PRIMITIVES : Démonstration de l`unicité et tableaux des primitives

PRIMITIVES : Démonstration de l’unicité et tableaux des primitives
Propriété :
f est une fonction définie sur un intervalle I. On suppose qu'il existe une primitive F de f sur I.
L'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G définies sur I par G(x) = F(x) + C
où C décrit ℝ.
Démo ROC :
Si G est une primitive de f sur I alors G est dérivable sur I et G’ = f donc G’ = F', la dérivée de la
fonction G - F est nulle sur l'intervalle I, G - F est donc constante sur I : il existe un réel C tel que pour
tout réel x de I, G(x) - F(x) = C.
.Réciproquement, si la fonction G est définie sur I par G (x) = F (x) + C avec C réel ; alors G est
dérivable sur I et G' = F' =f. G est donc une primitive de f sur I.
q :
Si la fonction f admet une primitive sur un intervalle alors elle en admet une infinité.
Si F et G sont deux primitives d'une fonction f sur un intervalle I alors elles diffèrent
d'une constante. Il existe un réel C tel que la courbe CGreprésentant G dans un repère
(O ;
i
,j) soit l'image de la courbe CFreprésentant F par la translation de vecteur C j
Primitive prenant une valeur donnée en un réel donné
Propriété :
f est une fonction définie sur un intervalle I. On Suppose que f admet des primitives sur I. x0est un réel
de I et y0est un réel donné.
Il existe une unique primitive G de f sur I telle que G (x0) = y0
Démo ROC :
Si F est une primitive de f sur I alors toute primitive de f sur I est définie par : G(x) = F(x) + C avec C
réel. La condition G(x0) = y0s'écrit F(x0) + C = y0c'est-à-dire C = y0- F(x0). Il existe donc une unique
primitive G de f sur I telle que G(x0) = y0elle est définie par : G(x) = F(x) + y0- F(x0).

Primitives des fonctions usuelles
Déjà donné en classe….
L'intervalle I devra être convenablement choisi.
k désigne une constante réelle.
Fonction Primitives Intervalle
f(x) = 0 F(x) = k ℝ
f(x) = 1 F(x) = x + k ℝ
f(x) = a F(x) = ax + k ℝ
f(x) = x F(x) =
2
1x² + k ℝ
f(x) = x² F(x) =
3
1x3+ k ℝ
f(x) =
²
x
1F(x) =
x
1
+ k ]-∞; 0[ ou ]0 ; + ∞[
f(x) = x
1F(x) = 2 x+ k ]0 ; + ∞[
f(x) = xnn∈ ℤ\{- 1} F(x) =
1
n
1
xn+1 + k ]-∞; 0[ ou ]0 ; + ∞[ ou ℝ
f(x) =
x
1F(x) = ln x + k ]0 ; + ∞[
f(x) = e
x
F(x) = e
x
+ k ℝ
f(x) = sin x F(x) = - cos x + k ℝ
f(x) = cos x F(x) = sin x + k ℝ
f(x) = 1 + tan² x =
x
²
cos
1F(x) = tan x + k 
 πk
2
π
;πk
2
π
avec k ∈ ℤ

Primitives et opérations sur les fonctions
Déjà donné en classe….
u est une fonction dérivable sur un intervalle I
Fonction f Primitives de f sur I Conditions sur u
u’un(n ∈ℕ*)
1
n
1
un+1 + C
²
u
'u
u
1
+ C Pour tout x de I, u(x) ≠ 0
n
u
'u (n ∈ℕ,n≥2) C
u
1
1
n
11n 
Pour tout x de I, u(x) ≠ 0
u
'u 2 u + C Pour tout x de I, u(x) >0
u
'u ln (u) +C Pour tout x de I, u(x) >0
u’e
u
e
u
+ C