Les nombres complexes I Ensemble des nombres complexes 1

Les nombres complexes
I Ensemble des nombres complexes
1) Écriture algébrique d’un nombre complexe
Définition : il existe un ensemble noté  appelé ensemble des nombres
complexes tel que :
1.  contient l’ensemble  des nombres réels.
2.  contient un élément noté  tel que 
3. Tout nombre complexe  s’écrit de manière unique sous la forme     
où  et  sont des réels.
Cette écriture est appelée forme algébrique de .
Définition. Soit un nombre complexe      avec  réels
 est la partie réelle de  et  est la partie imaginaire de 
On note   et  
 et  sont des réels.
Remarque : tout complexe du type    est appelé imaginaire pur.
Ex.     ;    
•  ⇔  est un réel
•   ⇔  est un imaginaire pur
2) Interprétation géométrique
Dans le repère orthonormé  ,
à chaque point M correspond un couple
de réels  ses coordonnées ;
à tout couple  on fait correspondre
le nombre complexe     
On dit que  est l’affixe du point M
et que le point M est le point image
du nombre complexe     
L’axe des abscisses s’appelle l’axe des réels
l’axe des ordonnées s’appelle l’axe des imaginaires purs.
3) Égalité de deux nombres complexes
Deux nombres complexes sont égaux
⇔ les parties réelles sont égales et les parties imaginaires sont égales.

et
   Conséquence :         
II Conjugué d’un nombre complexe
Définition. Soit  un nombre complexe dont l’écriture algébrique est     
On appelle conjugué du nombre complexe  le nombre complexe noté ! tel que
!    
Dans le repère orthonormé  , les points M
d’affixe  et " d’affixe ! sont symétriques
par rapport à l’axe des réels.
Opérations sur les conjugués
• #$%&'$%'($)*+,-,. !! 
• Pour tous complexes  et ,
/
/
/
/
/
/
/
/
 !  
0 et  1  /
/
/
/
/
/
/
 ! 1 
0
• Pour tout complexe , et tout entier naturel 2
non nul : 
3
/
/
/
!
3
• Pour tout complexe , et tout complexe 
non nul : 
4
4
5
/
/
/
/
/
4!
4
0
Autres propriétés
• Si     , alors  1 !   6 
• Si     , alors  est réel ⇔ !  
 est imaginaire pur ⇔ !  
III Équation du second degré à coefficients réels
Soient  et 7 trois réels avec  8 
L’équation du second degré    7   admet dans 
• une solution réelle si 9  : :;<
=
• deux solutions réelles si 9>  : ?;<;@9
= et ;<A@9 =
• deux solutions complexes conjuguées si 9B 
?
;<;C@;9
=
et 
;<AC@;9
=
On a    7    ?   forme factorisée

IV Module d’un nombre complexe
1) Définition
Soit  un nombre complexe ayant le point M comme image dans le
repère orthonormé  .
On appelle module de  et on note DD la distance OM.
Il résulte de la définition que pour tout complexe , DDE 
2) Propriétés
• Si     , alors DD@
• Pour tout nombre complexe ,  1 !  DD 6 
• DD     
• #$%&'$%'($)*+,-,,'D 1 DDD1DD
•#$%&'$%'($)*+,-,,''$%'($)*+,-,F$FF%+G
4
4
5G 
D4D
D4D
HIJJK-,LM%FN,(',%&
HIJJK-,LM%FN,(',%&HIJJK-,LM%FN,(',%&
HIJJK-,LM%FN,(',%&
OF.,*+P(,LPF.+,*+PF($)*+,-,)%FKLM%Frepère orthonormé  .
QRJKFK'K$FSTKI,.'+,*$KF'LMPJJK-,
U
,'V+,*$KF'LMPJJK-,
W
P+$&.XY P*$%&
PJJK-,
UW
W U
#&$*&KR'R.
•
Z [
Q,%-N,(',%&..$F'R\P%-+,.PJ]K-,.L,.L,%-N,(',%&..$F'R\P+,.S
•TK+,.N,(',%&.^ ,'^ $F'*$%&PJJK-,.&,.*,('KN,.,'
P+$&.+,N,(',%&^  ^ P*$%&PJJK-,  
•TK+,N,(',%&.^ P*$%&PJJK-,P+$&.*$%&'$%'&R,+_
P+$&.+,N,(',%&_^ P*$%&PJJK-,_
`K+K,%
TKI,'V.$F'L,%-*$KF'.LMPJJK-,.&,.*,('KN,.
U
,'
W
P+$&.+,)K+K,%aL,bXYcP*$%&PJJK-,4
d
A4
e

D
D
=
P&\
À RETENIR
f
argument de
($.
f
gh
4
D
4
D
et
.KF
f
ij
4
D
4
D
HaI&\%),F','J$&),'&K\$F$)R'&Kk%,
HaI&\%),F','J$&),'&K\$F$)R'&Kk%,HaI&\%),F','J$&),'&K\$F$)R'&Kk%,
HaI&\%),F','J$&),'&K\$F$)R'&Kk%,
QRJKFK'K$F.
QPF.+,*+PF($)*+,-,P%($%*+,
($&&,.*$FL+,F$)l&,($)*+,-,
    PJJK-,L,`
      m
@ @
OF(n,&(n,+,&R,+f',+k%,($.f  =
@=
o
A<
o
,'.KFf  <
@=
o
A<
o
p,F$)l&,,.'LRJKFKqrs*&t.
OFPL$F(   DD($.f  .KFf
+,F$)l&,f,.'P**,+R+MP&\%),F'L,,',.'F$'RP&\S
#&$*&KR'R.
TK,'.$F'L,%-F$)l&,.($)*+,-,.F$FF%+.u
P&\   P&\  P&\   _rs$v_,.'%F,F'K,&
p$F.Rk%,F(,.u
•#$%&'$%'L, wuP&\x
?
4
y P&\ 
_rs $v_,.'%F,F'K,&
•#$%&'$%'L, w,''$%',F'K,&FP'%&,+2u
P&\
3
 2 1 P&\ 
_rs $v_,.'%F,F'K,&
Utilisation de l’affixe
• M est le point d’affixe  ; "  DD et P&\  z " {rs
• A est le point d’affixe 
U
et B le point d’affixe 
W
XY  DW UD ; x XY y  P&\W U
• Si A, B, C et D sont quatre points d’affixes respectives 
U W |
et 
}
telles que
U
8 
W
et 
|
8 
}
, alors zXY ~• {  P&\
4
€
;4
•
4
e
;4
d  _rs
avec _ entier

À RETENIR
forme algébrique de
  DD($.f  .KFf forme trigonométrique de 
D
D
C‚
forme exponentielle de
VII Forme exponentielle
Introduction
Soit ƒ la fonction définie sur  et à valeurs dans  par ƒ„ ($.„   .KF„
En utilisant les développements de
($.„  …  ($.„ 1 ($.…  .KF„ 1 .KF…
et de
.KF„  …  .KF„ 1 ($.…  .KF… 1 ($.„,
on démontre que, pour tous réels „ et …, ƒ„  … ƒ„ 1 ƒ…
ƒ„  … ($.„  …   .KF„  …
 ($.„ 1 ($.…  .KF„ 1 .KF…  .KF„ 1 ($.…  .KF… 1 ($.„
ƒ„1 ƒ… ($.„   .KF„($.…  .KF…
=($.„ 1 ($.…  ($.„ 1 .KF…  .KF„ 1 ($.…   .KF„ 1 .KF…
 ($.„ 1 ($.…  .KF„ 1 .KF…  .KF„ 1 ($.…  .KF… 1 ($.„ ƒ„  …
Cette fonction ƒ vérifie donc la relation fonctionnelle de la fonction
exponentielle.
Définition.
Le nombre complexe ($.f  .KFf est de module 1 ; il peut s’écrire 
C‚
.
Le nombre complexe DD($.f  .KFf peut s’écrire DD
C‚
c’est la forme exponentielle du nombre complexe .
Propriétés
Pour tous f et f et pour tous † et † de c‡b
†
C‚
 †
C‚
5
 †  † ˆf  f  _rs avec _ entier
†
C‚
1 †
C‚
5
 ††
C‚A‚
5
z†
C‚
{
3
 †
3 C3‚
‰h
Š‹
‰h
Š‹5
‰
‰
5
C‚;‚
5
C‚
1
C
‚
5
C
‚
A
‚
5
C‚
C‚
5
C‚;‚
5
z
C‚
{
3
C3‚