Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I .
On appelle primitive de f sur I , tout fonction F définie et dérivable sur I dont la dérivée est f .
Autrement dit, F est une primitive de f si elle est dérivable et, pour tout x de I , ….........................
Remarque
On admet que toutes les fonctions étudiées en terminale admettent des primitives sur chaque intervalle de leur
ensemble de définition.
Exemples 1) Soit f et F deux fonctions définies sur ℝ par : f  x =−15 x 24 x− x et
F  x =−5 x 32 x 2−1 . Vérifier que F est une primitive de f sur ℝ .
2) La fonction f définie sur ℝ par f  x =3 x 2 admet pour primitive la fonction F définie sur ℝ par
F  x =........... (car …....................................................................................................................................)
Les fonctions F 1 et F 2 définies sur ℝ par F 1  x=........................... et F 2  x =...................................
sont également des primitives de f sur ℝ .
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• Si F est une primitive de f sur I , alors toutes les fonctions G définies sur I par :
G x=F  x k (où k est un réel quelconque) sont des primitives de f sur I .
• Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Autrement dit, si F et G sont deux primitives de f sur I , alors il existe un réel k tel que, pour tout
x de I , G x=F  x k .
Démonstration
• Soit F une primitive de f sur I et k un réel quelconque.
Soit G la fonction définie sur I par G x=F  x k .
Comme F est une primitive de f sur I , F est dérivable sur I et pour tout x de I , F '  x=......
On en déduit, par somme, que G est dérivable sur I et G '  x =...................................................
La fonction G est donc une primitive de f sur I .
• Si F et G sont deux primitives de f sur I . Alors G−F est dérivable est pour tout x de I
G− F '  x=................................................................................................
La dérivée de G−F étant toujours nulle, on en déduit que G−F est une fonction ….......................sur I ,
c'est à dire qu'il existe un réel k tel que : …............................................................................................ ,
c'est à dire tel que …........................................................................................................................
Conséquences
• Si on connait une primitive F de f sur I , alors l'ensemble des primitives de f sur I est
l'ensemble des fonctions ….....................................................................................................
• Toute fonction f définie sur un intervalle I admet …............................................. de primitives.
2) Cas particulier : primitive prenant une valeur donnée en un réel
Théorème (admis)
Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I .
Soit x 0 un réel de I et y 0 un réel quelconque.
Il existe une unique primitive de f sur I telle que F  x 0 = y 0 .
Exemple Soit f la fonction définie sur ℝ + par f  x =
1
.
2x
1) Déterminer une primitive de f sur ℝ + : …..................................................................................................
2) En déduire toutes les primitives de f sur ℝ + : …........................................................................................
3) En déduire la primitive de f sur ℝ qui vaut 2 en 1.