Les nombres complexes

PCSI(2013-2014) Les Nombres complexes Lycée Baimbridge
Table des matières
Introduction historique.........................................................................................................................2
I- Les nombres complexes....................................................................................................................4
1- Parties réelles et imaginaires.......................................................................................................4
2- Opérations sur les nombres complexes.......................................................................................4
3- Conjugué d'un nombre complexe................................................................................................5
4- Module d'un nombre complexe...................................................................................................6
5- Interprétation géométrique..........................................................................................................8
II- Nombres complexes de module 1 et trigonométrie.......................................................................10
1- L'ensemble U des nombres complexes de module 1.................................................................10
a- Définition et propriétés.........................................................................................................10
b- Paramétrage du cercle trigonométrique................................................................................11
c- Exponentielle complexe........................................................................................................14
2- Argument d'un nombre complexe non nul.................................................................................15
a- Formes trigonométriques......................................................................................................15
b- Propriétés..............................................................................................................................16
c- Interprétation géométrique....................................................................................................16
d- Transformation d'expression du type :..................................................................................17
3- Application à la trigonométrie (en grec « mesure des triangles»).............................................17
a- Les formules de base.............................................................................................................17
b- Les formules de duplication..................................................................................................18
c- Transformations de produits en somme et vice-versa...........................................................19
d- Linéarisation de polynômes trigonométriques : formules d'Euler........................................20
e- Expression de en fonction de : formule de Moivre.............................................................20
f- Factorisation..........................................................................................................................21
III- Équations algébriques..................................................................................................................23
1- Équation du second degré..........................................................................................................23
a- Racine carré d'un nombre complexe.....................................................................................23
b- Résolution de l'équation du seconde degré à coefficients dans C.........................................24
c- Cas particulier : équation à coefficients réels.......................................................................25
d- Relation entre les racines et les coefficients.........................................................................25
2- Racines nième d'un nombre complexe......................................................................................26
a- Le groupe Un des racines nième de l'unité...........................................................................26
b- Interprétation géométrique et exemples................................................................................27
c- Cas général :..........................................................................................................................27
IV- Nombres complexes et transformations géométriques.................................................................29
Conclusion..........................................................................................................................................30
1/30

PCSI(2013-2014) Les Nombres complexes Lycée Baimbridge
Introduction historique
–1545 : Jérôme Cardan (Girolamo Cardano 1501-1576), savant italien, écrit Artis magnae sive
de regulis algebraicis (Du grand Art ou des règles de l'Algèbre) plus connu sous le nom d'Ars
Magna. (Tartaglia, Scipione Del Ferro) : résolution de l'équation du 3
ième
degré.
L'équation
x
3
+
px
+
q
=
0
admet comme solutions :
–1572 : Raffaelle Bombelli (1526-1572),mathématicien italien, écrit en 1572 l'Algebra. Il
considère l'équation
x
3
=
15x
+
4
et les formules de Cardan donne :
Et
(
2
+
i
)
3
=
2
+
√
121
et
(
2
i
)
3
=
2
√
121
et on trouve
x
=
2
+
i
+
2
i
=
4
.
Il introduit le module, le conjugué, les parties réelles et imaginaires d'un nombre complexe, et les
règles de calcul sur les nombres complexes.
–1629 : Albert Girard (1595-1632) affirme (à Amsterdam) dans son « Invention nouvelle en
Algèbre » que tout équation de degré n doit avoir n racines (en prenant en compte les racines
négatives imaginaires).
–1673 : John Wallis(1616-1703) ,mathématicien anglais tente de trouver une représentation
géométrique des imaginaires.
–1637 : Réné Descartes(1596-1650) utilise le terme « imaginaire » dans « La Géométrie » en
1637.
–1730 : Abraham De Moivre(1667-1754), mathématicien français établit sa formule :
(
cos
(
x
)+
i
sin
(
x
))
n
=
cos
(
nx
)+
i
sin
(
nx
)
–1746 : Jean le Rond D'Alembert (1717-1783) « démontre » que tous les nombres imaginaires
sont de la forme
a
+
ib
.
–1777 : Leonhard Euler(1707-1783),mathématicien suisse introduit le symbole i, première lettre
du mot latin « Imaginarius ». Il introduit aussi le symbole
Σ
pour la somme.
–1797 : l'allemand Karl Friedrich Gauss (1777-1855) et Caspard Wessel (1745-1818, Norvège,
Danemark) découvre en même temps et séparément la représentation géométrique des nombres
complexes.
–1806 : Jean Robert Argand (1768-1822), comptable suisse, établit à son tour la représentation
géométrique des nombres complexes.
2/30
3 3
2 121 2 121
x = + − + − −
2 3 2 3
3 3
2 4 27 2 4 27
q q p q q p
x = − + + + − − +

PCSI(2013-2014) Les Nombres complexes Lycée Baimbridge
–1828 : John Warren (1796-1852) , mathématicien anglais, ramène les opérations sur les nombres
complexes à des transformations géométriques dans le plan
–1831 : Karl Friedrich Gauss invente le terme « nombre complexe ».
–1833 : Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) , mathématicien irlandais établit la théorie
définitive des nombres complexes comme couple de nombres réels.
Application
–En mathématiques : corps algébriquement clos (tout polynôme non constant admet une racine ),
permet de simplifier les résultats dans
ℝ
(polynômes irréductibles de
ℝ
, équations
différentielles), analyse complexe (fonctions holomorphes, séries entières), théorème des nombres
premiers, calcule d'intégrales réelles (théorème des résidus).
–En physique : électricité, électrostatique, mécanique des fluides, équation de la chaleur. Souvent
le potentiel vérifie une équation aux dérivées partielles (fonctions harmoniques) qui peut être
résolue par les fonctions complexes à valeurs complexes. (fonctions holomorphes : fonctions
dérivables au sens complexe).
3/30

PCSI(2013-2014) Les Nombres complexes Lycée Baimbridge
I- Les nombres complexes
1- Parties réelles et imaginaires.
Définitions
Un nombre complexe s'écrit de façon unique la forme :
z
=
a
ib
avec
a ,b ∈ℝ
2
et
i
2
= 1.(écriture algébrique)
Dans ce cas : a est la partie réelle de z notée
a
=ℜ
z
et b est la partie imaginair e notée
b
=ℑ 
z
.
L'ensemble des nombres complexes est noté
ℂ
.
Remarques :
- on peut identifier un nombre complexe à un couple de nombres réels.
1
=(
1,0
)
et
i
=(
0,1
)
.
ℂ
est identifié à
ℝ
2
.
– Les nombres de la forme
b
i
avec
b
∈ℝ
sont les imaginaires purs .
– La propriété se traduit par : (1,i) est une base de
ℂ
considéré comme
ℝ
espace
vectoriel.
Conséquence : interprétation géométrique. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct.
À tout point du plan M(a,b) on associe un unique nombre complexe, son affixe
z
M
=
a
+
bi
, et
réciproquement.
Affixe d'un vecteur
AB = z
B
z
A
.
Propriétés :
un nombres complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont
nulles.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si il sont même partie réelle et
imaginaire.
2- Opérations sur les nombres complexes.
Définitions :
Soient
z
=
a
+
ib
et
z
'
=
a
'
+
ib
'
alors :
z
+
z
'
=(
a
+
a
'
)+
i
(
b
+
b
'
)
.
z
×
z
'
=(
aa
'
bb
'
)+
i
(
ab
'
+
a
'
b
)
ℜ(
z
+
z
'
)=ℜ(
z
)+ℜ(
z
'
)
ℑ(
z
+
z
'
)=ℜ(
z
)+ℜ(
z
'
)
ℜ(
z
×
z
'
)=ℜ(
z
) ℜ(
z
'
)ℑ(
z
)ℑ(
z
'
)
4/30

PCSI(2013-2014) Les Nombres complexes Lycée Baimbridge
ℑ(
z
×
z
'
)=ℜ(
z
)ℑ(
z
'
)+ℑ(
z
)ℜ(
z
'
)
Lien avec la trigonométrie (cosinus et sinus)
Re et Im sont des applications
ℝ
linéaires. Ce sont des projections.
Remarques : dans
ℂ
, on a les mêmes règles de calcul que dans
ℝ
.
z
1
×(
z
2
+
z
3
)=
z
1
×
z
2
+
z
1
×
z
3
L'addition et la multiplication sont commutatives et associatives.
La multiplication est distributive par rapport à l'addition.
0 est l'élément neutre de l'addition et 1 celui de la multiplication.
Tout nombre complexe non nul admet un inverse :
1
z=
a
a
2
+
b
2
b
a
2
+
b
2
i
Identités remarquables.
z
×
z
'
=
0
⇔
z
=
0
ou
z
'
=
0
ℂ
muni de l'addition et de la multiplication est un corps qui contient le corps des réels.
3- Conjugué d'un nombre complexe.
Définition :
Soit
z
=
x
+
iy
, avec x et y réels. Le conjugué de z est le nombre complexe noté
̄
z
, défini par :
̄
z
=
x
iy
Interprétation géométrique : le point d'affixe
̄
z
est le symétrique du point d'affixe z, par rapport à
l'axe des réels. Le symétrique par rapport à l'axe des imaginaires pur est
–
̄
z
.
Définition : une fonction f de E dans E est involutive si :
f
∘
f
=
Id
E
Exemple de fonctions évolutives : fonction inverse, fonction
z
→
z
inversion.
On peut remarquer qu'une fonction involutive est toujours bijective (injective et surjective).
Propriété : La conjugaison est involutive.
̄
̄
z
=
z
Analogie avec les symétries
s
2
=
s
∘
s
=
Id
.
Propriété :
ℜ( z )=
z
+̄
z
2
ℑ( z )=
z
̄
z
2i
Propriétés :
z
∈ℝ⇔
z
=
̄
z
z
imaginaire
pur
⇔
z
=
̄
z
5/30