Fiche 21 : Nombres irrationnels.

Sup MPSI, Lyc´ee Jean Perrin, 3 Novembre 2015.
Fiche 21 : Nombres irrationnels.
Exercice 1
D´eterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne sup´erieure, la borne inf´erieure, le plus grand ´el´ement, le
plus petit ´el´ement des ensembles suivants :
[0,1] ∩Q,]0,1[∩Q,N,(−1)n+1
n2|n∈N∗.
Exercice 2
On fixe n∈N∗,
1. Montrer que si 1 ≤k≤n:
n≤k(n+ 1 −k)≤n+ 1
22
2. En d´eduire :
nn≤(n!)2≤n+ 1
22n
et √n≤n
√n!≤n+ 1
2
Exercice 3
Soit n∈N.
1. Montrer qu’il existe anet bnentiers, uniques, tel que :
(1 + √2)n=an+bn√2
(1 −√2)n=an−bn√2
2. Montrer que pour tout n∈N:
a2
n−2b2 n= (−1)n
3. En d´eduire la valeur de (1 + √2)nen fonction de an.
Exercice 4
Montrer que ln 3
ln 2 est irrationnel.
Exercice 5
Montrer que les nombres √2 + √3 et √2 + √3 + √5 sont irrationnels.
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