Corps des nombres réels : rappels et compléments

Le corps des nombres r´eels
Chapitre 1
Dans ce premier chapitre, nous pr´esentons le corps des nombres r´eels et les premi`eres pro-
pri´et´es associ´ees. L’´etude de cet ensemble est fondamental car il repr´esente le corps de base
sur lequel nous travaillerons avant d’introduire les nombres complexes.
1 Le corps des nombres r´eels : rappels et compl´ements 2
1.1 Structure alg´ebrique et repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 La notation valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 La notation partie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Parties major´ees, minor´ees ou born´ees de R4
2.1 D´efinitions et axiomes de R............................ 4
2.2 Sous-ensemble et sur-ensemble de R....................... 5
Pr´esentation du langage Python et premi`eres fonctions
Liste non exhaustive des capacit´es attendues
Connaˆıtre les propri´et´es alg´ebriques du corps des nombres r´eels ·Travailler sur des ´egalit´es ou in´egalit´es sur les nombres r´eels ·Comprendre ce que signifient
les notations valeur absolue et partie enti`ere ·Connaˆıtre les propri´et´es de ces notations ·Savoir traduire l’existence d’un majorant ou d’un minorant ·Justifier
l’existence de la borne sup´erieure ou inf´erieure ·Utiliser la caract´erisation s´equentielle pour d´eterminer ces bornes ·Connaˆıtre la notion d’intervalle et les principaux
sous-ensembles de R(...)

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Chapitre 1
Le corps des nombres r´eels
1 Le corps des nombres r´eels : rappels et compl´ements
1.1 Structure alg´ebrique et repr´esentation
D´efinition On rappelle que Rd´esigne l’ensemble des nombres r´eels sur lequel on d´efinit l’addition et la multiplication usuelles
par les lois + et ×telles que :
•(R,+) est un groupe commutatif , c’est `a dire :
la loi + est une loi de composition interne :∀a, b ∈R, a +b∈R
cette loi est associative :∀a, b, c ∈R, a + (b+c)=(a+b) + c
cette loi poss`ede un ´el´ement neutre 0 : ∀a∈R, a + 0 = 0 + a=a
tout ´el´ement admet un sym´etrique par cette loi : ∀a∈R,∃a0∈R, a +a0=a0+a= 0
cette loi est commutative :∀a, b ∈R, a +b=b+a
•la loi ×lui conf`ere une structure d’anneau, c’est `a dire :
la loi ×est encore une loi de composition interne :∀a, b ∈R, a ×b∈R
cette loi est encore associative :∀a, b, c ∈R, a ×(b×c)=(a×b)×c
cette loi poss`ede encore un ´el´ement neutre 1 : ∀a∈R, a ×1=1×a=a
cette loi est distributive :∀a, b, c ∈R, a ×(b+c) = a×b+a×cet (a+b)×c=a×c+b×c
•de plus, cette loi ×v´erifie les deux propri´et´es suivantes de sorte que Rest en fait un corps commutatif :
(tout ´el´ement non nul admet aussi un sym´etrique par cette loi: ∀a∈R∗,∃a0∈R, a ×a0=a0×a= 1
cette loi est aussi commutative:∀a, b ∈R, a ×b=b×a
Enfin, on munit Rd’une relation d’ordre total ≤d´efinie par :
a≥b⇔a−b≥0
et telle que :
la relation ≤est r´eflexive :∀a∈R, a ≤a
elle est antisym´etrique :∀a, b ∈R,(a≤bet b≤a)⇒a=b
elle est transitive :∀a, b, c ∈R,(a≤bet b≤c)⇒a≤c
et pour laquelle l’ordre est total :∀a, b ∈R, a ≤bou b≤a
De plus, cette relation est compatible avec les lois du corps : ∀a, b, c ∈R,
a≤b, c ≤d⇒a+c≤b+d, et 0 ≤a≤b, 0≤c≤d⇒a×c≤b×d
On r´esume alors ces propri´et´es en disant que (R,+,×,≤) est un corps commutatif totalement ordonn´e et on pourra toujours le
repr´esenter de la fa¸con suivante :
Remarques
1. Pour simplifier les ´ecritures, le produit de nombres r´eels aet bsera not´e a·bou encore ab.
2. Le sym´etrique d’un r´eel apar la loi + est appel´e l’oppos´e et il sera not´e −a. Le sym´etrique d’un r´eel non nul apar la loi ×est
appel´e l’inverse et il sera not´e 1
a.
Soient a, b ∈R. Alors :
ab = 0 ⇔a= 0 ou b= 0
On dit encore que Rest int`egre.
Corollaire 1 (int´egrit´e de R).
IOn proc`ede par double inclusion : on ´etablit le sens direct en discutant les cas a= 0 et a6= 0.
1.2 La notation valeur absolue
D´efinition Soit x∈R. On rappelle que la valeur absolue de xd´esigne le nombre r´eel not´e |x|et d´efini par :
|x|=(x, si x≥0
−x, sinon
De plus, on note x+=(x, , si x≥0
0 , sinon et x−=(−x, , si x≤0 0 , sinon de sorte qu’on peut r´e´ecrire : |x|=x++x−.
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Chapitre 1
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Soient x, y ∈R. Alors, on a :
(i) |x| ≥ 0 et |x|= 0 ⇔x= 0
(ii) √x2=|x|
(iii) |xy|=|x||y|et pour y6= 0, |x
y|=|x| |y|
Propri´et´e 2 (imm´ediate).
IA chaque fois, on peut ou bien revenir `a la d´efinition de la valeur absolue, ou utiliser (ii)quand celui-ci aura ´et´e d´emontr´e.
Soient x, y ∈R. Alors, on a :
||x|−|y|| ≤ |x+y|≤|x|+|y|
Propri´et´e 3 (in´egalit´e triangulaire et in´egalit´e triangulaire invers´ee).
IOn commence par montrer la seconde in´egalit´e en ´elevant au carr´e. On en d´eduit la seconde astucieusement.
Remarques
1. On peut adapter l’´enonc´e afin d’obtenir aussi un encadrement de la diff´erence :
∀x, y ∈R,||x|−|y|| ≤ |x−y|≤|x|+|y|
2. La valeur absolue nous permet de d´efinir la distance entre deux points donn´es. Ainsi, si on consid`ere M(x) et M0(y) deux
points sur l’axe des nombres r´eels, alors |x−y|repr´esente simplement la longueur du segment [M M0].
De la mˆeme fa¸con, si on fixe a∈Ret  > 0, on peut ais´ement repr´esenter l’ensemble des nombres {x∈R,|x−a| ≤ }:
et on retiendra l’´equivalence :
|x−a| ≤ ⇔a−≤x≤a+
1.3 La notation partie enti`ere
Soit x∈R. Alors, il existe un unique entier n0∈Ztel que n0≤x<n0+ 1. G´en´eralement, n0est appel´e la partie enti`ere de x, et
elle sera not´ee E(x) ou bxc.
De plus, on a :
E(x)≤x<E(x)+1 ⇒ |x−E(x)|<1
et ainsi, la partie enti`ere de xne d´esigne rien d’autre qu’une valeur approch´ee de x`a l’unit´e pr`es.
Propri´et´e 4 (d´efinition de la partie enti`ere).
IOn proc`ede par existence et unicit´e : pour l’existence, on pr´esentera les axiomes de Zavant d’introduire l’ensemble A={n∈
Z, n ≤x}.
Au del`a de sa d´efinition, les in´egalit´es associ´ees `a la partie enti`ere seront tout aussi utiles :
E(x)≤x<E(x) + 1, ou encore : x−1< E(x)≤x
Exemple 1 Soit x∈R. D´eterminer lim
n→+∞
1
n2
n
X
k=1
E(kx).
Remarque Fixons x∈R. Alors, l’encadrement pr´ec´edent nous donne en particulier pour tout n∈N:
E(x10n)10−n≤x<E(x10n)10−n+ 10−n⇒ |x−E(x10n)10−n|<10−n
D´efinition Soit x∈R. On pose alors pour tout n∈N,
xn=E(x10n)10−net yn=E(x10n)10−n+ 10−n=xn+ 10−n
Ainsi, on a construit deux suites de limite xtelles que pour tout n∈N,
(xnnous donne une valeur approch´ee par d´efaut de x`a 10−npr`es
ynnous donne une valeur approch´ee par exc`es de x`a 10−npr`es
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2 Parties major´ees, minor´ees ou born´ees de R
2.1 D´efinitions et axiomes de R
D´efinition Soit Aune partie non vide de R. On rappelle que :
•Aposs`ede un maximum s’il existe M∈Atel que : ∀x∈A, x ≤M.
•Aposs`ede un minimum s’il existe m∈Atel que : ∀x∈A, x ≥m.
•Aest major´ee s’il existe un majorant M∈Rtel que : ∀x∈A, x ≤M.
•Aest minor´ee s’il existe un minorant m∈Rtel que : ∀x∈A, x ≥m.
•Aest born´ee s’il existe un majorant M∈Ret un minorant m∈Rtel que : ∀x∈A, m ≤x≤M.
Soit Aune partie non vide de R. Alors,
Aest born´ee ⇔il existe M∈Rtel que pour tout x∈A,|x| ≤ M
Propri´et´e 5 (caract´erisation d’une partie born´ee).
IOn proc`ede par double implication. Pour le sens direct, il suffit de choisir Mqui convient.
D´efinition Soit Aune partie non vide de R. Sous r´eserve d’existence, on appelle borne sup´erieure de Ale plus petit des ma-
jorants de Aqu’on note sup(A) et borne inf´erieure de Ale plus grand des minorants de Aqu’on note inf(A). C’est `a dire :
M= sup(A)⇔(∀x∈A, x ≤M
∀ > 0,∃x0∈A, x0> M −
m= inf(A)⇔(∀x∈A, x ≥m
∀ > 0,∃x0∈A, x0< m +
Remarque On peut observer que :
•toute partie admettant un maximum ou une borne sup´erieure est major´ee par cet ´el´ement,
•toute partie admettant un minimum ou une borne inf´erieure est minor´ee par cet ´el´ement,
mais on se m´efiera de la r´eciproque : par exemple, [−1,2[ admet plusieurs majorants, mais aucun maximum !
D´efinition On admet alors que l’ensemble des nombres r´eels v´erifie les axiomes de la borne sup´erieure et de la borne inf´erieure
de sorte que :
(1) toute partie non vide et major´ee de Radmet une borne sup´erieure dans R;
(2) toute partie non vide et minor´ee de Radmet une borne inf´erieure dans R.
Soit Aune partie non vide de R. Alors, on a :
(i) M= sup(A)⇔(Mest un majorant de A
il existe (xn) une suite de points de Atelle que xn−→
n→+∞M
(ii) m= inf(A)⇔(mest un minorant de A
il existe (xn) une suite de points de Atelle que xn−→
n→+∞m
Th´eor`eme 6 (caract´erisation s´equentielle).
ILes deux caract´erisations se d´emontrent de la mˆeme fa¸con : on proc`ede par double implication et pour le sens direct, il suffira de
poser = 1/n,n∈N∗.
Avant de parler de borne sup´erieure ou borne inf´erieure, on v´erifiera d’abord que la partie donn´ee v´erifie bien les conditions invoqu´ees dans
les axiomes de R.
Exemple 2 On d´efinit l’ensemble Apar :
A={1
n+1 m,(n, m)∈N∗×N∗}
Etablir que Aposs`ede une borne sup´erieure et une borne inf´erieure, puis d´eterminer la valeur de ces bornes.
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Chapitre 1
Le corps des nombres r´eels
2.2 Sous-ensemble et sur-ensemble de R
D´efinition On appelle sous-ensemble de Rtoute partie non vide Atelle que A⊂R. En particulier, on appelle intervalle de R
toute partie Inon vide de la forme suivante :
•si Iest major´ee et minor´ee,
–I= [a, b] = {x∈R, a ≤x≤b}et on dira que Iest un intervalle ferm´e et born´e ;
–ou bien I= [a, b[= {x∈R, a ≤x<b}et on dira que Iest un intervalle semi-ouvert `a droite et born´e ;
–ou bien I=]a, b] = {x∈R, a < x ≤b}et on dira que Iest un intervalle semi-ouvert `a gauche et born´e ;
–ou bien I=]a, b[= {x∈R, a < x < b}et on dira que Iest un intervalle ouvert et born´e ;
•si Iest major´ee et non minor´ee,
–I=] − ∞, b] = {x∈R, x ≤b}et on dira que Iest un intervalle ferm´e et non minor´e ;
–ou bien I=] − ∞, b[= {x∈R, x < b}et on dira que Iest un intervalle ouvert et non minor´e ;
•si Iest minor´ee et non major´ee,
–I= [a, +∞[= {x∈R, x ≥a}et on dira que Iest un intervalle ferm´e et non major´e ;
–ou bien I=]a, +∞[= {x∈R, x > a}et on dira que Iest un intervalle ouvert et non major´e ;
•ou bien si I=R.
Remarque Bien entendu, il existe de nombreux sous-ensembles de R: on note P(R) l’ensemble de toutes les parties incluses dans R.
Malgr´e tout, on retiendra que N, l’ensemble des entiers naturels,Z, l’ensemble des entiers relatifs,Q, l’ensemble des nombres
rationnels, et R−Q, l’ensemble des nombres irrationnels, d´efinissent des sous-ensembles particuliers de R.
D´efinition On appelle sur-ensemble ou extension de Rtoute partie non vide Atelle que R⊂A. En particulier, on d´efinit
la droite num´erique achev´ee par :
R=R∪ {±∞}
Remarque Bien entendu, il existe de nombreux sur-ensembles de Ret le plus connu d’entre eux sera C, l’ensemble des nombres
complexes, qu’on red´efinira plus tard.
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