Chapitre 1 Propriétés topologiques des nombres réels - IMJ-PRG

Chapitre1
Propri´et´estopologiques des
nombresr´eels
1.1Lapropri´et´ede laborne sup´erieure
L’ensemble Rdes nombres r´eels est un corps commutatif totalementordonn´equi
satisfait :
Propri´et´ede la borne sup´erieure. Tout ensemble de nombres r´eels qui est major´e
et non vide admet une borne sup´erieure.
On d´eduit que toute partie de Rminor´ee non vide admet une borne inf´erieure, que
toute suite croissanteet major´ee (resp. d´ecroissante et minor´ee)converge.
Exercice1.1.1.Rappelerles d´efinitions de majorant, minorant, borne sup´erieure, borne
inf´erieure.
Exercice1.1.2.Soit Al’ensemble des r´eels xtels que :
∀n∈N,nx<1.
1. Montrer que Aest major´e. Quelle est saborne sup´erieure ?
2. D´eduire que Nest une partie nonmajor´ee de R(Rest archim´edien).
Rappel :|x|=max(x, −x),E(x)=max(Z∩]−∞,x]).
Remarque 1.1.3.On peut construire R`a partir desnombres rationnels de plusieurs
mani`eres. Nous esquisserons en annexe`a ce chapitre celle due `a Dedekind qui utilise
les coupures. Les propri´et´es que nous venons de formulerdonnentune caract´erisation
axiomatique de R.
1.2Suites de nombres r´eels
Exercice1.2.1.Rappelerla d´efinitionde suites adjacentes. D´emontrerle th´eor`eme de
convergence des suites adjacentes.
1

Th´eor`eme1.2.2(Bolzano-Weierstrass).Toute suite born´ee de nombres r´eels admet
une sous-suite convergente.
Rappel :Un r´eellimite d’une sous-suited’une suite r´eelle s’appelle une valeur
d’adh´erence.
Th´eor`eme1.2.3(Compl´etude).Tout suite de Cauchy de nombres r´eels converge.
1.3D´eveloppements d´ecimaux
On note Dl’ensemble (l’anneau) des d´ecimaux. On appelle d´eveloppementd´ecimal
toute suite de d´ecimaux (an)n≥0telle que :
a0∈Zet ∀n>0,an=an−1+bn
10n,bn∈{0,1,...,9}.
On ´ecrit habituellement:
a0,b1b2. . .
Un d´eveloppementd´ecimaladmet une limite dans R.
D´efinition1.3.1. Un d´eveloppementd´ecimal a0,b1b2. . . est impropres’il existe ktel
que :
∀i≥k,bi=9;
dans le cascontraireil est propre.
Exercice1.3.2.D´emontrer que la limite d’un d´eveloppementd´ecimal impropre est un
nombre d´ecimal.
Th´eor`eme1.3.3.L’application qui `a un d´eveloppement d´ecimal propreassocie sa limite
est une bijection entrel’ensemble des d´eveloppements d´ecimaux propres et l’ensemble des
nombres r´eels.
Corollaire1.3.4.Tout nombrer´eel est limite d’une suite de rationnels.
1.4Les sous-groupesde (R,+)
On s’int´eresse aux sous-groupes additifs de R,c’est`a dire aux sous-ensembles non
vides de Rstable pour +et −.
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Exercice1.4.1.Soit Gun sous groupenontrivial de (R,+),et αla borne inf´erieure de
G∩]0,+∞[.
1. Montrer que G∩]0,+∞[est nonvide.
2. D´emontrer que siαest non nul, alors :
a) αest dans G;
b) G=Zα.
3. D´emontrer que siαest nul, alors tout r´eel estlimite d’une suite de G.
D´efinition1.4.2.Un sous-groupeGde (R,+) tel que inf(G∩]0,+∞[) =0est dit
continu;
Un sous-groupeGde (R,+) tel que inf(G∩]0,+∞[) >0est ditdiscret.
Exercice1.4.3.
1. Discuter suivantles valeurs du param`etre r´eel ala naturedu sous-groupede (R,+) :
Ha=aZ+Z={am +m′,a, a′∈Z}.
2. D´eterminer les valeursd’adh´erence de la suite ud´efinie par un=cos2naπ (discuter
suivantles valeurs de a).
Annexe :La construction de Dedekind
D´efinition1.4.4. Une coupure est une partitiondu corps Qdes rationnels endeux
parties nonvides Aet Bsatisfaisantles conditions suivantes:
1. Tout ´el´ementde Aest inf´erieur `a tout ´el´ementde B.
2. Bn’a pasde plus petit ´el´ement.
L’ensemble Rdes r´eels estalors d´efini comme l’ensemble des coupures.L’ensemble
des rationnels s’identifie aux coupures (A, B)pour lesquelles Aposs`ede un plus grand
´el´ement.
On d´efinit sur l’ensemble descoupures une relation d’ordre en posant:
(A, B)≤(C,D)si et seulementsi A⊂C.
On d´efinit une addition en posant:
(A, B)+(C,D)=(E,F)avec E={s+s′/s ∈Aet s′∈C}.
On obtientune structure de grouped’´el´ementneutre (Q−,Q∗
+)simplementnot´e0;de
plus l’additionest compatible avec la relationd’ordre.
On d´efinit la multiplication de deux coupurespositivescomme suit :
Si (A, B)≥0et (C,D)≥0,(A, B)×(C,D)=(E,F)avec :
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E=Q−∪{s.s′,s∈A∩Q+,s′∈C∩Q+}.
On ´etend ensuite la multiplication `a des r´eels de signe quelconque via la r`egle des signes.
La multiplication par un r´eel positif estcompatible avec la relationd’ordre. Onobtient
une structure de corps commutatif totalementordonn´equi contientles rationnels comme
sous-corps.
On d´emontre enfin la propri´et´ede la borne sup´erieure.
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