Université de Rennes 1–Année 2016/2017 L3–Géométrie et

Universit´e de Rennes 1–Ann´ee 2016/2017
L3–G´eom´etrie et isom´etries–Feuille de TD 5
Exercice 1. (Compos´ee de r´eflexions planes)
Soit Eun espace vectoriel euclidien orient´e de dimension 2.
(i) Soient sD, s∆deux r´eflexions orthogonales par rapport `a des droites
(vectorielles) D, ∆⊂Eavec D6= ∆.Montrer que s=sD◦s∆est une
rotation et d´eterminer son angle.
(ii) Soient r∈O+(E)\IdEune rotation d’angle θ∈R(mod2π) et
D⊂Eune droite (vectorielle). Montrer qu’il existe une unique droite
∆⊂Etelle que r=s∆◦sDet la d´eterminer en fonction de θ
Exercice 2. (Compos´ee de r´eflexions dans l’espace)
Soit Eun espace vectoriel euclidien de dimension 3.
(i) Soient sP, sQdeux r´eflexions orthogonales par rapport `a des plans
(vectoriels) P, Q ⊂Eavec P6=Q. Montrer que s=sP◦sQest une
rotation, d´eterminer son axe Det identifier la rotation s|D⊥,`a l’aide
de l’Exercice 1.
(ii) Soit r∈O+(E)\IdEune rotation d’axe Det soit P⊂Eun plan
contenant D. Montrer qu’il existe un unique plan vectoriel Q⊂Etel
que r=sP◦sQet le d´eterminer, `a l’aide de l’Exercice 1.
Exercice 3. (Quelques cons´equences de la relation de Chasles)
Soit Eun espace affine d’espace directeur Eet A, B, C ∈ E.
(i) Montrer que −→ AB =−→ AC si et seulement si B=C.
(ii) Montrer que −→ AB = 0 si et seulement si A=B.
(iii) Montrer que −→ BA =−−→ AB.
Exercice 4. (Espaces affines et sous-espaces vectoriels) Soient
E={(x, y, z)∈R3|x+y+z= 1}et E={(x, y, z)∈R3|x+y+z= 0}.
(i) V´erifier que Eest un sous-espace vectoriel de R3.Est aussi le cas
pour E?
Soit Φ : E × E → Ed´efinie par
Φ((x, y, z),(x0, y0, z0)) = (x−x0, y −y0, z −z0)
pour tous (x, y, z),(x0, y0, z0)∈ E.
(ii) Montrer que Φ(E × E)⊂Eet que Φ d´efinit sur Eune structure
d’espace affine d’espace directeur E.
(iii) G´en´eralisation : soit A∈Mm,n(R) une matrice `a mlignes et n
colonnes et B∈Rmun vecteur colonne. Soit E={X∈Rn|AX =B}.

2
Montrer que Eest soit vide soit un sous-espace affine de Rn; quelle est
sa direction ? exprimer sa dimension en fonction du rang de A.
Exercice 5. (Milieu)
Soit Eun espace affine d’espace directeur E. Soient A, B deux points
de E.
(i) Montrer que, pour tout point C∈ E,les propri´et´es suivantes sont
´equivalentes :
(1) −→ AC =−−→ CB;
(2) 2−→ AC =−→ AB.
(ii) Montrer qu’il existe un point C∈ E v´erifiant les conditions ´equivalentes
de (i) et qu’il est unique ; Cs’appele le milieu de {A, B}.
Exercice 6. (R`egle du parall´elogramme) Soit Eun espace affine
d’espace directeur E. Soient A, B, A0, B0quatre points dans E.Montrer
que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
(1) −→ AB =−−→ A0B0;
(2) −−→ AA0=−−→ BB0;
(3) les milieux de {A, B0}et {A0, B}co¨ıncident.
Que signifient ces ´equivalences pour un quadrilat`ere dans le plan ?
Exercice 7. (Relation d’´equipollence)
Soit Eun espace affine, de direction E. On d´efinit une relation ∼sur
l’ensemble E × E des couples de points de Epar
(A, B)∼(A0, B0)⇐⇒ −→ AB =−−→ A0B0.
Montrer que ∼est une relation d’´equivalence sur E × E.
Exercice 8. (Droites dans un espace affine)
Soit Eun espace affine, de direction E. Soit A, B deux points distincts
de E.Montrer qu’il existe une et une seule droite D(c-`a-d un sous-
espace affine de dimension 1) contenant Aet B.