Terminale ES Devoir à la maison n°5

Terminale ES
Devoir à la maison n°5 : corrigé
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corDM5ESA10
Exercice 1 : n° 11p.221
Le tableau suivant donne la moyenne y
i
des maxima de tension artérielle en fonction de l’âge x
i
d’une population féminine.
âge x
i
Tension y
i
xi - xb = X yi - yb = Y XY (xi - xb)² =
X²
36 11,8
-15 -2,2 33 225
42 14
-9 0 0 81
48 12,6
-3 -1,4 4,2 9
54 15
3 1 3 9
60 15,5
9 1,5 13,5 81
66 15,1
15 1,1 16,5 225
51 14 70,2 630
a = XY/X² 0,11
b = yb - axb 8,32
à 70 ans, x = 70 alors y = 0,11(70) + 8,32
soit 16,12
cela semble normal, et confirmé sur le graphique

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Exercice 2 : n° 36 p.58
1. f est la fonction définie sur [0 ; 60] par : f(x) = 75x² - x
3
.
a) Calculer f’(x) et étudier le signe de f"(x).
b) Dresser le tableau de variation de f.
la fonction f est une fonction polynôme donc définie et dérivable sur R, donc sur I = [0 ; 60]
on a f’(x) = 150x – 3x² = 3x(50 – x)
f’(x) = 0 ⇔ 3x(50 – x) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 50 les seules valeurs dans I.
La dérivée s’annule et change de signe en x = 50, donc admet un extremum. La fonction est
croissante sur [0 ;50], puis décroissante sur [50 ;60] donc admet un maximum en x = 50 qui vaut
62500.
c) Tracer la courbe représentative de f dans un repère (unités : 1 cm pour 10 en abscisses et 1 cm
pour 10 000 en ordonnées).
2.À la suite d’une épidémie dans une région, on a constaté que le nombre de malades, n jours
après l’apparition des premiers cas, est donné par f(n) , avec n entier et 0 ≤ n ≤ 60.
Déterminer le jour où le nombre de malades est maximal et donner le nombre de malades ce
jour-là.
Le maximum est atteint en n = 50 et vaut 62500, donc au 50e jour il y a 62500 malades.
x
f'
f(x)
0
+
0
50
−
62500
60
54000

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Exercice 3 : n° 32 p.84 - 85
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Dire laquelle ?
1. f est la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par: f(x) = 2
x² - 3x + 5
Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1
est...
a) y = -7x + 3;
b) y = -7x + 11;
c) y = x+3.
En effet f est dérivable de dérivée f’(x) = - 4
x - 3. L’équation de la tangente en x = 1 est
y = f’(1) (x – 1) + f(1) avec f(1) = 4 et f’(1) = -7 d’où le résultat après calculs.
2. g est une fonction strictement croissante sur [5 ; 7] et g(5) = -3, g(7) = 1 .On pose h = 1
g
a) h n’est pas définie sur [5 ; 7] ;
b) h est strictement décroissante sur [5 ; 7] ;
c) h est strictement croissante sur [5 ; 7].
Comme g est strictement croissante sur [5 ; 7] d’une valeur négative -3 à une valeur positive 1,
d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une valeur entre 5 et 7 telle que g
s’annule, donc 1
g n’est pas définie en cette valeur.
3. F est la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par F(x) = 2
x + 1 – 1 x
F est une primitive d’une fonction f sur ]0 ; + ∞ [.
Une autre primitive G de f sur ]0 ; + ∞ [ est définie par:
a) 4x + 2
x² + x
b) 3x² + 5x – 2
2(x² + x)
c) x
3
+ x² + x – 1
x(x + 1)
Deux primitives d’une même fonction diffère d’une constante, or après calculs, on trouve
3x² + 5x – 2
2(x² + x) - 
2
x + 1 – 1 x = 3
2 ou on peut aussi montrer que G’ = F’
4. u est la fonction définie sur R par : u(x) = x + 1
(x² + 2x + 3)
3
Une primitive U de u sur R est définie par...
a) -1
4(x² + 2x + 3)
b) - 4
(x² + 2x + 3)²
c) -1
4(x² + 2x + 3)²
En dérivant -1
4(x² + 2x + 3)² on trouve u(x)