Les nombres complexes I Ensemble des nombres complexes 1

Les nombres complexes
I Ensemble des nombres complexes
1) Écriture algébrique d’un nombre complexe
Définition : il existe un ensemble noté ℂ appelé ensemble des nombres
complexes tel que :
1. ℂ contient l’ensemble ℝ des nombres réels.
2. ℂ contient un élément noté tel que = −1
3. Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme =
où et sont des réels.
Cette écriture est appelée forme algébrique de .
Définition. Soit un nombre complexe = + avec , réels
est la partie réelle de et est la partie imaginaire de
On note
= et
=
et
sont des réels.
Remarque : tout complexe du type =
Ex.
3 +1 =1;
−5 − = −1
•
•
est appelé imaginaire pur.
= 0⇔ est un réel
= 0 ⇔ est un imaginaire pur
2) Interprétation géométrique
Dans le repère orthonormé
; ,
,
à chaque point M correspond un couple
de réels
;
à tout couple
ses coordonnées ;
;
on fait correspondre
le nombre complexe
=
+
On dit que est l’affixe du point M
et que le point M est le point image
du nombre complexe
=
+
L’axe des abscisses s’appelle l’axe des réels
l’axe des ordonnées s’appelle l’axe des imaginaires purs.
3) Égalité de deux nombres complexes
Deux nombres complexes sont égaux
⇔ les parties ré elles sont é gales et les parties imaginaires sont é gales.
+
=
=
+
et
⇔
=
= ′
= ′
+ ′
Conséquence :
+
=0⇔
=0
=0
II Conjugué d’un nombre complexe
Définition. Soit un nombre complexe dont l’écriture algébrique est = +
On appelle conjugué du nombre complexe le nombre complexe noté ̅ tel que
̅= −
Dans le repère orthonormé
; , , les points M
d’affixe et "′ d’affixe ̅ sont symétriques
par rapport à l’axe des réels.
Opérations sur les conjugués
• Pour tout complexes , ̅ =
• Pour tous complexes et ′,
////////
+ ′ = ̅ + 0′ et ///////
× ′ = ̅ × 0′
• Pour tout complexe , et tout entier naturel 2
3 =
non nul : ///
̅ 3
• Pour tout complexe , et tout complexe ′
4
4̅
non nul : /////
=
5
0
4
4
Autres propriétés
• Si = + , alors × ̅ =
• Si
=
+
+
∈ℝ
, alors est réel
⇔ ̅=
est imaginaire pur ⇔ ̅ = −
III Équation du second degré à coefficients réels
Soient , et 7 trois réels avec ≠ 0
L’équation du second degré
• une solution réelle si ∆= 0 :
+ + 7 = 0 admet dans ℂ
;<
: = =
• deux solutions réelles si ∆> 0 :
?
=
;<;√∆
=
=
et
• deux solutions complexes conjuguées si ∆< 0
?
On a
+
+7 =
=
;<;C√;∆
=
−
?
et
−
=
;<A√∆
=
;<AC√;∆
=
forme factorisée
IV Module d’un nombre complexe
1) Définition
Soit un nombre complexe ayant le point M comme image dans le
repère orthonormé
; , .
On appelle module de et on note | | la distance OM.
Il résulte de la définition que pour tout complexe , |
2) Propriétés
• Si
=
+
, alors |
|=√
+
• Pour tout nombre complexe ,
•| | = 0 ⇔ = 0
• Pour tout complexe et ′, | ×
• Pour tout complexe
V Affixe d’un vecteur
|≥0
× ̅=| | ∈ℝ
′ | = | | × | ′|
|4|
4
et tout complexe ′ non nul, G 5 G =
| |
4
4
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé
; , .
Définition. Si A est le point d’affixe U et B le point d’affixe W , alors XY a pour
affixe UW = W − U
Propriétés
• = ⇔ Z= [
Deux vecteurs sont égaux ⇔ les af]ixes des deux vecteurs sont égales.
• Si les vecteurs ^ et ^′ ont pour affixes respectives et ′,
alors le vecteur ^ + ^′ a pour affixe + ′
• Si le vecteurs ^ a pour affixe , alors pour tout réel _,
alors le vecteur _^ a pour affixe _
Milieu
Si A et B sont deux points d’affixes respectives
4d A4e
alors le milieu I de [XY] a pour affixe
U
et
W,
VI Argument et forme trigonométrique
Définitions
Dans le plan complexe, au couple
correspond le nombre complexe
= + ; affixe de M
=
=m
+
+
+
√
;
| |
=arg
+
+
√
On cherche le réel f tel que cos f =
=
√=o A<
et sin f =
o
Ce nombre est défini à 2s près
On a donc = | | cos f + sin f ;
le nombre f est appelé l’argument de et est noté arg
gh 4
|4|
√=o A< o
.
À RETENIR
f argument de
cos f =
<
et sin f =
ij 4
|4|
Propriétés
Si et ′ sont deux nombres complexes non nuls :
arg
= arg
Conséquences :
• Pour tout de ℂ : arg x
∗
+ arg
?
4
+ _2s où _ est un entier
y = − arg
• Pour tout de ℂ∗ et tout entier naturel 2 :
3
arg
= 2 × arg
+ _2s où _ est un entier
Utilisation de l’affixe
• M est le point d’affixe ; " = | | et arg
• A est le point d’affixe
XY = |
W
−
U| ; x
U
= z ; "{ 2s
et B le point d’affixe
; XYy = arg
+ _2s où _ est un entier
W
−
W
U
• Si A, B, C et D sont quatre points d’affixes respectives
U
≠
W
et
|
≠
} , alors
zXY, ~•{ = arg
4€ ;4•
4e ;4d
U, W, |
et
}
telles que
+ _2s avec _ entier
VII Forme exponentielle
Introduction
Soit ƒ la fonction définie sur ℝ et à valeurs dans ℂ par ƒ „ = cos „ + sin „
En utilisant les développements de
cos „ + … = cos „ × cos … − sin „ × sin …
et de
sin „ + … = sin „ × cos … + sin … × cos „,
on démontre que, pour tous réels „ et …, ƒ „ + … = ƒ „ × ƒ …
ƒ „ + … = cos „ + … + sin „ + …
= cos „ × cos … − sin „ × sin … + sin „ × cos … + sin … × cos „
ƒ „ × ƒ … = cos „ + sin „ cos … + sin …
=cos „ × cos … + cos „ × sin … + sin „ × cos … + sin „ × sin …
= cos „ × cos … − sin „ × sin … + sin „ × cos … + sin … × cos „ = ƒ „ + …
Cette fonction ƒ vérifie donc la relation fonctionnelle de la fonction
exponentielle.
Définition.
Le nombre complexe cos f + sin f est de module 1 ; il peut s’écrire C‚ .
Le nombre complexe | | cos f + sin f peut s’écrire | | C‚
c’est la forme exponentielle du nombre complexe .
Propriétés
Pour tous f et f′ et pour tous † et †′ de ]0 ; +∞[
5
† C‚ = † C‚ ⇔ † = † ˆ f = f + _2s avec _ entier
5
5
† C‚ × † C‚ = †† C ‚A‚
z†
C‚ 3
{ = †3
C3‚
‰h Š‹
‰
5
h Š‹
=
‰
‰5
C ‚;‚ 5
C‚
C‚ 5
×
C‚
C‚ 5
z
=
C‚ 3
+
forme algébrique de
= | | cos f + sin f forme trigonométrique de
=| |
C‚
forme exponentielle de
C ‚A‚ 5
C ‚;‚ 5
{ =
À RETENIR
=
=
C3‚
VIII Ensemble de points
1) Cercle
Soit † un réel strictement positif et Ω le point d’affixe •
• L’ensemble des points "
tels que | − •| = † est le cercle de centre Ω et
de rayon †
2) Médiatrice
Si A et B sont deux points d’affixes respectives U et W , alors l’ensemble des
points M d’affixe tels que | − U | = | − W | est la droite médiatrice du
segment [AB].
On peut déterminer une équation de cette médiatrice en remplaçant par „ +
… et en utilisant l’égalité des modules | − U | = | − W |, puis en élevant au
carré.