PRIMITIVES I) Définition et exemples II) Existence d`une primitive III

PRIMITIVES
I) Définition et exemples
Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I
et telle que : F ′ ( x ) = f ( x ) .
Exemples :
• La fonction F: x a 3x + 4 est une primitive sur R de
f :x a 3 .
• La fonction F: x a x 2 est une primitive sur R de
f : x a 2x .
1
• La fonction F: x a est une primitive sur ]0 ;+∞[ de
x
1
f :x a − 2 .
x
II) Existence d’une primitive
1) L’idée de continuité : f est une fonction définie sur l’intervalle I . Lorsque la courbe représentant f se trace d’un trait
continu c’est-à-dire sans lever le crayon (sans sauts), on traduit cette idée intuitive en disant que : la fonction f est
continue sur l’intervalle I.
2) Etudie-t-on des fonctions continues en TES ? La plupart des fonctions étudiées cette année sont continues ,
notamment :
Propriété : les polynômes et les fractions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de
définition.
3) Quelles fonctions admettent une primitive ?
Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.
III) Les primitives d’une fonction
Théorème :
1) Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions x a F ( x ) + k , où k est une
constante quelconque.
2) I étant un intervalle contenant une valeur x0 et y0 étant connu, il existe une et une seule primitive F de f sur I vérifiant
la condition F( x 0 ) = y 0 .
IV) Détermination de primitives
1) Primitives de f + g, de k f avec k réel
Propriétés :
• F et G sont des primitives respectives de f et g sur I. Alors F + G est une primitive de f + g sur I.
• F est une primitive de f sur I et k est un réel. Alors k F est une primitive de k f sur I.
2) Les formules tant attendues : u désigne une fonction.
f(x)
a (constante)
x
n
x ,n>0
1
xn
,n≥2
1
x
1
x
ex
une primitive F(x)
ax
1 2
x
2
n+1
x
n +1
1
1
−
n − 1 x n −1
2 x
ln x
ex
fonction f
u ′u n , n > 0
u′
un
,n≥2
u′
u
u′
u
u ′e u
fonction F
1
u n +1
n +1
1
1
−
n
n − 1 u −1
2 u
ln u , u > 0
eu