Le corps des nombres réels - MPSI

Chapitre 1
Le corps des nombres réels
Dans ce premier chapitre, nous présentons le corps des nombres réels et les premières propriétés associées. L’étude de cet ensemble est fondamental car il représente le corps de base
sur lequel nous travaillerons avant d’introduire les nombres complexes.
1 Le corps des nombres réels : rappels et compléments
1.1 Structure algébrique et représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La notation valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 La notation partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
2 Parties majorées, minorées ou bornées de R
2.1 Définitions et axiomes de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sous-ensemble et sur-ensemble de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
Présentation du langage Python et premières fonctions
Liste non exhaustive des capacités attendues
Connaı̂tre les propriétés algébriques du corps des nombres réels · Travailler sur des égalités ou inégalités sur les nombres réels · Comprendre ce que signifient
les notations valeur absolue et partie entière · Connaı̂tre les propriétés de ces notations · Savoir traduire l’existence d’un majorant ou d’un minorant · Justifier
l’existence de la borne supérieure ou inférieure · Utiliser la caractérisation séquentielle pour déterminer ces bornes · Connaı̂tre la notion d’intervalle et les principaux
sous-ensembles de R
(...)
Chapitre 1
Le corps des nombres réels
MPSI - Lycée Chrestien de Troyes
1
Le corps des nombres réels : rappels et compléments
1.1
Structure algébrique et représentation
Définition On rappelle que R désigne l’ensemble des nombres réels sur lequel on définit l’addition et la multiplication usuelles
par les lois + et × telles que :
• (R, +) est un groupe commutatif , c’est à dire :

la loi + est une loi de composition interne : ∀ a, b ∈ R, a + b ∈ R





cette loi est associative : ∀ a, b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c
cette loi possède un élément neutre 0 : ∀ a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a



tout élément admet un symétrique par cette loi : ∀ a ∈ R, ∃ a0 ∈ R, a + a0 = a0 + a = 0



cette loi est commutative : ∀ a, b ∈ R, a + b = b + a
• la loi × lui confère une structure d’anneau, c’est à dire :

la loi × est encore une loi de composition interne : ∀ a, b ∈ R, a × b ∈ R



cette loi est encore associative : ∀ a, b, c ∈ R, a × (b × c) = (a × b) × c

cette loi possède encore un élément neutre 1 : ∀ a ∈ R, a × 1 = 1 × a = a



cette loi est distributive : ∀ a, b, c ∈ R, a × (b + c) = a × b + a × c et (a + b) × c = a × c + b × c
• de plus, cette loi × vérifie les deux propriétés suivantes de sorte que R est en fait un corps commutatif :
(
tout élément non nul admet aussi un symétrique par cette loi: ∀ a ∈ R∗ , ∃ a0 ∈ R, a × a0 = a0 × a = 1
cette loi est aussi commutative: ∀ a, b ∈ R, a × b = b × a
Enfin, on munit R d’une relation d’ordre total ≤ définie par :
a≥b⇔a−b≥0
et telle que :

la relation ≤ est réflexive : ∀ a ∈ R, a ≤ a



elle est antisymétrique : ∀ a, b ∈ R, (a ≤ b et b ≤ a) ⇒ a = b

elle est transitive : ∀ a, b, c ∈ R, (a ≤ b et b ≤ c) ⇒ a ≤ c



et pour laquelle l’ordre est total : ∀ a, b ∈ R, a ≤ b ou b ≤ a
De plus, cette relation est compatible avec les lois du corps : ∀ a, b, c ∈ R,
a ≤ b, c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d, et 0 ≤ a ≤ b, 0 ≤ c ≤ d ⇒ a × c ≤ b × d
On résume alors ces propriétés en disant que (R, +, ×, ≤) est un corps commutatif totalement ordonné et on pourra toujours le
représenter de la façon suivante :
Remarques
1. Pour simplifier les écritures, le produit de nombres réels a et b sera noté a · b ou encore ab.
2. Le symétrique d’un réel a par la loi + est appelé l’opposé et il sera noté −a. Le symétrique d’un réel non nul a par la loi × est
appelé l’inverse et il sera noté a1 .
Corollaire 1 (intégrité de R).
Soient a, b ∈ R. Alors :
ab = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0
On dit encore que R est intègre.
I On procède par double inclusion : on établit le sens direct en discutant les cas a = 0 et a 6= 0.
1.2
La notation valeur absolue
Définition Soit x ∈ R. On rappelle que la valeur absolue de x désigne le nombre réel noté |x| et défini par :
(
x , si x ≥ 0
|x| =
−x , sinon
(
(
x, , si x ≥ 0
−x, , si x ≤ 0
De plus, on note x+ =
et x− =
de sorte qu’on peut réécrire : |x| = x+ + x− .
0 , sinon
0 , sinon
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Chapitre 1
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Propriété 2 (immédiate).
Soient x, y ∈ R. Alors, on a :
(i) |x| ≥ 0 et |x| = 0 ⇔ x = 0
√
(ii) x2 = |x|
(iii) |xy| = |x||y| et pour y 6= 0, | x
|=
y
|x|
|y|
I A chaque fois, on peut ou bien revenir à la définition de la valeur absolue, ou utiliser (ii) quand celui-ci aura été démontré.
Propriété 3 (inégalité triangulaire et inégalité triangulaire inversée).
Soient x, y ∈ R. Alors, on a :
||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
I On commence par montrer la seconde inégalité en élevant au carré. On en déduit la seconde astucieusement.
Remarques
1. On peut adapter l’énoncé afin d’obtenir aussi un encadrement de la différence :
∀ x, y ∈ R, ||x| − |y|| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y|
2. La valeur absolue nous permet de définir la distance entre deux points donnés. Ainsi, si on considère M (x) et M 0 (y) deux
points sur l’axe des nombres réels, alors |x − y| représente simplement la longueur du segment [M M 0 ].
De la même façon, si on fixe a ∈ R et > 0, on peut aisément représenter l’ensemble des nombres {x ∈ R, |x − a| ≤ } :
et on retiendra l’équivalence :
|x − a| ≤ ⇔ a − ≤ x ≤ a + 1.3
La notation partie entière
Propriété 4 (définition de la partie entière).
Soit x ∈ R. Alors, il existe un unique entier n0 ∈ Z tel que n0 ≤ x < n0 + 1. Généralement, n0 est appelé la partie entière de x, et
elle sera notée E(x) ou bxc.
De plus, on a :
E(x) ≤ x < E(x) + 1 ⇒ |x − E(x)| < 1
et ainsi, la partie entière de x ne désigne rien d’autre qu’une valeur approchée de x à l’unité près.
I On procède par existence et unicité : pour l’existence, on présentera les axiomes de Z avant d’introduire l’ensemble A = {n ∈
Z, n ≤ x}.
Au delà de sa définition, les inégalités associées à la partie entière seront tout aussi utiles :
E(x) ≤ x < E(x) + 1, ou encore : x − 1 < E(x) ≤ x
Exemple 1 Soit x ∈ R. Déterminer
lim
n→+∞
n
1 X
E(kx).
2
n k=1
Remarque Fixons x ∈ R. Alors, l’encadrement précédent nous donne en particulier pour tout n ∈ N :
E(x10n )10−n ≤ x < E(x10n )10−n + 10−n ⇒ |x − E(x10n )10−n | < 10−n
Définition Soit x ∈ R. On pose alors pour tout n ∈ N,
xn = E(x10n )10−n et yn = E(x10n )10−n + 10−n = xn + 10−n
Ainsi, on a construit deux suites de limite x telles que pour tout n ∈ N,
(
xn nous donne une valeur approchée par défaut de x à 10−n près
yn nous donne une valeur approchée par excès de x à 10−n près
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Parties majorées, minorées ou bornées de R
2.1
Définitions et axiomes de R
Définition Soit A une partie non vide de R. On rappelle que :
• A possède un maximum s’il existe M ∈ A tel que : ∀ x ∈ A, x ≤ M .
• A possède un minimum s’il existe m ∈ A tel que : ∀ x ∈ A, x ≥ m.
• A est majorée s’il existe un majorant M ∈ R tel que : ∀ x ∈ A, x ≤ M .
• A est minorée s’il existe un minorant m ∈ R tel que : ∀ x ∈ A, x ≥ m.
• A est bornée s’il existe un majorant M ∈ R et un minorant m ∈ R tel que : ∀ x ∈ A, m ≤ x ≤ M .
Propriété 5 (caractérisation d’une partie bornée).
Soit A une partie non vide de R. Alors,
A est bornée ⇔ il existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ A, |x| ≤ M
I On procède par double implication. Pour le sens direct, il suffit de choisir M qui convient.
Définition Soit A une partie non vide de R. Sous réserve d’existence, on appelle borne supérieure de A le plus petit des majorants de A qu’on note sup(A) et borne inférieure de A le plus grand des minorants de A qu’on note inf(A). C’est à dire :
(
∀ x ∈ A, x ≤ M
M = sup(A) ⇔
∀ > 0, ∃ x0 ∈ A, x0 > M − m = inf(A) ⇔
(
∀ x ∈ A, x ≥ m
∀ > 0, ∃ x0 ∈ A, x0 < m + Remarque On peut observer que :
• toute partie admettant un maximum ou une borne supérieure est majorée par cet élément,
• toute partie admettant un minimum ou une borne inférieure est minorée par cet élément,
mais on se méfiera de la réciproque : par exemple, [−1, 2[ admet plusieurs majorants, mais aucun maximum !
Définition On admet alors que l’ensemble des nombres réels vérifie les axiomes de la borne supérieure et de la borne inférieure
de sorte que :
(1) toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure dans R ;
(2) toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure dans R.
Théorème 6 (caractérisation séquentielle).
Soit A une partie non vide de R. Alors, on a :
(
M est un majorant de A
(i) M = sup(A) ⇔
il existe (xn ) une suite de points de A telle que xn
(
m est un minorant de A
(ii) m = inf(A) ⇔
il existe (xn ) une suite de points de A telle que xn
−→ M
n→+∞
−→ m
n→+∞
I Les deux caractérisations se démontrent de la même façon : on procède par double implication et pour le sens direct, il suffira de
poser = 1/n, n ∈ N∗ .
Avant de parler de borne supérieure ou borne inférieure, on vérifiera d’abord que la partie donnée vérifie bien les conditions invoquées dans
les axiomes de R.
Exemple 2 On définit l’ensemble A par :
1
1
+ , (n, m) ∈ N∗ × N∗ }
n
m
Etablir que A possède une borne supérieure et une borne inférieure, puis déterminer la valeur de ces bornes.
A={
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2.2
Chapitre 1
Le corps des nombres réels
Sous-ensemble et sur-ensemble de R
Définition On appelle sous-ensemble de R toute partie non vide A telle que A ⊂ R. En particulier, on appelle intervalle de R
toute partie I non vide de la forme suivante :
• si I est majorée et minorée,
– I = [a, b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b} et on dira que I est un intervalle fermé et borné ;
– ou bien I = [a, b[= {x ∈ R, a ≤ x < b} et on dira que I est un intervalle semi-ouvert à droite et borné ;
– ou bien I =]a, b] = {x ∈ R, a < x ≤ b} et on dira que I est un intervalle semi-ouvert à gauche et borné ;
– ou bien I =]a, b[= {x ∈ R, a < x < b} et on dira que I est un intervalle ouvert et borné ;
• si I est majorée et non minorée,
– I =] − ∞, b] = {x ∈ R, x ≤ b} et on dira que I est un intervalle fermé et non minoré ;
– ou bien I =] − ∞, b[= {x ∈ R, x < b} et on dira que I est un intervalle ouvert et non minoré ;
• si I est minorée et non majorée,
– I = [a, +∞[= {x ∈ R, x ≥ a} et on dira que I est un intervalle fermé et non majoré ;
– ou bien I =]a, +∞[= {x ∈ R, x > a} et on dira que I est un intervalle ouvert et non majoré ;
• ou bien si I = R.
Remarque Bien entendu, il existe de nombreux sous-ensembles de R : on note P(R) l’ensemble de toutes les parties incluses dans R.
Malgré tout, on retiendra que N, l’ensemble des entiers naturels, Z, l’ensemble des entiers relatifs, Q, l’ensemble des nombres
rationnels, et R − Q, l’ensemble des nombres irrationnels, définissent des sous-ensembles particuliers de R.
Définition On appelle sur-ensemble ou extension de R toute partie non vide A telle que R ⊂ A. En particulier, on définit
la droite numérique achevée par :
R = R ∪ {±∞}
Remarque Bien entendu, il existe de nombreux sur-ensembles de R et le plus connu d’entre eux sera C, l’ensemble des nombres
complexes, qu’on redéfinira plus tard.
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