PRIMITIVES : Démonstration de l`unicité et tableaux des primitives

PRIMITIVES : Démonstration de l’unicité et tableaux des primitives
Propriété :
f est une fonction définie sur un intervalle I. On suppose qu'il existe une primitive F de f sur I.
L'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G définies sur I par G(x) = F(x) + C
où C décrit ℝ.
Démo ROC :
Si G est une primitive de f sur I alors G est dérivable sur I et G’ = f donc G’ = F', la dérivée de la
fonction G - F est nulle sur l'intervalle I, G - F est donc constante sur I : il existe un réel C tel que pour
tout réel x de I, G(x) - F(x) = C.
.Réciproquement, si la fonction G est définie sur I par G (x) = F (x) + C avec C réel ; alors G est
dérivable sur I et G' = F' =f. G est donc une primitive de f sur I.
q :
Si la fonction f admet une primitive sur un intervalle alors elle en admet une infinité.
Si F et G sont deux primitives d'une fonction f sur un intervalle I alors elles diffèrent
d'une constante. Il existe un réel C tel que la courbe CG représentant G dans un repère
(O ; i , j ) soit l'image de la courbe C F représentant F par la translation de vecteur C j
Primitive prenant une valeur donnée en un réel donné
Propriété :
f est une fonction définie sur un intervalle I. On Suppose que f admet des primitives sur I. x0 est un réel
de I et y0 est un réel donné.
Il existe une unique primitive G de f sur I telle que G (x0) = y0
Démo ROC :
Si F est une primitive de f sur I alors toute primitive de f sur I est définie par : G(x) = F(x) + C avec C
réel. La condition G(x0) = y0 s'écrit F(x0) + C = y0 c'est-à-dire C = y0 - F(x0). Il existe donc une unique
primitive G de f sur I telle que G(x0) = y0 elle est définie par : G(x) = F(x) + y0 - F(x0).
Primitives des fonctions usuelles
Déjà donné en classe….
L'intervalle I devra être convenablement choisi.
k désigne une constante réelle.
Fonction
f(x) = 0
Primitives
F(x) = k
f(x) = 1
F(x) = x + k
ℝ
f(x) = a
F(x) = ax + k
ℝ
f(x) = x
1
x² + k
2
1
F(x) = x3 + k
3
1
F(x) =  + k
x
F(x) = 2 x + k
ℝ
F(x) =
f(x) = x²
f(x) =
f(x) =
f(x) = xn
1
x²
1
Intervalle
ℝ
ℝ
]-∞ ; 0[ ou ]0 ; + ∞[
]0 ; + ∞[
x
n ∈ ℤ \ {- 1}
1
x
f(x) = ex
f(x) =
1 n+1
x +k
n 1
F(x) = ln x + k
F(x) =
]-∞ ; 0[ ou ]0 ; + ∞[ ou ℝ
]0 ; + ∞[
F(x) = ex + k
ℝ
f(x) = sin x
F(x) = - cos x + k
ℝ
f(x) = cos x
F(x) = sin x + k
f(x) = 1 + tan² x =
1
cos ² x
F(x) = tan x + k
ℝ
π
 π

  2  kπ; 2  kπ 


avec k ∈ ℤ
Primitives et opérations sur les fonctions
Déjà donné en classe….
u est une fonction dérivable sur un intervalle I
Fonction f
u’u
n
(n ∈ℕ*)
u'
u²
u'
un
(n ∈ℕ, n ≥ 2)
u'
u
u'
u
u’eu
Primitives de f sur I
1 n+1
u +C
n 1
1
 +C
u
1
1

 n 1  C
n 1 u
2 u +C
ln (u) +C
eu + C
Conditions sur u
Pour tout x de I, u(x) ≠ 0
Pour tout x de I, u(x) ≠ 0
Pour tout x de I, u(x) > 0
Pour tout x de I, u(x) > 0