ·Comprendre ce que signifient
les notations valeur absolue et partie enti`ere ·Connaˆıtre les propri´et´es de ces notations ·Savoir traduire l’existence d’un majorant ou d’un minorant ·Justifier
l’existence de la borne sup´erieure ou inf´erieure ·Utiliser la caract´erisation s´equentielle pour d´eterminer ces bornes ·Connaˆıtre la notion d’intervalle et les principaux
sous-ensembles de R(...)
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Chapitre 1
Le corps des nombres r´eels
1 Le corps des nombres r´eels : rappels et compl´ements
1.1 Structure alg´ebrique et repr´esentation
efinition On rappelle que Resigne l’ensemble des nombres r´eels sur lequel on d´efinit l’addition et la multiplication usuelles
par les lois + et ×telles que :
(R,+) est un groupe commutatif , c’est `a dire :
la loi + est une loi de composition interne :a, b R, a +bR
cette loi est associative :a, b, c R, a + (b+c)=(a+b) + c
cette loi poss`ede un ´el´ement neutre 0 : aR, a + 0 = 0 + a=a
tout ´el´ement admet un sym´etrique par cette loi : aR,a0R, a +a0=a0+a= 0
cette loi est commutative :a, b R, a +b=b+a
la loi ×lui conf`ere une structure d’anneau, c’est `a dire :
la loi ×est encore une loi de composition interne :a, b R, a ×bR
cette loi est encore associative :a, b, c R, a ×(b×c)=(a×b)×c
cette loi poss`ede encore un ´el´ement neutre 1 : aR, a ×1=1×a=a
cette loi est distributive :a, b, c R, a ×(b+c) = a×b+a×cet (a+b)×c=a×c+b×c
de plus, cette loi ×erifie les deux propri´et´es suivantes de sorte que Rest en fait un corps commutatif :
(tout ´el´ement non nul admet aussi un sym´etrique par cette loi: aR,a0R, a ×a0=a0×a= 1
cette loi est aussi commutative:a, b R, a ×b=b×a
Enfin, on munit Rd’une relation d’ordre total efinie par :
abab0
et telle que :
la relation est eflexive :aR, a a
elle est antisym´etrique :a, b R,(abet ba)a=b
elle est transitive :a, b, c R,(abet bc)ac
et pour laquelle l’ordre est total :a, b R, a bou ba
De plus, cette relation est compatible avec les lois du corps : a, b, c R,
ab, c da+cb+d, et 0 ab, 0cda×cb×d
On r´esume alors ces propri´et´es en disant que (R,+,×,) est un corps commutatif totalement ordonn´e et on pourra toujours le
repr´esenter de la fa¸con suivante :
Remarques
1. Pour simplifier les ´ecritures, le produit de nombres r´eels aet bsera not´e a·bou encore ab.
2. Le sym´etrique d’un r´eel apar la loi + est appel´e l’oppos´e et il sera not´e a. Le sym´etrique d’un r´eel non nul apar la loi ×est
appel´e l’inverse et il sera not´e 1
a.
Soient a, b R. Alors :
ab = 0 a= 0 ou b= 0
On dit encore que Rest int`egre.
Corollaire 1 (int´egrit´e de R).
IOn proc`ede par double inclusion : on ´etablit le sens direct en discutant les cas a= 0 et a6= 0.
1.2 La notation valeur absolue
efinition Soit xR. On rappelle que la valeur absolue de xd´esigne le nombre r´eel not´e |x|et d´efini par :
|x|=(x, si x0
x, sinon
De plus, on note x+=(x, , si x0
0 , sinon et x=(x, , si x0
0 , sinon de sorte qu’on peut r´ecrire : |x|=x++x.
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Le corps des nombres r´eels
Soient x, y R. Alors, on a :
(i) |x| ≥ 0 et |x|= 0 x= 0
(ii) x2=|x|
(iii) |xy|=|x||y|et pour y6= 0, |x
y|=|x|
|y|
Propri´et´e 2 (imm´ediate).
IA chaque fois, on peut ou bien revenir `a la d´efinition de la valeur absolue, ou utiliser (ii)quand celui-ci aura ´et´e d´emontr´e.
Soient x, y R. Alors, on a :
||x|−|y|| ≤ |x+y|≤|x|+|y|
Propri´et´e 3 (in´egalit´e triangulaire et in´egalit´e triangulaire invers´ee).
IOn commence par montrer la seconde in´egalit´e en ´elevant au carr´e. On en d´eduit la seconde astucieusement.
Remarques
1. On peut adapter l’´enonc´e afin d’obtenir aussi un encadrement de la diff´erence :
x, y R,||x|−|y|| ≤ |xy|≤|x|+|y|
2. La valeur absolue nous permet de d´efinir la distance entre deux points donn´es. Ainsi, si on consid`ere M(x) et M0(y) deux
points sur l’axe des nombres r´eels, alors |xy|repr´esente simplement la longueur du segment [M M0].
De la mˆeme fa¸con, si on fixe aRet  > 0, on peut ais´ement repr´esenter l’ensemble des nombres {xR,|xa| ≤ }:
et on retiendra l’´equivalence :
|xa| ≤ axa+
1.3 La notation partie enti`ere
Soit xR. Alors, il existe un unique entier n0Ztel que n0x<n0+ 1. en´eralement, n0est appel´e la partie enti`ere de x, et
elle sera not´ee E(x) ou bxc.
De plus, on a :
E(x)x<E(x)+1 ⇒ |xE(x)|<1
et ainsi, la partie enti`ere de xne d´esigne rien d’autre qu’une valeur approcee de x`a l’unit´e pr`es.
Propri´et´e 4 (d´efinition de la partie enti`ere).
IOn proc`ede par existence et unicit´e : pour l’existence, on pr´esentera les axiomes de Zavant d’introduire l’ensemble A={n
Z, n x}.
Au del`a de sa d´efinition, les in´egalit´es associ´ees `a la partie enti`ere seront tout aussi utiles :
E(x)x<E(x) + 1, ou encore : x1< E(x)x
Exemple 1 Soit xR. D´eterminer lim
n+
1
n2
n
X
k=1
E(kx).
Remarque Fixons xR. Alors, l’encadrement pr´ec´edent nous donne en particulier pour tout nN:
E(x10n)10nx<E(x10n)10n+ 10n⇒ |xE(x10n)10n|<10n
efinition Soit xR. On pose alors pour tout nN,
xn=E(x10n)10net yn=E(x10n)10n+ 10n=xn+ 10n
Ainsi, on a construit deux suites de limite xtelles que pour tout nN,
(xnnous donne une valeur approch´ee par d´efaut de x`a 10npr`es
ynnous donne une valeur approch´ee par exc`es de x`a 10npr`es
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2 Parties major´ees, minor´ees ou born´ees de R
2.1 efinitions et axiomes de R
efinition Soit Aune partie non vide de R. On rappelle que :
Aposs`ede un maximum s’il existe MAtel que : xA, x M.
Aposs`ede un minimum s’il existe mAtel que : xA, x m.
Aest major´ee s’il existe un majorant MRtel que : xA, x M.
Aest minor´ee s’il existe un minorant mRtel que : xA, x m.
Aest born´ee s’il existe un majorant MRet un minorant mRtel que : xA, m xM.
Soit Aune partie non vide de R. Alors,
Aest born´ee il existe MRtel que pour tout xA,|x| ≤ M
Propri´et´e 5 (caract´erisation d’une partie born´ee).
IOn proc`ede par double implication. Pour le sens direct, il suffit de choisir Mqui convient.
efinition Soit Aune partie non vide de R. Sous r´eserve d’existence, on appelle borne sup´erieure de Ale plus petit des ma-
jorants de Aqu’on note sup(A) et borne inf´erieure de Ale plus grand des minorants de Aqu’on note inf(A). C’est `a dire :
M= sup(A)(xA, x M
 > 0,x0A, x0> M
m= inf(A)(xA, x m
 > 0,x0A, x0< m +
Remarque On peut observer que :
toute partie admettant un maximum ou une borne sup´erieure est major´ee par cet ´el´ement,
toute partie admettant un minimum ou une borne inf´erieure est minor´ee par cet ´el´ement,
mais on se m´efiera de la r´eciproque : par exemple, [1,2[ admet plusieurs majorants, mais aucun maximum !
efinition On admet alors que l’ensemble des nombres r´eels v´erifie les axiomes de la borne sup´erieure et de la borne inf´erieure
de sorte que :
(1) toute partie non vide et major´ee de Radmet une borne sup´erieure dans R;
(2) toute partie non vide et minor´ee de Radmet une borne inf´erieure dans R.
Soit Aune partie non vide de R. Alors, on a :
(i) M= sup(A)(Mest un majorant de A
il existe (xn) une suite de points de Atelle que xn
n+M
(ii) m= inf(A)(mest un minorant de A
il existe (xn) une suite de points de Atelle que xn
n+m
Th´eor`eme 6 (caract´erisation s´equentielle).
ILes deux caract´erisations se d´emontrent de la mˆeme fa¸con : on proc`ede par double implication et pour le sens direct, il suffira de
poser = 1/n,nN.
Avant de parler de borne sup´erieure ou borne inf´erieure, on v´erifiera d’abord que la partie donn´ee v´erifie bien les conditions invoqu´ees dans
les axiomes de R.
Exemple 2 On d´efinit l’ensemble Apar :
A={1
n+1
m,(n, m)N×N}
Etablir que Aposs`ede une borne sup´erieure et une borne inf´erieure, puis d´eterminer la valeur de ces bornes.
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Le corps des nombres r´eels
2.2 Sous-ensemble et sur-ensemble de R
efinition On appelle sous-ensemble de Rtoute partie non vide Atelle que AR. En particulier, on appelle intervalle de R
toute partie Inon vide de la forme suivante :
si Iest major´ee et minor´ee,
I= [a, b] = {xR, a xb}et on dira que Iest un intervalle ferm´e et born´e ;
ou bien I= [a, b[= {xR, a x<b}et on dira que Iest un intervalle semi-ouvert `a droite et born´e ;
ou bien I=]a, b] = {xR, a < x b}et on dira que Iest un intervalle semi-ouvert `a gauche et born´e ;
ou bien I=]a, b[= {xR, a < x < b}et on dira que Iest un intervalle ouvert et born´e ;
si Iest major´ee et non minor´ee,
I=] − ∞, b] = {xR, x b}et on dira que Iest un intervalle ferm´e et non minor´e ;
ou bien I=] − ∞, b[= {xR, x < b}et on dira que Iest un intervalle ouvert et non minor´e ;
si Iest minor´ee et non major´ee,
I= [a, +[= {xR, x a}et on dira que Iest un intervalle ferm´e et non major´e ;
ou bien I=]a, +[= {xR, x > a}et on dira que Iest un intervalle ouvert et non major´e ;
ou bien si I=R.
Remarque Bien entendu, il existe de nombreux sous-ensembles de R: on note P(R) l’ensemble de toutes les parties incluses dans R.
Malgr´e tout, on retiendra que N, l’ensemble des entiers naturels,Z, l’ensemble des entiers relatifs,Q, l’ensemble des nombres
rationnels, et RQ, l’ensemble des nombres irrationnels, d´efinissent des sous-ensembles particuliers de R.
efinition On appelle sur-ensemble ou extension de Rtoute partie non vide Atelle que RA. En particulier, on d´efinit
la droite num´erique achev´ee par :
R=R∪ {±∞}
Remarque Bien entendu, il existe de nombreux sur-ensembles de Ret le plus connu d’entre eux sera C, l’ensemble des nombres
complexes, qu’on red´efinira plus tard.
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