Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On

Définition
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
.
On appelle primitive de
f
sur
I
, tout fonction
F
définie et dérivable sur
I
dont la dérivée est
f
.
Autrement dit,
F
est une primitive de
f
si elle est dérivable et, pour tout
x
de
I
, ….........................
Remarque
On admet que toutes les fonctions étudiées en terminale admettent des primitives sur chaque intervalle de leur
ensemble de définition.
Exemples 1) Soit
f
et
F
deux fonctions définies sur
ℝ
par :
fx=−15 x24x−x
et
Fx=−5x32x2−1
. Vérifier que
F
est une primitive de
f
sur
ℝ
.
2) La fonction
f
définie sur
ℝ
par
fx=3x2
admet pour primitive la fonction
F
définie sur
ℝ
par
Fx=...........
(car …....................................................................................................................................)
Les fonctions
F1
et
F2
définies sur
ℝ
par
F1x=...........................
et
F2x=...................................
sont également des primitives de
f
sur
ℝ
.
Théorème
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle I.
•Si
F
est une primitive de
f
sur
I
, alors toutes les fonctions
G
définies sur
I
par :
Gx=Fxk
(où
k
est un réel quelconque) sont des primitives de
f
sur
I
.
•Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Autrement dit, si
F
et
G
sont deux primitives de
f
sur
I
, alors il existe un réel
k
tel que, pour tout
x
de
I
,
Gx=Fxk
.
Démonstration
•Soit
F
une primitive de
f
sur
I
et
k
un réel quelconque.
Soit
G
la fonction définie sur
I
par
Gx=Fxk
.
Comme
F
est une primitive de
f
sur
I
,
F
est dérivable sur
I
et pour tout
x
de
I
,
F ' x=......
On en déduit, par somme, que
G
est dérivable sur
I
et
G ' x=...................................................
La fonction
G
est donc une primitive de
f
sur
I
.
•Si
F
et
G
sont deux primitives de
f
sur
I
. Alors
G−F
est dérivable est pour tout
x
de
I
G−F'x=................................................................................................
La dérivée de
G−F
étant toujours nulle, on en déduit que
G−F
est une fonction ….......................sur
I
,
c'est à dire qu'il existe un réel
k
tel que : …............................................................................................ ,
c'est à dire tel que …........................................................................................................................
Conséquences
•Si on connait une primitive
F
de
f
sur
I
, alors l'ensemble des primitives de
f
sur
I
est
l'ensemble des fonctions ….....................................................................................................
•Toute fonction
f
définie sur un intervalle
I
admet …............................................. de primitives.
2) Cas particulier : primitive prenant une valeur donnée en un réel
Théorème (admis)
Soit
f
une fonction admettant des primitives sur un intervalle
I
.
Soit
x0
un réel de
I
et
y0
un réel quelconque.
Il existe une unique primitive de
f
sur
I
telle que
Fx0= y0
.
Exemple Soit
f
la fonction définie sur
ℝ+
par
fx= 1
2 x
.
1) Déterminer une primitive de
f
sur
ℝ+
: …..................................................................................................
2) En déduire toutes les primitives de
f
sur
ℝ+
: …........................................................................................
3) En déduire la primitive de
f
sur
ℝ
qui vaut 2 en 1.