Suites réelles 1. Quelques rappels sur le corps des réels

Agr´egation interne
UFR MATH´ EMATIQUES
Suites r´eelles
On note Nl’ensemble des entiers naturels et Zl’ensemble des entiers relatifs. Avant de
parler de l’ensemble Rdes nombres r´eels, rappelons la d´efinition de deux autres ensembles
de nombres.
L’ensemble des nombres rationnels Qest d´efini par
Q={r∈R/∃n∈Zet ∃m∈Z∗, r =n
m}.
Les ´el´ements de Qsont appel´es les nombres rationnels et ceux de R\Qles nombres
irrationnels.
Exemples : 1/3 est un rationnel. πest un irrationnel.
Les entiers relatifs sont des rationnels.
L’ensemble des nombres d´ecimaux est d´efini par
D={r∈Q/∃k∈N,10kr∈Z}.
x= 450.5767 est un nombre d´ecimal car 104xest un entier.
Les nombres d´ecimaux sont des rationnels, mais tous les rationnels ne sont pas des nombres
d´ecimaux. De plus, la somme et le produit de deux d´ecimaux est un d´ecimal, mais l’inverse
d’un d´ecimal non nul n’est pas toujours un d´ecimal.
On a les inclusions : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.
1. Quelques rappels sur le corps des r´eels
1.1. Rest un corps commutatif totalement ordonn´e
On note Rl’ensemble des nombres r´eels. Il est muni de deux op´erations (addition et
multiplication) qui v´erifient les propri´et´es suivantes.
1) L’addition est associative :
∀x∈R,∀y∈R,∀z∈R,(x+y) + z=x+ (y+z).
2) L’addition a un ´el´ement neutre 0 :
∀x∈R, x + 0 = 0 + x=x.
3) Tout nombre r´eel a un oppos´e pour l’addition :
∀x∈R,∃y∈R, x +y=y+x= 0.
L’oppos´e d’un nombre r´eel xest unique : si yet zv´erifient tous les deux x+y=y+x= 0
et x+z=z+x= 0, alors
y=y+ 0 = y+ (x+z) = (y+x) + z= 0 + z=z.
On d´esigne par −xl’oppos´e de x.
4) L’addition est commutative :
∀x∈R,∀y∈R, x +y=y+x.
Rest donc un groupe commutatif.
5) La multiplication est associative :
∀x∈R,∀y∈R,∀z∈R,(x×y)×z=x×(y×z).
6) La multiplication a un ´el´ement neutre 1 :
∀x∈R, x ×1 = 1 ×x=x.

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7) La multiplication est distributive par rapport `a l’addition :
∀x∈R,∀y∈R,∀z∈R, x ×(y+z) = (x×y) + (x×z)
(y+z)×x= (y×x) + (z×x).
8) La multiplication est commutative :
∀x∈R,∀y∈R, x ×y=y×x.
Rest un anneau unitaire commutatif.
9) 0 est diff´erent de 1 et tout nombre r´eel xdiff´erent de 0 a un inverse pour la multiplication :
∀x∈R,x6= 0 =⇒(∃y∈R, x ×y=y×x= 1).
Un tel inverse est unique (mˆeme d´emonstration que pour l’oppos´e pour l’addition) et
on le note x−1.
Rest un corps. Comme autre corps, on connait le corps Qdes rationnels, le corps Cdes
nombres complexes.
On utilise les notations habituelles pour la soustraction et la division : x−yd´esigne
x+ (−y) et x/y d´esigne x×y−1. On omet le plus souvent le symbole ×pour ´ecrire les
multiplications.
10) Rest muni d’une relation d’ordre ≤:
∀x∈R, x ≤x(r´eflexivit´e),
∀x∈R,∀y∈R,∀z∈R,(x≤yet y≤z) =⇒x≤z(transitivit´e),
∀x∈R,∀y∈R,(x≤yet y≤x) =⇒x=y(antisym´etrie).
11) L’ordre ≤est total :
∀x∈R,∀y∈R,(x≤you y≤x).
12) L’ordre ≤est compatible avec l’addition :
∀x∈R,∀y∈R,∀z∈R,(x≤y=⇒x+z≤y+z).
13) Le produit de deux r´eels positifs ou nuls est positif ou nul :
∀x∈R,∀y∈R,(0 ≤xet 0 ≤y) =⇒0≤xy.
Un corps muni en plus d’une relation d’ordre v´erifiant les propri´et´es 10–13 est appel´e un
corps totalement ordonn´e. Les corps Qet Rsont des corps totalement ordonn´es.
Lemme 1 – Pour tout x∈Ret tout y∈R, on a
|x+y| ≤ |x|+|y|et |x| − |y|≤ |x−y|
D´emonstration : la premi`ere in´egalit´e, appel´ee in´egalit´e triangulaire, se prouve en revenant
`a la d´efinition de la valeur absolue.
La deuxi`eme est une cons´equence de la premi`ere, en utilisant les ´egalit´es x= (x−y) + y
et y= (y−x) + x.
Ces deux in´egalit´es sont fondamentales en analyse, o`u une grande partie du travail consiste
`a majorer et minorer des quantit´es.
In´egalit´es vraies (cons´equences des items 12 et 13)
Si a≥0 et b≤c, alors ab ≤ac.
Si a≤0 et b≤c, alors ab ≥ac.
Si a≤bet c≤d, alors a+c≤b+d.
Si 0 ≤a≤bet 0 ≤c≤d, alors 0 ≤ac ≤bd.
D´efinition 2 – Iest un intervalle de Rsi, et seulement si, pour tout aet bdans Itel que
a < b, si a < x < b, alors x∈I.
En d’autres termes, les intervalles de Rsont exactement les parties convexes de R.
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Les nombres r´ eels ou complexes
1.2. Propri´et´e de la borne sup´erieure
D´efinition 3 – Soient Aune partie de Ret aun ´el´ement de R.
1 – On dit que aest un majorant (respectivement un minorant) de Asi, pour tout x∈A,
x≤a(respectivement x≥a).
2 – On dit que Aest major´ee (respectivement minor´ee) si elle poss`ede un majorant
(respectivement un minorant).
3 – On dit que Aest born´ee si elle est `a la fois major´ee et minor´ee.
D´efinition 4 – Soit Aune partie de R, on dit que Aposs`ede un plus grand (respectivement
plus petit) ´el´ement s’il existe un ´el´ement appartenant `a Aqui majore (respectivement
minore) A. On le note max A(respectivement min A).
Proposition 5 – Si Aposs`ede un plus grand (respectivement plus petit) ´el´ement, celui-ci
est unique.
D´emonstration : supposons que Aait deux plus grands ´el´ements distincts aet a′, alors a
est un majorant de Adonc, pour tout x∈A, x ≤a, or a′∈Adonc a′≤a. De mˆeme, a′
est un majorant de Aet a∈Adonc a≤a′.On en d´eduit que a=a′.
D´efinition 6 – Soit Aune partie major´ee de R. Si l’ensemble des majorants de Aadmet
un plus petit ´el´ement, celui-ci est appel´e borne sup´erieure de Aet est not´e sup A.
D´efinition 7 – Soit Aune partie minor´ee de R. Si l’ensemble des minorants de Aadmet
un plus grand ´el´ement, celui-ci est appel´e borne inf´erieure de Aet est not´e inf A.
Exemple - 1 est la borne sup´erieure de [0,1[,0 sa borne inf´erieure.
Lemme 8 – Si elle existe, la borne sup´erieure (resp. inf´erieure) est unique.
Propri´et´e de la borne sup´erieure
Toute partie non vide et major´ee de Radmet une borne sup´erieure.
Toute partie non vide et minor´ee de Radmet une borne inf´erieure.
Caract´erisation de la borne sup´erieure d’une partie Ede Rnon vide et major´ee
La borne sup´erieure de E, sup E, v´erifie les deux propri´et´es suivantes
• ∀x∈E, x ≤sup E
• ∀ε > 0,∃x∈E, sup E−ε≤x(≤sup E).
Remarque - Qne v´erifie pas la propri´et´e de la borne sup´erieure.
1.3. Rest archim´edien
De mani`ere plus concr`ete, on a la propri´et´e suivante : ∀x > 0,∀y > 0, ∃n∈N, ny > x.
Cette propri´et´e de Rpermet de d´efinir la partie enti`ere d’un r´eel x, not´ee E(x), comme ´etant
le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `a x. On a donc les in´egalit´es E(x)≤x < E(x) + 1.
Remarque - Qest ´egalement archim´edien.
1.4. Qest dense dans R
On peut identifier un sous-corps de R`a Q, et on a
Proposition 9 – Soit aet adeux nombres r´eels tels que a < b, alors il existe un nombre
rationnel rtel que a < r < b.
Ce r´esultat est une cons´equence du caract`ere archim´edien de R.
D´emonstration : si a < 0< b, on fait r= 0. Si a < b ≤0, on travaille avec les oppos´es :
0≤ −b < −a. On peut donc supposer 0≤a < b. On choisit un entier h > 0tel que
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1/h < b −a(c’est possible car Rest archim´edien). Soit dle plus petit entier naturel dtel
que d/h > a (il y en a bien un , toujours grˆace `a l’archim´edianit´e). Alors (d−1)/h ≤aet
donc d
h=d−1 h+1 h≤a+1 h< b .
Donc le nombre rationnel d/h v´erifie bien a < d/h < b.
Proposition 10 – Qest dense dans R.
D´emonstration : il suffit d’appliquer la proposition pr´ec´edente aux r´eels distincts x−εet
x+ε.
On a ´egalement les propri´et´es suivantes :
•Tout intervalle non vide de Rcontient une infinit´e de nombres rationnels.
•Tout r´eel est limite d’une suite de rationnels.
Cette derni`ere propri´et´e est fondamentale en analyse ; elle permet de prolonger `a Rdes
r´esultats obtenus sur Qen utilisant par exemple la continuit´e d’une fonction.
2. Suites r´eelles
2.1. Quelques rappels
2.1.1. D´efinitions
D´efinition 11 – Dire que la suite (an)n∈Na une limite ℓ∈Rsignifie que
∀ε > 0,∃N∈N,∀n∈N,(n≥N=⇒ |an−ℓ|< ε.)
D´efinition 12 – On dit qu’une suite de nombres r´eels est convergente quand elle a une
limite ℓdans R.
D´efinition 13 – Si la suite (bn) n’est pas convergente, on dit qu’elle est divergente.
Lemme 14 – Si la limite existe, elle est unique.
D´emonstration : supposons que la suite (un)converge vers deux limites ℓet ℓ′. Supposons
que ℓ6=ℓ′. Soit ε=|ℓ−ℓ′|/2. On devrait avoir d’une part un entier naturel N1tel que
pour tout entier naturel n≥N1,|an−ℓ|< ε, et d’autre part un entier naturel N2tel que
pour tout entier n≥N2,|an−ℓ′|< ε. Si l’on prend nsup´erieur `a la fois `a N1et `a N2, on
devrait avoir
|ℓ−ℓ′| ≤ |ℓ−an|+|an−ℓ′|<2ε=|ℓ−ℓ′|.
On aboutit `a une contradiction, donc une suite de nombres r´eels ne peut pas avoir plus
d’une limite.
D´efinition 15 – Dire que lim an= +∞signifie que ∀A∈R,∃N∈N,∀n≥N, A < an.
D´efinition 16 – Dire que lim an=−∞ signifie que ∀A∈R,∃N∈N,∀n≥N, A > an.
Proposition 17 – Propri´ et´ e des gendarmes
Soit (un), (an) et (bn) trois suites de nombres r´eels. Si lim an= lim bn=
ℓet si on a an≤un≤bn`a partir d’un certain rang, alors lim un=ℓ.
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Les nombres r´ eels ou complexes
2.1.2. R´esultats `a connaitre
Proposition 18 – (ℓ∈Rou ℓ= +∞ou ℓ=−∞).
Soit fune fonction d´efinie au voisinage de a∈Ret ayant une limite ℓ
lorsque xtend vers a. Alors, pour toute suite (un) qui converge vers a,
la suite f(un)converge vers ℓ.
Proposition 19 –
Pour tout α∈R, les suites nα
n!n
et αn
n!n
convergent vers 0.
Proposition 20 –
La suite n!
nnn
converge vers 0.
2.1.3. Quelques m´ethodes pour lever une ind´etermination
△
!Les cas “ind´etermin´es” dans la recherche des limites sont
(+∞) + (−∞), 0 ×(+∞), 0 ×(−∞),0
0et 1∞.
Il n’y a pas de m´ethodes g´en´erales qui permettent de lever toutes les ind´eterminations, mais
il existe n´eanmoins un certain nombre de techniques utiles `a connaitre.
−Pour une limite en +∞(ce qui est toujours le cas pour l’´etude de la convergence d’une
suite), il est souvent utile de mettre en facteur le terme pr´epond´erant ; pour cela, il faut
connaitre l’ordre de pr´epond´erance suivant
“ En +∞, l’exponentielle l’emporte sur la puissance qui l’emporte sur le logarithme. ”
Ne pas oublier que, si a > 0, an=enln aest une exponentielle.
n2+ 2n
en+ ln n=2n en×1 + n2/2n 1 + ln n/n −→
n→+∞0
−Pour une ind´etermination du type ∞−∞ dans un terme comportant des racines carr´ees,
il faut penser `a utiliser la forme conjugu´ee.
n−pn2+ 1 = −1
n+√n2+ 1 −→
n→+∞0.
−Penser `a utiliser le th´eor`eme des gendarmes en pr´esence d’une fonction born´ee.
−1
n≤sin n n≤1 ndonc sin n n−→
n→+∞0.
−Lors de l’´etude de suite de la forme uvn
n, passer en exponentielle (apr`es avoir v´erifi´e
que unest positif `a partir d’un certain rang) : uvn
n=evnln(un)et ´etudier la limite de
vnln(un).1 + 1
nn
=enln(1+ 1
n),or nln(1 + 1
n) = ln(1 + 1
n)
1
n−→
n→+∞1
car lim
x→0
ln(1 + x)
x= 1,d’o`u lim
n→+∞1 + 1
nn
=e.
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