PRIMITIVES I) Définition et exemples II) Existence d`une primitive III

PRIMITIVES
I) Définition et exemples
Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I
et telle que :
′
=
Fxfx( ) ( ) .
Exemples :
• La fonction Fx x:
a
3 4
+
est une primitive sur R de
fx:
a
3.
• La fonction Fx x:
a
2 est une primitive sur R de
fx x:
a
2.
• La fonction Fxx :a1 est une primitive sur ]0 ;+∞[ de
fxx :a−1
2.
II) Existence d’une primitive
1) L’idée de continuité : f est une fonction définie sur l’intervalle I . Lorsque la courbe représentant f se trace d’un trait
continu c’est-à-dire sans lever le crayon (sans sauts), on traduit cette idée intuitive en disant que : la fonction f est
continue sur l’intervalle I.
2) Etudie-t-on des fonctions continues en TES ? La plupart des fonctions étudiées cette année sont continues ,
notamment :
Propriété : les polynômes et les fractions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de
définition.
3) Quelles fonctions admettent une primitive ?
III) Les primitives d’une fonction
IV) Détermination de primitives
1) Primitives de f + g, de k f avec k réel
Propriétés :
• F et G sont des primitives respectives de f et g sur I. Alors F + G est une primitive de f + g sur I.
• F est une primitive de f sur I et k est un réel. Alors k F est une primitive de k f sur I.
2) Les formules tant attendues : u désigne une fonction.
Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.
Théorème :
1) Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions xFx k
a
( )
+
, où k est une
constante quelconque.
2) I étant un intervalle contenant une valeur x0 et y0 étant connu, il existe une et une seule primitive F de f sur I vérifiant
la condition 00 )(Fyx
=
.
f(x) une primitive F(x)
a (constante) a x
x 1
22
x
x
n, n > 0 x
n
n+
+
1
1
1
x
n, n ≥ 2 −−−
1111
n
x
n
1
x 2x
1
x ln x
e
x
e
x
fonction f fonction F
′
u
u
n, n > 0 111
nun ++
′
u
u
n, n ≥ 2 −−−
1111
n
u
n
′
u
u 2u
′
u
u
ln
u
, u > 0
′
u
e
u
e
u