PRIMITIVES

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Reconnaitre la courbe d'une primitive
Reconnaitre la courbe d'une primitive
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
On a :
Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F, dérivable sur I, et telle que :
pour tout x  I, F’(x) = f(x).
et :
Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de IR, C la courbe
représentative de f et
x0
un élément de I.
 Si f ’(x0)> 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
 Si f ’(x0) <0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet
intervalle.
 f ’(x0) = et
f
change de signe en x0 alors f admet un extremum
(maximum ou minimum) en x0 .
Pour reconnaitre la courbe la primitive de f, on étudie donc le signe de la fonction f. Le signe
de f détermine les variations de F.
Exemple :
Le tableau de signe d’une fonction f est :
Les variations de la fonction F sont donc :
– Croissante de –∞ à –2/3
– Décroissante de –2/3 à –1/4
– Croissante de –1/4 à +∞
La démarche est l’inverse de celle utilisée pour déterminer la courbe de la dérivée.
Il est utile de bien maitriser les méthodes de seconde :
Déterminer un tableau de signes par lecture graphique
Déterminer un tableau de variation par lecture graphique
Passer aux exercices
x
–∞ –2/3 –1/4 +∞
f(x)
+ 0 – 0 +

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Reconnaitre la courbe d'une primitive
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
Exercice 1 Asie 2011
On considère une fonction f :
− définie, continue et
dérivable sur l’intervalle [
− 1 ; +∞ [ ;
− strictement croissante
sur l’intervalle [0 ; 2] ;
− strictement décroissante
sur les intervalles [−1 ;
0] et [2 ; +∞ [.
On note F la primitive de f
sur l’intervalle [ − 1 ; +∞ [
qui s’annule en 0.
La courbe C, tracée ci-
contre, représente la
fonction f dans le plan muni
d’un repère orthogonal.
Elle passe par les points : A(
− 1 ; 6), B(0 ; − 2), D(1 ;
2) et E(2 ; 6).
Elle admet au point D une
tangente passant par le
point G(0 ; − 4).
Elle admet au point B et au
point E une tangente
horizontale.
1. Parmi les trois courbes suivantes, C1, C2, C3, préciser, en justifiant la réponse, celle qui
représente F .
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 0 1 2 3
Courbe C1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4
Courbe C2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1 0 1 2 3
Courbe C3
Corrigé – Revoir les explications du cours
Passer à l’exercice 2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4
G
B
D
E

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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
Exercice 2 France métropolitaine 2011
La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction h définie et
dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞ [. La droite (AB), tracée sur le graphique, est tangente à la
courbe C au point B d’abscisse 1.
C
A
B
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique d’une primitive de la
fonction h sur l’intervalle ]0 ; +∞ [. Préciser laquelle.
a.
b.
c.
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6
Corrigé– Revoir les explications du cours
Exercice 3 Antilles 2011
Soit f une fonction définie et dérivable sur . On appelle C la courbe représentative de f dans
un repère du plan.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f sur .
x
−∞
3
+∞
f (x)
1
− 1
+∞
On donne de plus : f (−2) = 0 , f (5) = 0 et f (10) = 3.
On appelle F une primitive de la fonction f sur . Déterminer les variations de la fonction F
sur .
Passer à l’exercice 4

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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
Exercice 4 Polynésie 2011
Soit f une fonction définie sur l’ensemble ]–∞ ; 1[]1 ; +∞ [.
On note (Cf) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormal.
On suppose que f est dérivable sur chacun des intervalles ]–∞ ; 1[et ]1 ; +∞ [
On suppose que f admet le tableau de variation ci-dessous :
x
−∞
1
6
+∞
f
2
− ∞
+∞
3
+∞
Pour l’affirmation ci-dessous, une seule des trois propositions convient :
VRAIE ou FAUSSE ou LES INFORMATIONS DONNEES NE PERMETTENT PAS DE CONCLURE
 La fonction F est décroissante sur l’intervalle ]1 ; 6].

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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
Corrigé 1
Le tableau de signe de la fonction f est :
La fonction F doit donc être croissante de –1 à –0,5 environ, décroissante de –0,5 à 0,7
environ, croissante de 0,7 à 2,8 environ et décroissante de 2,8 à +∞. La primitive de f est
donc la fonction de la courbe C2.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 0 1 2 3
Courbe C1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4
Courbe C2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1 0 1 2 3
Courbe C3
Retour à l’exercice – Passer à l’exercice suivant – Revoir les explications du cours
x
–1 –0,5 0,7 2,8 +∞
f(x)
+ 0 – 0 + 0 –