Université de Rennes 1–Année 2016/2017 L3–Géométrie et

Université de Rennes 1–Année 2016/2017
L3–Géométrie et isométries–Feuille de TD 5
Exercice 1. (Composée de réflexions planes)
Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 2.
(i) Soient sD , s∆ deux réflexions orthogonales par rapport à des droites
(vectorielles) D, ∆ ⊂ E avec D 6= ∆. Montrer que s = sD ◦ s∆ est une
rotation et déterminer son angle.
(ii) Soient r ∈ O+ (E) \ IdE une rotation d’angle θ ∈ R(mod2π) et
D ⊂ E une droite (vectorielle). Montrer qu’il existe une unique droite
∆ ⊂ E telle que r = s∆ ◦ sD et la déterminer en fonction de θ
Exercice 2. (Composée de réflexions dans l’espace)
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3.
(i) Soient sP , sQ deux réflexions orthogonales par rapport à des plans
(vectoriels) P, Q ⊂ E avec P 6= Q. Montrer que s = sP ◦ sQ est une
rotation, déterminer son axe D et identifier la rotation s|D⊥ , à l’aide
de l’Exercice 1.
(ii) Soit r ∈ O+ (E) \ IdE une rotation d’axe D et soit P ⊂ E un plan
contenant D. Montrer qu’il existe un unique plan vectoriel Q ⊂ E tel
que r = sP ◦ sQ et le déterminer, à l’aide de l’Exercice 1.
Exercice 3. (Quelques conséquences de la relation de Chasles)
Soit E un espace affine d’espace directeur E et A, B, C ∈ E.
−→ −→
(i) Montrer que AB = AC si et seulement si B = C.
−→
(ii) Montrer que AB = 0 si et seulement si A = B.
−→
−→
(iii) Montrer que BA = −AB.
Exercice 4. (Espaces affines et sous-espaces vectoriels) Soient
E = {(x, y, z) ∈ R3 |x+y +z = 1} et E = {(x, y, z) ∈ R3 |x+y +z = 0}.
(i) Vérifier que E est un sous-espace vectoriel de R3 . Est aussi le cas
pour E?
Soit Φ : E × E → E définie par
Φ((x, y, z), (x0 , y 0 , z 0 )) = (x − x0 , y − y 0 , z − z 0 )
pour tous (x, y, z), (x0 , y 0 , z 0 ) ∈ E.
(ii) Montrer que Φ(E × E) ⊂ E et que Φ définit sur E une structure
d’espace affine d’espace directeur E.
(iii) Généralisation : soit A ∈ Mm,n (R) une matrice à m lignes et n
colonnes et B ∈ Rm un vecteur colonne. Soit E = {X ∈ Rn |AX = B}.
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Montrer que E est soit vide soit un sous-espace affine de Rn ; quelle est
sa direction ? exprimer sa dimension en fonction du rang de A.
Exercice 5. (Milieu)
Soit E un espace affine d’espace directeur E. Soient A, B deux points
de E.
(i) Montrer que, pour tout point C ∈ E, les propriétés suivantes sont
équivalentes :
−→ −−→
(1) AC = CB;
−→ −→
(2) 2AC = AB.
(ii) Montrer qu’il existe un point C ∈ E vérifiant les conditions équivalentes
de (i) et qu’il est unique ; C s’appele le milieu de {A, B}.
Exercice 6. (Règle du parallélogramme) Soit E un espace affine
d’espace directeur E. Soient A, B, A0 , B 0 quatre points dans E. Montrer
que les propriétés suivantes sont équivalentes :
−→ −−→
(1) AB = A0 B 0 ;
−−→ −−→
(2) AA0 = BB 0 ;
(3) les milieux de {A, B 0 } et {A0 , B} coı̈ncident.
Que signifient ces équivalences pour un quadrilatère dans le plan ?
Exercice 7. (Relation d’équipollence)
Soit E un espace affine, de direction E. On définit une relation ∼ sur
l’ensemble E × E des couples de points de E par
−→ −−→
(A, B) ∼ (A0 , B 0 ) ⇐⇒ AB = A0 B 0 .
Montrer que ∼ est une relation d’équivalence sur E × E.
Exercice 8. (Droites dans un espace affine)
Soit E un espace affine, de direction E. Soit A, B deux points distincts
de E. Montrer qu’il existe une et une seule droite D (c-à-d un sousespace affine de dimension 1) contenant A et B.